Как складывать дроби с разными знаменателями ~ Инструкции на все случаи жизни

Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

Чтобы с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Чтобы с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

Задача. Найдите значение выражения:

Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

Плюс на минус дает минус;
Минус на минус дает плюс.

Разберем все это на конкретных примерах:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

Что делать, если знаменатели разные

Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю», поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Что делать, если у дроби есть целая часть

Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.

Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

Резюме: общая схема вычислений

В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:

Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.

Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.

Простое руководство для тех, кому нужно вспомнить школьную программу или помочь ребёнку.

Какие бывают дроби

Дробь — это число, которое состоит Дробь из одной или из нескольких равных частей единицы. Говоря упрощённо, это число обозначает часть чего‑либо, например один кусок торта, или целое с несколькими дополнительными частями, например один целый торт и ещё три куска другого.

Обыкновенные дроби состоят из числителя (вверху) и знаменателя (внизу), разделённых горизонтальной или косой чертой. Знаменатель отражает то, на сколько частей можно разделить наш условный торт, а числитель — сколько из них в наличии: 1 /₂, 3 /₄, 9 /₁₀.

Обыкновенные дроби бывают правильные и неправильные. У правильных числитель меньше знаменателя ( 5 /₈, 7 /₁₅), а у неправильных наоборот — больше ( 8 /₅, 15 /₇). Из неправильной дроби можно выделить целую и дробную части: 1 3 /₅, 2 1 /₇. Получившееся число будет называться смешанной дробью.

Бывают ещё десятичные дроби. У них в знаменателе стоит степень числа 10, и они записываются по‑другому — через запятую: 0,5, 0,98. Хотя десятичные дроби можно представить и в виде обыкновенных: 5 /₁₀, 98 /₁₀₀.

Как складывать дроби

Обыкновенные с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, просто суммируйте их числители, а знаменатели оставьте без изменений. Например: 1 /₅ + 2 /₅ = 3 /_5; 9 /₆ + 10 /₆ = 19 /₆ = 3 1 /₆.

Обыкновенные с разными знаменателями

Сначала нужно привести дроби к общему знаменателю. Для этого найдите наименьшее число, которое без остатка делится на оба ваших знаменателя. Например, для дробей 5 /₆ и 4 /₉ это число 18.

Затем разделите его на ваши знаменатели — и вы получите так называемый дополнительный множитель (18 : 6 = 3, 18 : 9 = 2). Это число, на которое нужно умножить обе части дроби, чтобы привести её к новому знаменателю. То есть: 5 x 3 /_{6 x 3} + 4 x 2 /_{9 x 2} = 15 /₁₈ + 8 /₁₈.

Остаётся только повторить процесс из предыдущего пункта, сложив числители. В нашем примере получится 23 /_18, или 1 5 /₁₈, если выделить целую часть.

Смешанные дроби

Складывать такие дроби можно несколькими способами. Самый простой — суммировать целые и дробные части отдельно. Например, вам нужно сосчитать, сколько будет 3 1 /₅ + 4 2 /₃. Сначала складываем 3 + 4 и получаем 7. Потом переходим к дробным частям: 1 /₅ + 2 /₃ = 1 x 3 /_{5 x 3} + 2 x 5 /_{3 x 5} = 3 /₁₅ + 10 /₁₅ = 13 /₁₅. А вместе — 7 13 /₁₅.

Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь, из неё тоже нужно выделить целое и добавить к полученной ранее целой части.

Десятичные дроби

Первым делом нужно уравнять количество цифр после запятой. Например, вы хотите сложить числа 33,142 и 5,6. Добавьте два нуля ко второй дроби — 5,600. Теперь сложите между собой числа до запятой (33 + 5) и после (142 + 600). Получится 38,742.

Если вы ещё не очень хорошо освоили работу с десятичными дробями, суммируйте их столбиком, как обычные числа. Следите за тем, чтобы запятая была под запятой. Такой метод сложения облегчит вам подсчёты в том случае, когда после запятой появляется «лишняя» цифра.

Например, нужно найти сумму чисел 1,742 и 5,6. Вы уже знаете, что 1 + 5 = 6, а 742 + 600 = 1 342, но в столбике вы сразу увидите, что единицу из 1 342 нужно перенести, добавить к целой части. В итоге получится 7,342.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Суммой двух дробей с одинаковыми знаменателями называется дробь, числитель которой равен сумме числителей исходных дробей, а знаменатель — знаменателю дробей, то есть

Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем, надо сложить их числители и результат записать в числитель, а знаменатель оставить без изменения.

Задание. Найти сумму дробей $frac<3><11>$ и $frac<7><11>$

Если в результате сложения получается дробь, числитель и знаменатель которой можно сократить, то для конечного результата выполняем и сокращение дроби.

Сложение дробей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. Найти сумму дробей $frac<3><14>$ и $frac<11><14>$

Решение. Складываются дроби с одинаковым знаменателем, поэтому просто складываем числитель, а знаменатель оставляем исходный:

Полученная дробь $frac<14><14>$ является неправильной, у которой числитель равен знаменателю, и такая дробь равна единице, то есть

Ответ. $frac<3><14>+frac<11><14>=1$

Сложение дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, вначале надо привести их к общему знаменателю, а далее складывать как дроби с общим знаменателем.

Задание. Сложить дроби $frac<2><3>$ и $frac<1><8>$

Решение. Так как дроби с разными знаменателями, то вначале приведем их к наименьшему общему знаменателю. Для этого найдем НОК чисел 3 и 8:

Дополнительные множители к каждой из дробей соответственно:

Замечание. После первого знака равенства справа вверху у каждой дроби указан дополнительный множитель к ней.

Сложение смешанных дробей

Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно найти сумму целых частей и отдельно сумму дробных частей.

Задание. Вычислить сумму дробей 3$frac<2><5>$ и 4$frac<7><10>$

Решение. В данном случае складываем отдельно целые и дробные части:

Так как знаменатели дробных частей разные, то приводим дроби к общему знаменателю, который равен 10, так как НОК знаменателей 5 и 10. Соответственно дополнительные множители, как частные общего знаменателя и знаменателей дробей, равны 2 и 1:

Так как дробная часть представляет собой неправильную дробь, то выделяем целую часть:

Ответ. $3 frac<2><5>+4 frac<7><10>=8 frac<1><10>$

1 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью,

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:

2 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как указано в начале этой статьи. Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное). Для числителя каждой из дробей находятся дополнительные множители с помощью деления НОК на знаменатель этой дроби. Мы рассмотрим пример позже, после того, как разберемся, что же такое НОК.

3 Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:

Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:

Разложить эти числа на простые множители
Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.

Например, найдем НОК чисел 28 и 21:

4 Приведение дробей к одному знаменателю

Вернемся к сложению дробей с разными знаменателями.

Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, равному НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители. Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:

Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей. Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.

5 Как сложить целое число и дробь

Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например:

Если мы складываем целое число и смешанную дробь, мы прибавляем это число к целой части дроби, например:

Сложение и вычитание алгебраических дробей
Основные правила, операции без преобразования
Сложение и вычитание алгебраических дробей
- Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
- С помощью формул сокращенного умножения
- С вынесением общего множителя за скобки
- С одночленом или числом

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Дробь — это доля числа. Она представлена в виде frac mn, где m и n — любые натуральные числа. В данной записи m является числителем, а n — знаменателем.

Для того чтобы производить операции с дробями, необходимо знать их основное свойство. Оно состоит в следующем: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Одно и то же количество можно выразить разными эквивалентными дробями.

Если числитель и знаменатель дроби (frac12) умножить на 2, получится равная ей дробь (frac24.)

Основные правила, операции без преобразования

Сложение (вычитание) дробей — это упрощение выражений вида (frac abpmfrac cb) или (frac abpmfrac cd) , где (cneq d.)

Главное правило сложения и вычитания дробей заключается в том, что операции можно проводить только между дробями с одинаковым знаменателем.

Если знаменатели двух дробей одинаковы, то можно сразу сложить или вычесть, в зависимости от задачи, числители этих дробей, а знаменатель оставить прежним. Если это возможно, дробь нужно сократить.

Общее правило сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем выглядит следующим образом:

где a, b и с — натуральные числа, (bneq0.)

Если знаменатели разные, дроби необходимо заменить на эквивалентные с одинаковым знаменателем. Выполнить операцию необходимо уже с этими новыми дробями. Распространяется это как на положительные, так и на отрицательные дроби.

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Для каждой дроби существует бесконечное количество эквивалентных дробей. Это значит, что обязательно есть знаменатель, являющийся одинаковым для двух или более дробей, с которыми производится действие. Такой знаменатель называют общим.

Чтобы упростить вычисления, обычно используют метод наименьшего общего кратного.

Наименьшее общее кратное (НОК) — это такое наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на оба числа. В данном случае это числа, стоящие в знаменателях двух дробей.

Для чисел 2 и 3 произведение и НОК = 6; для чисел 5 и 10 произведение равно 50, а НОК = 10; произведение чисел 4 и 6 равно 24, а их НОК = 12.

Как видно из последних двух примеров, НОК зачастую меньше, чем производное двух данных чисел. Благодаря НОК можно значительно сократить запись решения, поскольку отпадает нужда в ненужном сокращении дробей.

Чтобы найти НОК, необходимо разложить знаменатели обеих дробей на простые множители, а затем выбрать в разложении наименьшего знаменателя множители, не вошедшие в разложение большего знаменателя, и добавить их туда. После чего перемножить все полученные множители.

Найдем НОК чисел 12 и 18.

В разложение наименьшего знаменателя 12 вошли множители 3, 2 и 2. А в разложении наибольшего знаменателя 18 множитель 2 встречается только один раз, в нем не хватает еще одного множителя 2. Поэтому мы добавляем его к множителям числа 18. Получаем:

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо найти не только НОК, но и дополнительный множитель. Это такой множитель, на который необходимо умножить каждую из дробей. Для этого необходимо поделить НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдем дополнительный множитель для дробей (frac1<12>) и (frac5<18>.)

НОК для этих дробей уже известно и равно 36. Тогда:

Следовательно, дополнительный множитель для первой дроби равен 3, а для второй – 2.

Затем каждую дробь необходимо умножить на дополнительный множитель и произвести действия с полученными дробями с одинаковыми знаменателями.

Найдем значения выражений ( frac1<12>+frac5<18>) и (frac5<18>-frac1<12>.)

Таким образом, можно сформулировать алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями.

Найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей.
Найти дополнительный множитель для каждой дроби.
Умножить изначальные дроби на дополнительный множитель, чтобы привести их к общему знаменателю, преобразовав в эквивалентные дроби.
Провести операцию сложения или вычитания между числителями, а знаменатель оставить неизменным. При возможности дробь сократить.

С помощью формул сокращенного умножения

Иногда в знаменателе находится не простое число, а выражение, так что найти НОК не удается. В таких случаях стоит присмотреться к выражению в знаменателе: возможно, там будет формула сокращенного умножения. К таким формулам относят:

квадрат суммы: (<(a+b)>^2=a^2+2ab+b^2)
квадрат разности: (<(a-b)>^2=a^2-2ab+b^2)
разность квадратов: (a^2-b^2=(a-b)(a+b))
куб суммы: (<(a+b)>^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)
куб разности: (<(a-b)>^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)
сумма кубов: (a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2))
разность кубов: (a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2))

С вынесением общего множителя за скобки

При нахождении общего знаменателя может понадобиться разложить исходный сложный знаменатель на множители, чтобы упростить его.

С одночленом или числом

Если необходимо сложить (вычесть) дробь и натуральное число, необходимо представить это число в виде дроби с тем же знаменателем. Результатом вычисления может получиться неправильная дробь — в таком случае необходимо преобразовать ее в смешанное число.

Если число не целое, а смешанное, то работать нужно отдельно с целыми и дробными частями.

В случае с одночленами, то есть выражениями с одной переменной, действия производятся так же, как и с целыми числами. Одночлен необходимо представить в виде дроби.

Сложение и вычитание алгебраических дробей
Основные правила, операции без преобразования
Сложение и вычитание алгебраических дробей
- Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
- С помощью формул сокращенного умножения
- С вынесением общего множителя за скобки
- С одночленом или числом

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Одно и то же количество можно выразить разными эквивалентными дробями.

Если числитель и знаменатель дроби (frac12) умножить на 2, получится равная ей дробь (frac24.)

Основные правила, операции без преобразования

Сложение (вычитание) дробей — это упрощение выражений вида (frac abpmfrac cb) или (frac abpmfrac cd) , где (cneq d.)

Общее правило сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем выглядит следующим образом:

где a, b и с — натуральные числа, (bneq0.)

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Чтобы упростить вычисления, обычно используют метод наименьшего общего кратного.

Найдем НОК чисел 12 и 18.

Найдем дополнительный множитель для дробей (frac1<12>) и (frac5<18>.)

НОК для этих дробей уже известно и равно 36. Тогда:

Следовательно, дополнительный множитель для первой дроби равен 3, а для второй – 2.

Найдем значения выражений ( frac1<12>+frac5<18>) и (frac5<18>-frac1<12>.)

Найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей.
Найти дополнительный множитель для каждой дроби.
Умножить изначальные дроби на дополнительный множитель, чтобы привести их к общему знаменателю, преобразовав в эквивалентные дроби.
Провести операцию сложения или вычитания между числителями, а знаменатель оставить неизменным. При возможности дробь сократить.

С помощью формул сокращенного умножения

квадрат суммы: (<(a+b)>^2=a^2+2ab+b^2)
квадрат разности: (<(a-b)>^2=a^2-2ab+b^2)
разность квадратов: (a^2-b^2=(a-b)(a+b))
куб суммы: (<(a+b)>^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)
куб разности: (<(a-b)>^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)
сумма кубов: (a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2))
разность кубов: (a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2))

С вынесением общего множителя за скобки

С одночленом или числом

Если число не целое, а смешанное, то работать нужно отдельно с целыми и дробными частями.

Как складывать дроби с разными знаменателями?

Правила сложения дробей с разными знаменателями

Правила сложения дробей с разными знаменателями:

2. Привести дроби к наименьшему общему знаменателю;

3. Сложить числители дробей, а знаменатель оставить неизменным.

Пример сложения дробей с разными знаменателями

Сложить две дроби

У этих двух дробей разные знаменатели. Мы можем складывать только дроби с одинаковыми знаменателями. Поэтому нужно привести дроби к общему знаменателю.

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.

Как найти общий знаменатель дробей?

Сначала находим НОК (наименьшее общее кратное) чисел 4 и 8 (это знаменатели наших дробей).

Число 8 делится на 4.

Отсюда сразу делаем вывод, что 8 есть наименьшее общее кратное чисел 8 и 4.

Ответ: нок чисел 4 и 8 равен 8:

Полученный результат 8 и есть общий знаменатель данных двух дробей.

2. Привести дроби к общему знаменателю.

Как привести дроби к общему знаменателю?

Наш общий знаменатель равен 8.

У второй дроби знаменатель уже равен 8, её оставляем неизменной.

У первой дроби знаменатель равен 4. Её нужно привести к знаменателю 8.

2 есть дополнительный множитель.

Умножаем и числитель, и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель:

1 * 2	=	2
4 * 2	=	8

Таким образом мы привели первую дробь к общему знаменателю 8.

Запишем всё вместе:

1	+	3	=	1 * 2	+	3	=	2	+	3
4	+	8	=	4 * 2	+	8	=	8	+	8

Теперь мы имеем две дроби с одинаковыми знаменателями.

3. Сложить числители дробей, а знаменатель оставить неизменным.

Складываем только числители полученных дробей с общим знаменателем: