Как делить многочлены

В этой статье рассмотрим один из способов разложения на множители многочленов высших степеней. С его помощью вы сможете решать уравнения и неравенства вида:

Пример:
(6x^2+6+x^3+11x) записываем как (x^3+6x^2+11x+6)

1) Подбором найдите один из корней многочлена.

Для этого вместо (x) подставьте по очереди числа: (±1,±2,±3,±4,±5) и т.д. Число, которое сделает многочлен нулем и будет его корнем.

Пример:
(x^3+6x^2+11x+6)
Подставим (1). Имеем: (1^3+6 cdot 1^2+11cdot 1+6=24) — не равно нулю. Ищем дальше.
Подставим (-1). Получим: ((-1)^3+6cdot (-1)^2+11cdot (-1)+6=-1+6-11+6=0) – значит (-1) корень нашего многочлена.

Матхак! Пробуйте сначала числа, на которые свободный член делиться нацело. В данном случае свободный член (6), поэтому в первую очередь нужно пробовать числа: (±1,±2,±3) и (±6).

2) Поделите исходный многочлен на (x-x_0), где (x_0) – найденный корень. Процесс деления многочлена на многочлен сильно похож на обычное деление в столбик — поэтому и называется деление «уголком».

а) Запишите многочлены как числа при делении столбиком:

б) Подберите такой одночлен, чтобы при умножении его на (x), получалось первое слагаемое исходного многочлена, то есть в нашем случае (x^3). Очевидно, что таким одночленом будет (x^2).

в) Умножьте этот одночлен на делитель и запишите результат под исходным многочленом. Таким образом, мы умножаем (x^2) на (x+1) и получаем (x^3+x^2).

г) Теперь точно так же, как в случае деления натуральных чисел, поставьте знак минус, проведите горизонтальную черту и сделайте вычитание.

Как делить многочлены

д) Повторите шаги б) – г) только уже с новым многочленом:
— подберите такой одночлен, чтобы при умножении на (x) первое слагаемое было таким же, как в новом многочлене:
в нашем примере этим одночленом будет (5x).
— умножьте этот одночлен на делитель:
умножив (5x) на (x+1) получим (5x^2+5x).
— вычтите получившиеся многочлены:

Как делить многочлены

е) И вновь повторяем шаги б) – г) до тех пор, пока после вычитания не останется ноль.

Как делить многочлены

3) Запишите новый вид многочлена, представив его как произведение делителя и частного.
(x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x^2+5x+6))

Матхак! Если есть сомнения в правильности разложения, можно проверить его раскрытием скобок – в результате должен получиться исходный многочлен.
Проверим наш случай: ((x+1)(x^2+5x+6)=x^3+5x^2+6x+x^2+5x+6=x^3+6x^2+11x+6).
Получен исходный многочлен, значит, поделили правильно.

Матхак! Если в результате деления у вас в остатке получился не ноль, значит, скорее всего, в решении есть ошибка.

Давайте теперь решим пример с применением изученного материала.

Пример: Решите неравенство (x^4-3x^3+6x-4≥0).

Найдем один из корней многочлена слева. Проверим (1).

Поделим многочлен (x^4-3x^3+6x-4) на ((x-1)) уголком. Однако замечаем, что у нас нет слагаемого с квадратом. Чтоб нам было удобнее решать, запишем вместо него выражение (0·x^2) (ведь его значение равно нулю, а значит оно ничего не меняет в исходном многочлене).

Как делить многочлены

Запишем новый вид нашего неравенства.

С первой скобкой все хорошо, а вот вторую надо бы разложить еще. Так как высшая степень в ней — куб, то мы можем попробовать разложить методом группировки, что проще чем деление в столбик. У первых двух слагаемых вынесем за скобку (x^2), а у третьего и четвертого – минус двойку.

Теперь выносим общую скобку ((x-2)) за скобку.

Но и это еще не все, потому что (x^2-2) можно разложить с помощью формулы сокращенного умножения «разность квадратов»: (a^2-b^2=(a-b)(a+b)).

Вот сейчас все готово для применения метода интервалов .

Калькулятор делит один многочлен на другой, в результате получаем многочлен-частное и остаток от деления

Калькулятор ниже делит один многочлен на другой. В результате получаем два многочлена — частное и остаток. Принцип деления многочленов описан ниже.

Деление многочленов

  • Многочлен, который нужно поделить записывается в строку, включая нулевые члены.
  • Определим первый член результата деления, делением первого члена делимого на первый член делителя.
  • Умножим многочлен делитель на полученный на предыдущем шаге результат деления.
  • Запишем получившийся многочлен сразу под предыдущим многочленом.
  • Вычтем полученный на предыдущем шаге многочлен из начального многочлена.
  • Запишем остаток следующей строкой, пропуская начальные члены, обратившиеся в ноль.
  • Если степень оставшегося полинома выше или равна степени делителя повторим все шаги, кроме первого для остаточного многочлена.
  • В противном случае деление закончено, все полученные множители составляют частное, оставшийся полином или константа — остаток от деления.

Рассмотрим процесс деления многочленов на примере деления 3x 4 +5x 3 +2x+4 на x 2 +2x+1.

x 4 x 3 x 2 x x 0 Описание Результат
+3x 4
+3x 4
+5x 3
+6x 3
+0x 2
+3x 2
+2x +4 От начального многочлена отнимаем делитель x 2 +2x+1 , умноженный на 3x^2
-1x 3
-1x 3
-3x 2
-2x 2
-2x
-1x
Из остатка предыдущей операции вычитаем делитель, умноженный на -x
-1x 2
-1x 2
+3x
-2x
+4
-1
Из остатка предыдущей операции вычитаем делитель, умноженный на -1
+5x +5 Степень остаточного полинома (1) меньше степени делителя (2) — деление окончено.

В итоге получаем результат деления: 3x 2 -x-1 и остаток 5x+5.

С помощью данной математической программы вы можете поделить многочлены столбиком.
Программа деления многочлена на многочлен не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вам нужно или упростить многочлен или умножить многочлены, то для этого у нас есть отдельная программа Упрощение (умножение) многочлена

Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком)

В алгебре деление многочленов столбиком (уголком) — алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен (двучлен) g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x).

Алгоритм деления многочлена на многочлен представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

Для любых многочленов ( f(x) ) и ( g(x) ), ( g(x) neq 0 ), существуют единственные полиномы ( q(x) ) и ( r(x) ), такие что
$$ frac = q(x)+frac $$
причем ( r(x) ) имеет более низкую степень, чем ( g(x) ).

Целью алгоритма деления многочленов в столбик (уголком) является нахождение частного ( q(x) ) и остатка ( r(x) ) для заданных делимого ( f(x) ) и ненулевого делителя ( g(x) )

Пример

Разделим один многочлен на другой многочлен (двучлен) столбиком (уголком):
$$ frac $$

6. Конец алгоритма.
Таким образом, многочлен ( q(x)=x^2-9x-27 ) — частное деления многочленов, а ( r(x)=-123 ) — остаток от деления многочленов.

Результат деления многочленов можно записать в виде двух равенств:
( x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 )
или
$$ frac = x^2-9x-27 + frac<-123> $$

Напомним, что разделить натуральное число a на натуральное число b – это значит представить число a в виде:

где частное c и остаток r – целые неотрицательные числа, причем остаток r удовлетворяет неравенству:

Если друг на друга делить многочлены, то возникает похожая ситуация.

Действительно, при выполнении над многочленами операций сложения, вычитания и умножения результатом всегда будет многочлен. В частности, при перемножении двух многочленов, отличных от нуля, степень произведения будет равна сумме степеней сомножителей.

Однако в результате деления многочленов многочлен получается далеко не всегда.

Говорят, что один многочлен нацело (без остатка) делится на другой многочлен , если результатом деления является многочлен.

Если же один многочлен не делится нацело на другой многочлен, то всегда можно выполнить деление многочленов с остатком , в результате которого и частное, и остаток будут многочленами.

Определение . Разделить многочлен a(x) на многочлен b(x) с остатком – это значит представить многочлен a(x) в виде

где многочлен c(x) – частное , а многочлен r(x) – остаток , причем, степень остатка удовлетворяет неравенству:

Очень важно отметить, что формула

является тождеством, т.е. равенством, справедливым при всех значениях переменной x .

При делении (с остатком или без остатка) многочлена на многочлен меньшей степени в частном получается многочлен, степень которого равна разности степеней делимого и делителя.

Один из способов деления многочленов с остатком – это деление многочленов «уголком» , что представляет собой полную аналогию с тем, как это происходит при делении целых чисел.

К описанию этого способа деления многочленов мы сейчас и переходим.

Пример . Заранее расположив многочлены по убывающим степеням переменной, разделим многочлен

Решение . Опишем алгоритм деления многочленов «уголком» по шагам:

    Делим первый член делимого 2x 4 на первый член делителяx 2 . Получаем первый член частного 2x 2 .

Умножаем первый член частного 2x 2 наделительx 2 – x + 1, а результат умножения

пишем под делимым 2x 4 – x 3 + 5x 2 – 8x + 1 .

Вычитаем из делимого написанный под ним многочлен. Получаем первый остаток

Если бы этот остаток был равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя ( в данном случае меньше 2), то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.

Делим первый член остаткаx 3 на первый член делителяx 2 . Получаем второй член частного x .

Умножаем второй член частного x на делительx 2 – x + 1 , а результат умножения

пишем под первым остатком x 3 + 3x 2 – 8x .

Вычитаем из первого остатка написанный под ним многочлен. Получаем второй остаток

Если бы этот остаток был бы равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя, то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.

Делим первый член второго остатка 4x 2 на первый член делителяx 2 . Получаем третий член частного 4 .

Умножаем третий член частного 4 на делительx 2 – x + 1 , а результат умножения

пишем под вторым остатком.

Вычитаем из второго остатка написанный под ним многочлен. Получаем третий остаток

Степень этого остатка равна 1, что меньше, чем степень делителя. Следовательно, процесс деления закончен.

Как делить многочлены

Как делить многочлены

Запись изложенного процесса деления многочленов «уголком» имеет следующий вид:

Сегодня мы узнаем, как выполняется деление многочленов друг на друга, причем выполнять деление мы будем уголком по аналогии с обычными числами. Это очень полезный прием, который, к сожалению, не изучают в большинстве школ. Поэтому внимательно прослушайте данный видеоурок. Ничего сложного в таком делении нет.

Для начала давайте разделим друг на друга два числа:

Как можно это сделать? В первую очередь, мы отсекаем столько разрядов, чтобы полученное числовое значение было больше чем то, на которое мы делим. Если мы отсечем один разряд, то получим пять. Очевидно, семнадцать в пять не вмещается, поэтому этого недостаточно. Берем два разряда — у нас выйдет 59 — оно уже больше, чем семнадцать, поэтому мы можем выполнить операцию. Итак, сколько раз семнадцать помещается в 59? Давайте возьмем три. Перемножаем и записываем результат под 59. Итого у нас получилось 51. Вычитаем и у нас вышло «восемь». Теперь сносим следующий разряд — пять. Делим 85 на семнадцать. Берем пять. Перемножим семнадцать на пять и получаем 85. Вычитаем и у нас получается ноль.

Решаем реальные примеры

Задача № 1

Теперь выполним те же самые шаги, но не с числами, а с многочленами. Для примера возьмем такое:

Обратите внимание, если при делении чисел друг на друга мы подразумевали, что делимое всегда больше делителя, то в случае деления полиномов уголком, необходимо, чтобы степень делимого была больше, чем делителя. В нашем случае все в порядке — мы работаем с конструкциями второй и первой степени.

Итак, первый шаг: сравниваем первые элементы. Вопрос: на что нужно домножить $x$, чтобы получилось $<^<2>>$? Очевидно, что на еще один $x$. Умножаем $x+5$ на только что найденное число $x$. У нас есть $<^<2>>+5$, которое вычитаем из делимого. Остается $3x$. Теперь сносим следующее слагаемое — пятнадцать. Снова посмотрим на первые элементы: $3x$ и $x$. На что следует домножить $x$, чтобы вышло$3x$? Очевидно, что на три. Домножаем почленно $x+5$ на три. Когда мы вычтем, то получим ноль.

Как видите, вся операция деления уголком свелась к сравнению старших коэффициентов при делимом и делителе. Это даже проще, чем когда вы делите числа. Тут не требуется выделять какое-то количество разрядов — мы просто на каждом шаге сравниваем старшие элементы. Вот и весь алгоритм.

Задача № 2

Давайте попробуем еще:

Первый шаг: посмотрим на старшие коэффициенты. На сколько нужно домножить $x$, чтобы записать$<^<2>>$? Домножаем почленно. Обратите внимание, при вычитании у нас получится именно $2x$, потому что

Сносим -2 и снова сравним первый полученный коэффициент со старшим элементом делителя. Итого у нас вышел «красивый» ответ.

Переходим ко второму примеру:

В этот раз в качестве делимого выступает полином третьей степени. Сравним между собой первые элементы. Для того чтобы получилось $<^<3>>$, необходимо $x$ домножить на $<^<2>>$. После вычитания сносим $9x$. Домножаем делитель на $-x$ и вычитаем. В итоге наше выражение полностью разделилось. Записываем ответ.

Задача № 3

Переходим к последней задаче:

Сравниваем $<^<3>>$ и $x$. Очевидно, нужно домножить на $<^<2>>$. В итоге мы видим, что мы получили очень «красивый» ответ. Записываем его.

Вот и весь алгоритм. Ключевых моментов здесь два:

  1. Всегда сравнивайте первую степень делимого и делителя — повторяем это на каждом шаге;
  2. Если в исходном выражении пропущены какие-либо степени, при делении уголком их обязательно следует добавить, но с нулевыми коэффициентами, иначе ответ будет неправильным.

Больше никаких премудростей и хитростей в таком делении нет.

Краткое содержание

Материал сегодняшнего урока нигде и никогда не встречается в «чистом» виде. Его редко изучают в школах. Однако умение делить многочлены друг на друга очень поможет вам при решении уравнений высших степеней, а также всевозможных задач «повышенной трудности». Без данного приема вам придется раскладывать многочлены на множители, подбирать коэффициенты — и результат при этом отнюдь не гарантирован. Однако многочлены можно делить и уголком — так же, как и обычные числа! К сожалению, данный прием не изучают в школах. Многие учителя считают, что деление многочленов уголком — это что-то безумно сложное, из области высшей математики. Спешу вас заверить: это не так. Более того, делить многочлены даже проще, чем обычные числа! Посмотрите урок — и убедитесь в этом сами.:) В общем, обязательно возьмите этот прием на вооружение. Умение делить многочлены друг на друга очень пригодится вам при решении уравнений высших степеней и в других нестандартных задачах.

Я надеюсь, этот ролик поможет тем, кто работает с полиномами, особенно высших степеней. Это относится и к старшеклассникам, и к студентам университетов. А у меня на этом все. До встречи!

Прежде всего нам ясно, что (a – b) ÷ (a – b) = 1. Мы можем записать это и так: (a 1 – b 1 ) ÷ (a – b) = 1. Рассмотрим теперь деление (a 2 – b 2 ) также на (a – b). Мы знаем, что (a + b) (a – b) = a 2 – b 2 . Отсюда мы заключаем, что (a 2 – b 2 ) ÷ (a – b) = a + b. Выполним затем еще ряд делений:

Как делить многочлены

Соединяя все эти примеры вместе, получим:

(a 1 – b 1 ) ÷ (a – b) = 1
(a 2 – b 2 ) ÷ (a – b) = a + b
(a 3 – b 3 ) ÷ (a – b) = a 2 + ab + b 2
(a 4 – b 4 ) ÷ (a – b) = a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3

Нам становится после этого ясным, что мы можем этот ряд продолжить и написать частное сразу, не выполняя самого деления: мы сообразим, руководясь предыдущим, что при делении (a 5 – b 5 ) на (a – b) получится в частном 5 членов, из них 1-й должен быть a 4 , следующий a 3 b и т. д., причем степень буквы a всякий раз понижается на 1, а степень буквы b повышается на 1, – последний член должен быть b 4 , т. е.

(a 5 – b 5 ) ÷ (a – b) = a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4 ,

(a 6 – b 6 ) ÷ (a – b) = a 5 + a 4 b + a 3 b 3 + a 2 b 3 + ab 4 + b 5

Все эти упражнения позволяют нам сделать общее заключение:

разность любых одинаковых степеней двух чисел делится на разность этих чисел без остатка, причем частное составляется по определенному закону .

Мы можем под влиянием этих примеров попытаться разобрать ряды делений, аналогичных предыдущим. Напр.: (a + b) ÷ (a + b); (a 2 + b 2 ) ÷ (a + b); (a 3 + b 3 ) ÷ (a + b); (a 4 + b 4 ) ÷ (a + b) и т. д. Прежде всего очевидно

(a 1 + b 1 ) ÷ (a + b) = 1.

Дальнейшие примеры должно проделать:

Как делить многочлены

Соединив эти примеры, получим:

Как делить многочлены

Мы также замечаем, что теперь возможно продолжить эти деления, причем результат мы можем написать сразу, не выполняя самого деления:

Мы можем сделать, ясное для нас, заключение:
сумма нечетных одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на сумму этих чисел, причем частное составляется по определенному закону; сумма же одинаковых четных степеней двух чисел не делится без остатка на сумму этих чисел.

Также точно мы еще получим:

Как делить многочлены

т. е. разность одинаковых четных степеней двух чисел делится на сумму этих чисел без остатка, а разность одинаковых нечетных степеней не делится .

Как делить многочлены

т. е. сумма любых одинаковых степеней двух чисел не делится без остатка на разность этих чисел.

Вы будете перенаправлены на Автор24

Различают два вида деления многочлена на многочлен: с остатком и без.

Многочлен $p(x)$ делится на многочлен $s(x)$, если существует такой многочлен $q(x)$, что соблюдается равенство:

Для деления многочлена с остатком существует следующее тождество:

Для любых двух многочленов $p(x)$ и $s(x)$ существует пара многочленов $q(x)$ и $r(x)$, причём такая, что выполняется равенство:

$p(x)=q(x) cdot s(x) + r(x)$

Ещё одна необходимая теорема:

Остаток от деления многочлена $p(x)$ ненулевой степени на двучлен $x-α$ равен $p(α)$, иными словами, многочлен $p(x)$ при $x= α$ равен $p(α)$.

Готовые работы на аналогичную тему

  • Курсовая работа Деление многочлена на многочлен 430 руб.
  • Реферат Деление многочлена на многочлен 220 руб.
  • Контрольная работа Деление многочлена на многочлен 240 руб.

Деление многочлена на многочлен удобно выполнять в столбик или используя правило Горнера. Ниже мы рассмотрим примеры выполнения деления полиномов в столбик.

Выполним для примера деление многочлена на многочлен и многочлена на двучлен.

Решение:

Для того чтобы разделить многочлен на другой многочлен, нужно его последовательно домножать на какой-либо одночлен до коэффициента и степени при старшем члене делимого многочлена.

Рисунок 1. Деление полинома. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Например, для этого примера в первом действии $x^2-3x-1$ нужно домножить на $x$ чтобы можно было избавиться от старшего многочлена.

Во втором действии чтобы избавиться от $x^2$, нужно домножить многочлен-делитель на $1$ и полученный многочлен $x^2-3x-1$ вычесть из остатка $x^2+4x-5$, образовавшегося после предыдущего вычитания.

Остаток $7x-4$, полученный на втором этапе, имеет степень, меньшую, чем степень многочлена-делителя, а значит, деление на этом оканчивается. Разложенный многочлен теперь можно записать в виде:

Для выполнения деления многочлена на двучлен также воспользуемся делением столбиком.

Рисунок 2. Деление многочлена на двучлен. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На первом этапе двучлен-делитель домножим на $2x^4$ чтобы изабиться от старшей степени. Полученное произведение $2x^5-4x^4$ отнимем от делимого многочлена $2x^5-3x^3-x+2$. В остатке имеем $4x^4-3x^3-x+2$.

Теперь для того чтобы избавиться от четвёртой степени, домножаем двучлен на $4x^3$ и отнимаем полученное произведение $4x^4-8x^3$ от остатка с предыдущего действия $4x^4-3x^3-x+2$.

Продолжаем выполнять аналогичные действия до тех пор, пока не получим остаток со степенью переменной меньше чем у двучлена-делителя, здесь он равен $40$.

Теперь делимый многочлен можно записать в следующем виде:

Как делить многочлены

Переменная

Говоря о многочленах нельзя не вспомнить, что такое переменная. Переменной называют численное значение, под которым может скрываться абсолютно любое число. Иногда переменную можно считать определенной, если известно, какое именно число скрывается под буквенной маской.

Но так бывает не всегда. Иногда в математике переменные так и остаются переменными. С такими значениями тоже можно и нужно работать.

Числа, которые в примерах стоят рядом с переменными зовутся коэффициентами. Коэффициенты одинаковых переменных можно складывать, вынося неизвестные значения за знак корня.

Многочлен и одночлен

Одна переменная с коэффициентом или без него зовется одночленом. Когда несколько переменных складываются или вычитаются, такое выражение зовут многочленом.

Речь идет именно о сложении и вычитании. Деление преобразует несколько одночленов в одну дробь, а умножение делает из нескольких одночленов один. Это нужно учитывать.

Деление

Помимо сложения, вычитания и умножения многочлены можно делить. Деление многочленов требует большой внимательности, поскольку здесь легко ошибиться. После деления желательно выполнять проверку.

Результатом деления многочлена на многочлен или одночлен является многочлен, в составе которого обычно находится дробь. Многочлены редко делятся нацело, поэтому остаток записывают в числитель, делитель в знаменатель и прибавляют получившуюся дробь к результату деления.

Деление многочлена на многочлен осуществляется столбиком по следующему алгоритму:

  • Проверяется возможность деления: старшая степень делитель не должна быть больше старшей степени делимого.
  • Делитель умножается на какую-то переменную так, чтобы при вычитании получившегося выражения из делимого, старшие степени взаимноуничтожились. То есть, если у делимого старший член, $а^3$, а у делителя а, то нужно число, а домножить на $а^2$.

Что мы узнали?

Мы вспомнили, что такое переменная. Поговорили о одночленах и многочленах. Вспомнили, какие действия можно осуществлять с одночленами и многочленами. Поговорили о делении неизвестных. Привели основные правила деления многочлена на многочлен.