Чтобы разделить корни с одинаковыми показателями, нужно разделить подкоренные выражения, а показатель корня оставить прежний. Если показатели корней разные, то сначала нужно привести корни к общему показателю, а потом — поделить получившиеся корни с одинаковыми показателями.
Как можно сокращать корни?
Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться. Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить.
Как складывать вычитать умножать и делить корни?
Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!
Для начала необходимо разложить 50 на 2 множителя 25 и 2, затем извлечь корень из 25, который равен 5, а 5 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 5 на 6 (множитель у корня) и получить 30√2 .
Как вывести из под корня?
Правило. Чтобы, извлечь квадратный корень из данною целого числа, разбивают его, от правой руки к левой, на грани, по 2 цифры в каждой, кроме последней, в которой может быть и одна цифра. Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.
Как умножать корни с разными основаниями?
Чтобы умножить корни с разными показателями, предварительно их нужно привести к общему показателю, а затем умножить как корни с одинаковыми показателями. Пусть, например, надо умножить n√a на m√b . Используя теорему 3 § 80, можно написать: √a = nm√a m ; m√b = mn√bn .
Можно ли корень делить на корень?
Можно делить (число на корень или корень на число) — для этого нужно занести под знак корня (в числитель или в знаменатель) это число, возведённое в степень с показателем, как у корня.
Как сократить квадратный корень?
Разложение корня на множители
- Разделите подкоренное число на 2, если оно четное.
- Запишите выражение в виде корня произведения двух чисел.
- Продолжите раскладывать числа, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел.
- Упростите выражение с квадратным корнем.
Можно ли вычитать корни?
Складывать и вычитать квадратные корни можно только при условии, что у них одинаковое подкоренное выражение, то есть вы можете сложить или вычесть 2√3 и 4√3, но не 2√3 и 2√5. Вы можете упростить подкоренное выражение, чтобы привести их к корням с одинаковыми подкоренными выражениями (а затем сложить или вычесть их).
Как обычное число умножить на корень?
Умножьте множители. Множитель — число , стоящее перед знаком корня . Умножьте числа под знаком корня . После того как вы перемножили множители, перемножьте числа под знаком корня .
Как извлечь корень из любого числа?
Чтобы извлечь квадратный корень из целого числа, воспользуйтесь делением в столбик. Для этого разделите целое число (делимое) на некоторое число (делитель) так, чтобы результат (частное) совпал с делителем. Например: 16 делить на 4 равно 4; 4 делить на 2 равно 2 и так далее.
Как вычислить значение корня?
Как найти квадратный корень из десятичной дроби
- забыть про запятую в исходной десятичной дроби и представить её в виде целого числа;
- вычислить для целого числа квадратный корень;
- полученное целое число заменить на десятичную дробь (поставить запятую исходя из правила умножения десятичных дробей).
Как быстро найти корень из числа?
Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем. Например, для числа 3364 мы нашли два числа-кандидата: 52 и 58.
Как внести множитель под знак корня?
Внести множитель под знак квадратного корня — значит возвести множитель во вторую степень (в «квадрат») и поместить его под знак корня. При внесении множитель умножается на подкоренное выражение.
Как умножить корни с разными Подкоренными выражениями?
Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом: Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.
Как умножать корни между собой?
Извлеките квадратный корень из полного квадрата, а результат запишите перед знаком корня. Другой множитель оставьте под знаком корня. Так вы упростите подкоренное выражение. Возведите квадратный корень в квадрат.
Выражения, содержащие корень, который нельзя извлечь, называются иррациональными или радикальными.
— иррациональные выражения.
Сложение и вычитание корней
При сложении или вычитании иррациональных выражений их пишут одно за другим с сохранением их знаков.
В некоторых случаях с помощью преобразования можно сделать иррациональные выражения подобными, то есть, имеющими одинаковые показатели корней и подкоренные числа (или выражения), а затем сделать приведение.
Умножение и деление корней
При умножении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней перемножаются их подкоренные числа или выражения:
При делении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней подкоренное число или выражение делимого делится на подкоренное число или выражение делителя:
Возведение корня в степень
Чтобы возвести в степень иррациональное выражение, следует возвести в степень подкоренное число или выражение:
При возведении в n-ю степень знак корня отбрасывается, так как возведение числа (или выражения) в n-ю степень и извлечение из него корня n-ой степени — это взаимно сокращающиеся действия:
Извлечение корня
Чтобы извлечь корень из иррационального выражения, следует показатели корней перемножить:
, так как
С помощью таких преобразований можно упростить извлечение корней 4-й, 6-й, 8-й, 9-й и т. п. степеней из чисел.
Сокращение корней
Величина иррационального выражения не изменится, если показатель корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же число:
так как извлечение корня и возведение в степень — это взаимно сокращающиеся действия, если их показатели равны.
На этом свойстве основано сокращение корней и приведение их к общему показателю.
Сокращение корней — это деление показателей корня и подкоренного числа (или выражения) на одно и то же число, если оно является общим множителем для всех показателей.
Приведение корней к общему показателю
Приведение корней к общему показателю имеет большое сходство с приведением дробей к общему знаменателю. Рассмотрим два способа:
-
Показатели корней не имеют общих множителей. В этом случае показатель каждого корня и его подкоренное число (или выражение) умножают на произведение остальных корней.
Рассмотрим три выражения:
,
Так как у данных показателей нет общего множителя, то просто перемножаем все показатели между собой. Полученный результат и станет общим показателем. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:
Показатели корней имеют общий множитель. В этом случае надо найти НОК показателей и умножить показатель каждого корня на недостающий множитель.
Рассмотрим два выражения:
,
НОК (4, 6) = 12, значит, для первого выражения дополнительным множителем будет 3, а для второго 2. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:
При умножении и делении иррациональных выражений с разными показателями их приводят к общему показателю, а затем уже умножают или делят их подкоренные числа или выражения.
При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.
К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.
Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов
Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы. Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?
При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.
Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.
Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.
Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.
Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.
Разложение на простые множители
Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители. Простые множители — это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.
Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.
Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.
Метод Герона
Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона. Его суть заключается в использовании приближённой формулы:
где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.
Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:
√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.
Теперь проверим точность метода:
Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:
√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
Проверим точность расчёта:
После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.
Вычисление корня делением в столбик
Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора.
Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.
- Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
- Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 — первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
- Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
- Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
- Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
- Повторим шаги 3—6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.
- Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.
В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.
Поразрядное вычисление значения квадратного корня
Метод обладает высокой точностью. Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.
Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.
В уроке «Степень числа» мы проходили, что возвести в квадрат число означает умножить число на само себя. Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:
Но как быть, если нам нужно получить обратный результат? Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число « 9 »?
Нахождение исходного числа, которое в квадрате дало бы требуемое, называется извлечением квадратного корня.
Извлечение квадратного корня — это действие, обратное возведению в квадрат.
У квадратного корня есть специальный знак. Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает « 9 », это число « 3 ». Запись извлечения квадратного корня из числа « 9 » выглядит так:
Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический». Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.
Число под знаком корня называют подкоренным выражением.
Подкоренное выражение может быть представлено не только одним числом. Всё, что находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Оно может сожержать как числа, так и буквы.
Извлекать квадратный корень можно только из положительного числа.
- √ −9 = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
- √ 64 = 8
- √ −1,44 = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
- √ 256 = 16
Квадратный корень из нуля
Квадратный корень из нуля равен нулю.
Квадратный корень из единицы
Квадратный корень из единицы равен единице.
Как найти квадратный корень из числа
Квадратные корни из целых чисел, чьи квадраты известны, вычислить довольно просто. Для этого достаточно выучить таблицу квадратов.
Чаще всего в задачах школьного курса математики требуется найти квадратный корень из квадратов чисел от 1 до 20 .
Решение примеров с квадратными корнями
№ 307 Алимов 9 класс
Вычислить арифметический квадратный корень из числа.
- √ 81 = 9
- √ 64 = 8
- √ 100 = 10
Как найти квадратный корень из десятичной дроби
При нахождении квадратного корня из десятичной дроби нужно выполнить следующие действия:
- забыть про запятую в исходной десятичной дроби и представить её в виде целого числа;
- вычислить для целого числа квадратный корень;
- полученное целое число заменить на десятичную дробь (поставить запятую исходя из правила умножения десятичных дробей).
Более подробно разберем на примере ниже.
№ 307 Алимов 9 класс
Вычислить квадратный корень из десятичной дроби « 0,16 ».
По первому пункту правила забудем про запятую в десятичной дроби и представим ее в виде целого числа « 16 ».
Нетрудно вспомнить, какое число в квадрате дает « 16 ». Это число « 4 ».
Вспомним правило умножения десятичных дробей. Количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей равняется сумме количества знаков после запятой каждой дроби.
Т.е., например, при умножении « 0,15 » на « 0,3 » в полученном произведении будет десятичная дробь с тремя знаками после запятой.
Значит, при вычислении квадратного корня √ 0,16 нам нужно найти десятичную дробь, у которой был бы только один знак после запятой. Мы исходим из того, что в результате умножения десятичной дроби на саму себя в результате должно было получиться два знака после запятой, как у десятичной дроби « 0,16 ».
Получается, что ответ — десятичная дробь « 0,4 ».
Убедимся, что квадрат десятичной дроби « 0,4 2 » дает « 0,16 ». Умножим в столбик « 0,4 » на « 0,4 ».
Рассмотрим другой пример вычисления квадратного корня из десятичной дроби. Вычислить:
Представим вместо десятичной дроби « 1,44 » целое число « 144 ». Какое число в квадрате даст « 144 »? Ответ — число « 12 ».
Т.к. в десятичной дроби « 1,44 » — два знака после запятой, значит в десятичной дроби, которая дала в квадрате « 1,44 » должен быть один знак после запятой.
Убедимся, что « 1,2 2 » дает в квадрате « 1,44 ».
1,2 2 = 1,2 · 1,2 = 1,44
Квадратные корни из чисел √ 2 , √ 3 , √ 5 , √ 6 , и т.п.
Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен √ 2 или √ 3 и т.п.
В самом деле, какое число в квадрате даст « 2 »? Или число « 3 »? Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя непериодическую десятичную дробь и входит в множество иррациональных чисел.
Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:
√ 15 − 2 · 4 = √ 15 − 8 = √ 7
Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число « 7 ». Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.
Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно оставить с корнем.
√ 15 − 2 · 4 = √ 15 − 8 = √ 7
Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора, то после вычисления квадратного корня на калькуляторе округлите результат до необходимого количества знаков.
Текст задания в таком случае может быть написан следующим образом:
«Вычислить. Квадратные корни найти с помощью калькулятора и округлить с точностью до « 0,001 ».
√ 15 − 2 · 4 = √ 15 − 8 = √ 7 ≈ 2,646
Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет:
- найти квадратные или кубические корни из заданных чисел;
- выполнить математическое действие с дробными степенями.
| Число знаков после запятой: |
| √ |
Что такое квадратный корень
Корень n степени натурального числа a — число, n степень которого равна a (подкоренное число). Обозначается корень символом √. Его называют радикалом.
Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.
Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.
Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16.
Проводим расчеты вручную
Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:
1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.
Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.
25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:
Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.
Возьмем 784 и извлечем из него корень.
2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.
Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.
2,7 x 2,7 = 7,2. Не подходит, так как 7,2>7, берем меньшее 2,6 x 2,6 = 6,76. Оставляем, ведь 6,76
Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.
При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.
— целую часть справа налево;
Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа.
А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_.
Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.
1. Введите желаемое количество знаков после запятой.
2. Укажите степень корня (если он больше 2).
3. Введите число, из которого планируете извлечь корень.
В данной публикации мы рассмотрим, что такое квадратный корень, приведем примеры, перечислим основные свойства, а также продемонстрируем, как выглядит график его функции.
- Определение квадратного корня
- Свойства квадратного корня
- График квадратного корня
Определение квадратного корня
Арифметический квадратный корень из числа a – это такое число x , которое при возведении в квадрат (или другими словами во вторую степень) дает число a .
Квадратный корень (иногда также называют корнем второй степени) обозначается специальным знаком – √ . Например √ 4 , читается как “квадратный корень из четырех”.
Другой вид записи –. Но цифру 2 обычно опускают, подразумевая именно ее.
Подкоренное выражение для примера выше – это 4. Однако оно может быть представлено не только числом, но и и математическим выражением, содержащим как буквы, так и цифры. Например, .
Вычисление значения x называется извлечением квадратного корня из числа a (является обратным возведению в квадрат действием):
- √ 4 = 2
- √ 9 = 3
- √ 16 = 4
- √ 25 = 5
Извлекать квадратный корень можно только из положительного числа. При этом ответ ( x ), также, всегда будет больше нуля.
Примечание:
Для удобства можно выучить или всегда иметь под рукой таблицу квадратов чисел, хотя бы до 10-20.
Свойства квадратного корня
- Корень произведения:
- Корень деления:
- Корень как возведение в степень:
- Сложение или вычитание корней не равно корню из суммы или разности: .
К квадратному корню, также, применимы свойства корней в n-ой степени.
График квадратного корня
На координатной плоскости функция выглядит следующим образом:
График берет начало в точке , является монотонно возрастающим, располагается исключительно в I четверти координатной плоскости, т.к. определен только для , при которых принимает положительные значения y .
По какому принципу производится сокращение дробей с квадратными корнями?
Например, как сократить такую дробь:
Тут на помощь должнв приходить теория.
А теория эта для квадратных корней зиждется на трех основных истинах:
1) корень из числа Х возведенный в квадрат равен самому числу Х
2) корень из произведения чисел X и Y равен произведению из корней X и Y соответственно
3) корень из частного от деления чисел X и Y равен частному от деления корней X и Y соответственно.
В преобразованиях часто используется прием домножения числителя и знаменателя на выражение обратное по смыслу знаменателю, таким образом, чтобы в знаменателе получалось выражение для разности квадратов. Тогда, от корней в знаменателе можно уйти совсем, что заметно облегчает задачу по сокращению дробей. Здесь я не могу (откровенно говоря — просто лень) представить символьно знак квадратного корня, потому и не привожу решения ваших уравнений.
Но проявив некоторую смекалку и выше названные правила вы вполне справитесь и самостоятельно (дам лишь «наводку» — применяйте правила группировки выражений). Например, 35 = 5 * 7, 14 = 2 * 7, 6 = 3 * 2, 15 = 5 * 3 и т.п.
Таким образом первое ваше выражение можно легко свести к корню из дроби 5 / 2.
Свойства квадратных корней.
- ;
- если а ≥ 0 и b > 0;
- если а ≥ 0 и n — натуральное число;
- если а ≥ 0 и n — натуральное число.
- Обратите внимание, (−5) 2 = 25, но .
- Корень не может равняться неположительному числу.
- — невозможно вычислить, корень из отрицательного числа не существует.
- Если , то b 2 = a, при а ≥ 0 и b ≥ 0, это одно из важнейших свойств корней.
- Важно понимать, что квадратный корень — это другая запись степени ½:
- Величина корня не изменится, если его показатель увеличить в n раз и одновременно возвести подкоренное значение в степень n:
- Величина корня не изменится, если показатель степени уменьшить в n раз и одновременно извлечь корень n-й степени из подкоренного значения:
- Корень от частного равен частному от деления корня из делимого на корень из делителя (показатели корней должны быть одинаковыми):
- Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:
Обратно, чтобы извлечь корень из степени, достаточно возвести в эту степень корень из основания степени:
- Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей (тоже важное свойство корней):
Обратно, произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных значений:
Квадратный корень как элементарная функция.
Квадратный корень – это элементарная функция и частный случай степенной функции при . Арифметический квадратный корень является гладким при , а в нуле он непрерывен справа, но не дифференцируется (отличительное свойтво корней).
Как функция комплексный переменный корень — двузначная функция, у которой листы сходятся в нуле.
Свойство корня как функции.
На [0; +∞) можно поставить каждому числу х в соответствие единственное число корень n-степени из x при любом значении n.
То есть это означает, что на множестве [0; +∞) можно говорить о функции корня:
Теперь определим свойства функции корня и построим ее график.
Основные свойства корня как функции:
Промежуток [0; +∞) – является областью определения.
Так как неотрицательное число является корнем n-степени из неотрицательного числа, значит промежуток [0; +∞) будет областью значения функции.
Поскольку симметричным множеством не является область определения функции, поэтому данная функция не является ни нечетной, ни четной.
Операция по извлечению корня вводилась как обратная операция возведения в соответствующую степень.
Значит можно утверждать, что:
Теперь можно построить график функции корня.
Пользуясь графиком, можно записать оставшиеся свойства функции.
На промежутке [0; +∞) функция возрастает.
Сверху функция не ограничена, но она ограничена снизу, например, прямой у, которая = -0,5.
На всей области определения функция выпукла вверх.
У функции наименьшим значением будет являться 0, а наибольшего значения она не имеет.
Если в каждой из точек некоторого промежутка функция дифференцируема, то это значит, что на данном промежутке она непрерывна.
В любой точке промежутка [0; +∞) существует эта производная, исключением является только точка 0.
Поскольку в любой точке промежутка (0; +∞) функция имеет производную, значит на промежутке (0; +∞) функция дифференцируема.