Как решать тригонометрические уравнения

Курс математики корпорации «Российский учебник», авторства Георгия Муравина и Ольги Муравиной, предусматривает постепенный переход к решению тригонометрических уравнений и неравенств в 10 классе, а также продолжение их изучения в 11 классе. Представляем вашему вниманию этапы перехода к теме с выдержками из учебника «Алгебра и начало математического анализа» (углубленный уровень).

1. Синус и косинус любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример задания. Найти приближенно углы, косинусы которых равны 0,8.

Решение. Косинус — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Все точки с абсциссами, равными 0,8, принадлежат прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку C(0,8; 0). Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P_α° и P_β°, симметричных относительно оси абсцисс.

С помощью транспортира находим, что угол α° приближенно равен 37°. Значит, общий вид углов поворота с конечной точкой P_α°:

α° ≈ 37° + 360°n, где n — любое целое число.

В силу симметрии относительно оси абсцисс точка P_β° — конечная точка поворота на угол –37°. Значит, для нее общий вид углов поворота:

β° ≈ –37° + 360°n, где n — любое целое число.

Ответ: 37° + 360°n, –37° + 360°n, где n— любое целое число.

Пример задания. Найти углы, синусы которых равны 0,5.

Решение. Синус — это ордината соответствующей точки единичной окружности. Все точки с ординатами, равными 0,5, принадлежат прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку D(0; 0,5).

Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P_φ и P_π–φ, симметричных относительно оси ординат. В прямоугольном треугольнике OKP_φ катет KP_φ равен половине гипотенузы OPφ, значит,

Общий вид углов поворота с конечной точкой P_φ:

где n — любое целое число. Общий вид углов поворота с конечной точкой P_π–φ:

где n — любое целое число.

Ответ: где n — любое целое число.

2. Тангенс и котангенс любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример 2. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Пример задания. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Решение. Отметим на оси тангенсов точку C с ординатой, равной –1,2, и проведем прямую OC. Прямая OC пересекает единичную окружность в точках P_α° и P_β° — концах одного и того же диаметра. Углы, соответствующие этим точкам, отличаются друг от друга на целое число полуоборотов, т.е. на 180°n (n — целое число). С помощью транспортира находим, что угол P_α° OP₀ равен –50°. Значит, общий вид углов, тангенс которых равен –1,2, следующий: –50° + 180°n (n — целое число)

По синусу и косинусу углов 30°, 45° и 60° легко найти их тангенсы и котангенсы. Например,

Перечисленные углы довольно часто встречаются в разных задачах, поэтому полезно запомнить значения тангенса и котангенса этих углов.

Тригонометрические уравнения – уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций.

Если проще: это уравнения, в которых неизвестные (иксы) или выражения с ними находятся внутри синусов , косинусов , тангенсов и котангенсов .

Как решать тригонометрические уравнения:

Любое тригонометрическое уравнение нужно стремиться свести к одному из видов:

где (t) – выражение с иксом, (a) – число. Такие тригонометрические уравнения называются простейшими. Их легко решать с помощью числовой окружности ( тригонометрического круга ) или специальных формул:

(sin ⁡x=a) (⇔) ( left[ beginx=arcsin a+2πn, n∈Z x=π-arcsin a+2πl, l∈Zendright.)
если (a∈[-1;1])

Инфографику о решении простейших тригонометрических уравнений смотри здесь: (sinx=a) , (cosx=a) , (tgx=a) и (ctgx=a) .

Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого:
1) Построим оси.
2) Построим окружность.
3) На оси синусов (оси (y)) отметим точку (-) (frac<1><2>) .
4) Проведем перпендикуляр к оси синусов через эту точку.
5) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
6)Подпишем значения этих точек: (-) (frac<π><6>) ,(-) (frac<5π><6>) .
7) Запишем все значения соответствующие этим точкам с помощью формулы (x=t+2πk), (k∈Z):
(x=-) (frac<π><6>) (+2πk), (k∈Z); (x=-) (frac<5π><6>) (+2πn), (n∈Z)

Что означает каждый символ в формуле корней тригонометрических уравнений смотри в видео .

Внимание! Уравнения (sin⁡x=a) и (cos⁡x=a) не имеют решений, если (a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)). Потому что синус и косинус при любых икс больше или равны (-1) и меньше или равны (1):

Пример. Решить уравнение (cos⁡x=-1,1).
Решение: (-1,1 (frac<π><4>) , (frac<5π><4>)
7) Запишем все значения этих точек. Так как они находятся друг от друга на расстоянии ровно в (π), то все значения можно записать одной формулой:

Опять воспользуемся числовой окружностью.
1) Построим окружность, оси (x) и (y).
2) На оси косинусов (ось (x)) отметим (0).
3) Проведем перпендикуляр к оси косинусов через эту точку.
4) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
5) Подпишем значения этих точек: (-) (frac<π><2>),(frac<π><2>) .
6)Выпишем все значение этих точек и приравняем их к аргументу косинуса (к тому что внутри косинуса).

7) Дальше решать в таком виде несколько трудновато, разобьем уравнение на два.

8) Как обычно в уравнениях будем выражать (x).
Не забывайте относиться к числам с (π), так же к (1), (2), (frac<1><4>) и т.п. Это такие же числа, как и все остальные. Никакой числовой дискриминации!

Сводить тригонометрические уравнения к простейшим – задача творческая, тут нужно использовать и тригонометрические формулы , и особые методы решений уравнений:
— Метод введения новой переменной (самый популярный в ЕГЭ).
— Метод разложения на множители .
— Метод вспомогательных аргументов.

Рассмотрим пример решения квадратно-тригонометрического уравнения

Сделаем замену (t=cos⁡x).

Наше уравнение превратилось в типичное квадратное . Можно его решить с помощью дискриминанта .

(D=25-4 cdot 2 cdot 2=25-16=9)

Делаем обратную замену.

Первое уравнение решаем с помощью числовой окружности.
Второе уравнение не имеет решений т.к. (cos⁡x∈[-1;1]) и двум быть равен не может ни при каких иксах.

Запишем все числа, лежащие на числовой окружности в этих точках.

Пример решения тригонометрического уравнения с исследованием ОДЗ:

Есть дробь и есть котангенс – значит надо записать ОДЗ . Напомню, что котангенс это фактически дробь:

Потому ОДЗ для ctg(x): (sin⁡x≠0).

Отметим «нерешения» на числовой окружности.

Применим формулу двойного угла для синуса: (sin⁡<2x>=2sin⁡xcos⁡x).

Если у вас руки потянулись поделить на косинус – одерните их! Делить на выражение с переменной можно если оно точно не равно нулю (например, такие: (x^2+1,5^x)). Вместо этого вынесем (cos⁡x) за скобки.

«Расщепим» уравнение на два.

Первое уравнение с решим с помощью числовой окружности. Второе уравнение поделим на (2) и перенесем (sin⁡x) в правую часть.

Корни, которые получились не входят в ОДЗ. Поэтому их в ответ записывать не будем.
Второе уравнение типичное однородное . Поделим его на (sin⁡x) ((sin⁡x=0) не может быть решением уравнения т.к. в этом случаи (cos⁡x=1) или (cos⁡x=-1)).

Опять используем окружность.

(x=) (frac<π><4>) (+πn), (n∈Z)

Эти корни не исключаются ОДЗ, поэтому можно их записывать в ответ.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

• Тригонометрический круг

• Основное тригонометрическое тождество

• Таблица значений тригонометрических функций

• Градусы и радианы

• Формулы приведения

• Теорема синусов

• Расширенная теорема синусов

• Теорема косинусов

• Тригонометрические уравнения (10-11 класс)

• Примеры решений заданий из ОГЭ

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Тригонометрия — это один из самых нелюбимых разделов математики среди учеников средней школы. Простейшие тригонометрические уравнения нередко попадаются в бланках заданий единого государственного экзамена. Чтобы успешно сдать ЕГЭ выпускники обязаны знать, как решать подобные задачи.

В тригонометрии нет ничего сложного. Главное, вдумчиво и неспешно изучить теоретические основы темы. Быстро и правильно решать задачи по тригонометрии поможет практика в использовании различных способов поиска ответов.

• 1 Методы решения
  • 1.1 Похожие статьи

Методы решения

Самый простой, привычный и отработанный способ решения уравнений для любого школьника – это метод подстановки. Данный способ применим и в случае с тригонометрическими равенствами.

Введением новой переменной y вместо cos x, было получено обычное квадратное уравнение. Решить его можно по формулам дискриминанта. Один из найденных корней не удовлетворял условиям задания, так как модуль значения косинуса должен быть меньше или равен нулю.

Еще один способ – это воспользоваться тригонометрическими формулами и разложить уравнение на множители. После приравнять полученные простейшие тригонометрические выражения к нулю и найти значения неизвестной. В примере ниже, была использована формула двойного угла для синуса.

Еще один достаточно легкий и быстрый метод решения – это приведение однородных тригонометрических уравнений к удобному виду.

Последовательно выполняя арифметические действия с обеими частями уравнения, ученик должен получить либо простейшую форму тригонометрических выражений, либо уравнение пригодное для применения метода подстановки или тригонометрических тождеств.

Для дошкольников и учеников 1-11 классов

Рекордно низкий оргвзнос 25 Р.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 1 р.п. Мокшан

Исследовательская работа

по математике

«Методы решения тригонометрических уравнений и способы отбора корней на заданном промежутке»

Выполнил: Васякин Михаил, ученик 11 класса

МБОУ СОШ №1 р.п. Мокшан

Паркина Наталья Ивановна,

МБОУ СОШ №1 р.п. Мокшан

«Уравнения для меня важнее,

потому что политика — для настоящего,

а уравнения — для вечности»

Альберт Эйнштейн

Тригонометрические уравнения одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Тригонометрические уравнения и неравенства из года в год встречаются среди заданий централизованного тестирования.

Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических – бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной особенностью тригонометрических уравнений является неединственность формы записи ответа.

Долгое время тригонометрию рассматривали как раздел геометрии, и это порождало у школьников неверное представление о тригонометрических функциях, границы применимости которых, к тому же, сводились до минимума.

В настоящее время тригонометрию изучают в курсе алгебры и начал анализа, хотя основное понятие тригонометрической функции в учебной литературе по-прежнему задается геометрическим способом в виду отсутствия у старшеклассников знаний теории рядов. Таким образом, изучение тригонометрических функций, а в дальнейшем и тригонометрических уравнений, в школьном курсе имеет некоторые особенности.

При изучении тригонометрических уравнений в общеобразовательной школе не хватает времени на рассмотрение уравнений, решаемых нетрадиционными способами. Поэтому мне стало интересно рассмотреть решения таких уравнений, тем более такие уравнения я встречал в олимпиадных заданиях и эти знания мне пригодятся в дальнейшем.

С точки зрения стандартных школьных методов решения тригонометрических уравнений, рассмотрю новые методы, не изучаемые в школьном курсе. Заинтересовавшись темой решения тригонометрических уравнений, я самостоятельно стал пробовать решать уравнения из сборников по математике повышенной сложности, сборников олимпиадных задач и понял, что моих знаний не хватает для решения многих типов тригонометрических уравнений. Постараюсь как можно лучше раскрыть методы решения тригонометрических уравнений путем приведения решений таких уравнений.

Процесс нахождения решений тригонометрического уравнения состоит из двух основных этапов: преобразования уравнения до получения простейшего (их системы либо совокупности) и решения последнего (или последних).

В зависимости от вида исходного тригонометрического уравнения, существуют различные методы их решения, и в данной работе подробно рассматривается каждый из них, сопровождается примерами из вступительных экзаменов и пособий для абитуриентов.

Актуальность темы заключается в том, что тригонометрические уравнения включены во вторую часть Единого Государственного Экзамена. Задания такого плана содержат две части: непосредственное решение уравнения, в результате которого получается бесконечное множество корней, и последующий отбор корней на предмет принадлежности конкретному промежутку. Новизна исследования состоит в том, что показана возможность эффективного решения отдельных тригонометрических уравнений.

Актуальность темы определяется тем, что учащиеся должны разбираться в тех или иных способах решения тригонометрических уравнений и уметь правильно отбирать нужные корни.

Поэтому, перед собой я поставил следующую цель:

Систематизировать, расширить знания и умения, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений и способов отбора корней в тригонометрических уравнениях.

Объектом исследования является изучение тригонометрических уравнений в заданиях ЕГЭ.

Предмет исследования — решение тригонометрических уравнений и способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.

В соответствии с целями, объектом и предметом исследования определены следующие задачи:

1. Рассмотреть различные типы заданий, содержащие тригонометрические уравнения, предлагавшиеся на ЕГЭ работ предыдущих лет и при выполнении диагностических работ, где необходимо выполнить отбор корней, классифицировать их;

2. Определить наиболее рациональный способ отбора корней для каждого типа заданий;

3. Рассмотреть рекомендации по решению тригонометрических уравнений из вариантов ЕГЭ;

4. Составить презентацию полученных результатов. Сделать выводы.

При выполнении работы использовались материалы ЕГЭ по математике. Основные источники получения информации: официальные документы, научная и справочная литература.

Видеоурок: Тригонометрические уравнения

Лекция: Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения — это уравнения, что содержат тригонометрические функции.

Какое бы уравнение Вы бы не имели, его необходимо привести к самому простому виду:

cos(x) = a, sin(x) = a, tg(x) = a, ctg(x) = a.

Все уравнения приводятся к наипростейшим с помощью формул, описанных в предыдущих вопросах. Итак, давайте для начала рассмотрим, как решить наипростейшие тригонометрические уравнения.

Уравнения, приводящиеся к виду sin(x) = a

Если Вы получили, что синус некоторого аргументы равен некоторому числу, то данное уравнение имеет следующее решение:

x = (-1) k arcsin (a) + πk, k ϵ Z, |a| ≤ 1.

Существует несколько базовых ситуаций, к которым могут быть сведены подобные уравнения:

• sin(x) = 0, => x = πk, k ϵ Z.
• sin(x) = 1, => x = π/2 + 2πk, k ϵ Z.
• sin(x) = -1, => x = -π/2 + 2πk, k ϵ Z.
• sin 2 (x) = a => x = ±arcsin + πk, k ϵ Z, a ϵ [0;1].

Уравнения, приводящиеся к виду cos(x) = a

Если в результате преобразований тригонометрического уравнения Вы получили уравнения вида cos(x) = a, то общее решение данного уравнения имеет вид:
x = ±arccos (a) + 2πk, k ϵ Z, |a| ≤ 1.

Базовые примеры:

• cos(x) = 0, => x = π/2 + πk, k ϵ Z.
• cos(x) = 1, => x = 2πk, k ϵ Z.
• cos(x) = -1, => x = π + 2πk, k ϵ Z.
• cos 2 (x) = a => x = ±arccos + πk, k ϵ Z, a ϵ [0;1].

Уравнения, приводящиеся к виду tg(x) = a

Если в результате преобразований тригонометрического уравнения Вы получили уравнения вида tg(x) = a, то общее решение данного уравнения имеет вид:
x = arctg (a) + πk, k ϵ Z, a ϵ R.

Базовые примеры:

• tg(x) = 0, => x = πk, k ϵ Z.
• tg(x) = 1, => x = π/4 + πk, k ϵ Z.
• tg(x) = -1, => x = — π/4 + 2πk, k ϵ Z.
• tg 2 (x) = a => x = ±arctg + πk, k ϵ Z, a ϵ [0;1].

Уравнения, приводящиеся к виду ctg(x) = a

Если в результате преобразований тригонометрического уравнения Вы получили уравнения вида ctg(x) = a, то общее решение данного уравнения имеет вид:
x = arcctg (a) + πk, k ϵ Z, a ϵ R.

Содержание

Понятие о тригонометрическом уравнении.

Уравнение называется тригонометрическим, если в нём содержится любая тригонометрическая функция.

Например, уравнения $sin – 1 = 0$, $1-2cos=4$ и $sqrt<3>sin-2cos=0$ тригонометрические, а $2-x=0$ – нет.

В силу того, что тригонометрическая функция периодична, тригонометрические уравнения имеют множество решений или не имеют их вообще.

Под решением тригонометрического уравнения понимается такой набор чисел $x$, который при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Существуют 2 основных способа решения тригонометрических уравнений:

• графический способ, который заключается в том, что строятся графики левой и правой части уравнения и ищутся точки их пересечения;
• аналитический способ, суть которого заключается в применении специальных формул.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Под простейшими тригонометрическими уравнениями мы будем понимать тригонометрические уравнения, в левую часть которых входит только либо синус, либо косинус, а в правую – одно из чисел: $-1; 0; 1$.

Решим несколько простейших тригонометрических уравнений.

1. $sin = 1$

Начертим два графика: $y=sin$ и $y=1$

Видим, что количество точек пересечения достаточно велико, а, значит, необходимо выявить закономерность. Так как тригонометрические функции являются периодическими, то все точки, попавшие на 1-ый положительный период, будут периодически повторятся. Рассмотрим решения, попавшие на 1-ый период:

Это только одна точка: $frac<2>$. Периодом синуса является $2pi$, так что получаем ответ:

$x = frac <2>+ 2pi n, n in mathbb$.

2. $cos = 0$

Начертим два графика: $y=cos$ и $y=0$

Видим, что количество точек пересечения достаточно велико, а, значит, необходимо выявить закономерность. Так как тригонометрические функции являются периодическими, то все точки, попавшие на 1-ый положительный период, будут периодически повторятся. Рассмотрим решения, попавшие на 1-ый период:

Видим, что получается 2 решения, попадающих «на период»: $x_<1>=frac<2>$ и $x_<2>=frac<3pi><2>$.

Две точки решения получаются только у функций синус и косинус. Так как тангенс и котангенс монотонные (и на периоде в том числе), то они имеют лишь только одну точку пересечения с прямой $y=a$.

Получены два решения:

которые можно попытаться объединить в одно.

Не все решения можно объединить в одно. Если это невозможно, то в ответ выписываются 2 решения.

Проверим расстояние между всеми точками (обычно достаточно проверить расстояние между 4 точками), чтобы убедиться, что объединение возможно. Несложно увидеть, что в нашем случае оно всегда равно $pi$. Тогда наши решения объединяются в одно и мы получаем ответ:

$x = frac <2>+ pi n, n in mathbb$

Таблица решений простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение	$f(x) = sin$	$f(x) = cos$
$f(x)=1$	$x = frac <2>+ 2pi n$	$x =2pi n$
$f(x)=0$	$x = pi n$	$x = frac <2>+ pi n$
$f(x)=-1$	$x = — frac <2>+ 2pi n$	$x = pi + 2pi n$

Ограничения тригонометрических уравнений.

Очевидно, что тригонометрические функции $tg$ и $ctg$ в силу неограниченности по области значений и монотонности всегда имеют одно решение для любого $a$.

А для тригонометрических функций $sin$ и $cos$ справедливы следующие утверждения.

Если $|a| > 1$, то не существует решений тригонометрического уравнения $sin = a$ или $cos = a$.

Действительно, так как область значения тригонометрических функций $sin$ и $cos$ является отрезком $[-1;1]$, то любая прямая, лежащая выше прямой $y=1$ и ниже прямой $y = -1$, не будет пересекать график тригонометрических функций.

Если $|a| = 1$, то тригонометрические уравнения $sin = a$ или $cos = a$ имеют ровно одно решение на полуинтервале $[0;2pi)$ (далее, периоде).

Действительно, прямая $y=1$ и прямая $y = -1$ пересекают графики тригонометрических функций ровно в одной точке.