Как избавиться от иррациональности в знаменателе

103 Урок 28. Как Избавиться От Иррациональности В Знаменателе Дроби. Алгебра 8 Класс., Math_Xfresh_Info

Пределы, содержащие иррациональности (или, попросту говоря, корни) крайне популярны у составителей типовых расчётов и контрольных работ по высшей математике. Обычно рассматриваются три группы неопределённостей:

1. Неопределённость вида $frac<0><0>$. Пример: $lim_frac-2><4-sqrt<13+x>>$.
2. Неопределенность вида $frac$. Пример: $lim_frac<9cdot sqrt[3]<5x^4-x^2+1>+7cdotsqrt[4]><11cdot sqrt[6]+4x-10>$.
3. Неопределенность вида $infty-infty$. Пример: $lim_left( sqrt-sqrt right)$.

В данной теме мы рассмотрим все три перечисленные выше группы пределов с иррациональностями. Начнём с пределов, содержащих неопределенность вида $frac<0><0>$.

Раскрытие неопределенности $frac<0><0>$.

Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:

• Избавляемся от иррациональности, вызвавшей неопределенность, домножая на так называемое «сопряжённое» выражение;
• При необходимости раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
• Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.

Термин «сопряжённое выражение», использованный выше, будет детально пояснён в примерах. Пока что останавливаться на нём подробно нет резона. Вообще, можно пойти иным путём, без использования сопряжённого выражения. Иногда от иррациональности может избавить удачно подобранная замена. Такие примеры редки в стандартных контрольных работах, поэтому на использование замены рассмотрим лишь один пример №6 (см. вторую часть данной темы).

Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:

Кроме того, предполагаем, что читатель знает формулы для решения квадратных уравнений. Если $x_1$ и $x_2$ – корни квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$, то разложить его на множители можно по следующей формуле:

Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.

Найдём отдельно пределы числителя и знаменателя:

В заданном пределе мы имеем неопределённость вида $frac<0><0>$. Раскрыть эту неопределённость нам мешает разность $sqrt<7-x>-2$. Для того, чтобы избавляться от подобных иррациональностей, применяют умножение на так называемое «сопряжённое выражение». Как действует такое умножение мы сейчас и рассмотрим. Умножим $sqrt<7-x>-2$ на $sqrt<7-x>+2$:

Чтобы раскрыть скобки применим формулу №1, подставив в правую часть упомянутой формулы $a=sqrt<7-x>$, $b=2$:

Как видите, если умножить числитель на $sqrt<7-x>+2$, то корень (т.е. иррациональность) в числителе исчезнет. Вот это выражение $sqrt<7-x>+2$ и будет сопряжённым к выражению $sqrt<7-x>-2$. Однако мы не вправе просто взять и умножить числитель на $sqrt<7-x>+2$, ибо это изменит дробь $frac-2>$, стоящую под пределом. Умножать нужно одовременно и числитель и знаменатель:

Теперь вспомним, что $(sqrt<7-x>-2)(sqrt<7-x>+2)=3-x$ и раскроем скобки. А после раскрытия скобок и небольшого преобразования $3-x=-(x-3)$ сократим дробь на $x-3$:

Неопределенность $frac<0><0>$ исчезла. Сейчас можно легко получить ответ данного примера:

Замечу, что сопряжённое выражение может менять свою структуру – в зависимости от того, какую именно иррациональность оно должно убрать. В примерах №4 и №5 (см. вторую часть данной темы) будет использован иной вид сопряжённого выражения.

Запишем пределы числителя и знаменателя:

Мы имеем дело с неопределённостью вида $frac<0><0>$. Избавимся от иррациональности в знаменателе данной дроби. Для этого доможим и числитель и знаменатель дроби $frac<3x^2-5x-2>-sqrt<7x^2-19>>$ на выражение $sqrt+sqrt<7x^2-19>$, сопряжённое к знаменателю:

Вновь, как и в примере №1, нужно использовать формулу №1 для раскрытия скобок. Подставив в правую часть упомянутой формулы $a=sqrt$, $b=sqrt<7x^2-19>$, получим такое выражение для знаменателя:

Вернёмся к нашему пределу:

В примере №1 практически сразу после домножения на сопряжённое выражение произошло сокращение дроби. Здесь перед сокращением придётся разложить на множители выражения $3x^2-5x-2$ и $x^2-4$, а уж потом перейти к сокращению. Чтобы разложить на множители выражение $3x^2-5x-2$ нужно использовать формулу №5. Для начала решим квадратное уравнение $3x^2-5x-2=0$:

Подставляя $x_1=-frac<1><3>$, $x_2=2$ в формулу №5, будем иметь:

$$ 3x^2-5x-2=3cdotleft(x-left( -frac<1><3>right)right)(x-2)=3cdotleft(x+frac<1><3>right)(x-2)=left(3cdot x+3cdotfrac<1><3>right)(x-2) =(3x+1)(x-2). $$

Теперь настал черёд разложить на множители выражение $x^2-4$. Воспользуемся формулой №1, подставив в неё $a=x$, $b=2$:

Используем полученные результаты. Так как $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, то:

Сокращая на скобку $x-2$ получим:

Всё! Неопределённость исчезла. Ещё один шаг и мы приходим к ответу:

В следующем примере рассмотрим случай, когда иррациональности будут присутствовать как в числителе, так и в знаменателе дроби.

Найдём пределы числителя и знаменателя:

Имеем неопределённость вида $frac<0><0>$. Так как в данном случае корни наличествуют и в знаменателе, и в числителе, то дабы избавиться от неопределённости придется домножать сразу на две скобки. Во-первых, на выражение $sqrt+sqrt$, сопряжённое числителю. А во-вторых на выражение $sqrt-sqrt<5x-9>$, сопряжённое знаменателю.

Раскрывая скобки с помощью формулы №1, получим:

Возвращаясь к рассматриваемому пределу, имеем:

Осталось разложить на множители выражения $-x^2+x+20$ и $x^2-8x+15$. Начнем с выражения $-x^2+x+20$. Чтобы разложить его на множители требуется решить уравнение $-x^2+x+20=0$, а затем воспользоваться формулой №5:

Для выражения $x^2-8x+15$ получим:

Подставляя полученные разожения $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ и $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ в рассматриваемый предел, будем иметь:

В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения – избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.

Тема урока: «Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби»

Образовательная: ознакомиться со способами избавления от иррациональности в знаменатели дроби.

Развивающая: развитие умения определять способ освобождения от иррациональности;

Воспитательная: воспитание последовательности в своих действиях.

Тип урока: изучение нового

уметь находить способ избавления от иррациональности понимать смысл «сопряженное выражение» уметь избавляться от иррациональности в знаменателе.

Оборудование: карточки к самостоятельной работе (теста) ,оценочный лист, опорный конспект.

1. Эмоциональный настрой. (2 мин)

— Извлекать корни умеешь? – спрашивает учитель

— Да, конечно. Нужно потянуть за стебель растения посильнее, и корень его извлечётся из почвы.

— Нет, я имел в виду другой корень, например, из девяти.

— Это будет «девя», так как «ть»-суффикс.

— Я имею в виду корень квадратный.

— Квадратных корней не бывает. Они бывают мочковатые и стержневые.

— Арифметический квадратный корень из девяти.

— Так бы и сказали! Квадратный корень из девяти равен 3!

А вы корни извлекать умеете?

2. «Повторение – мать учения».

2.Проверка дом/з. Проверка теоретического материала:

1) Как называется выражение 2) Сформулируйте определение арифметического квадратного корня. 3) При каких значениях выражение имеет смысл? 4) Сформулируйте правило нахождения квадратного корня из произведения? Из дроби?

Индивидуальная работа (по карточкам)

. Выполни действия: (Интерактивная доска)

1. Подбери неизвестный множитель (Слайд3 )

Отвечают с места

Проверяют в парах

Работают индивидуально и проверяют, оценивая в баллах.

Баллы заносят в оценочную карту

3. «Книга – книгой, а мозгами двигай» (5 мин)

Что проще вычислить?

Почему верно равенство? Какое свойство применяется? Основное свойство дроби:(слайд 5)

(Слайд 6) Два друга решали уравнение и получили разные ответы. Один из них подобрал х = , сделал проверку. Второй находил неизвестный множитель делением произведения на и получил х = . Кто из них прав? Может ли линейное уравнение иметь два корня? Самым удобным для вычислений является выражение, не содержащее иррациональности в знаменателе.

Тема урока(Слайд 7): Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби

Цели (Слайд 8): ознакомиться со способами избавления от иррациональности в знаменатели дроби. Развитие умения освобождать знаменатель от иррациональности;

Решают и проверяют в парах.

Обсуждают ситуацию и приходят к выводу.

Формулируют цели: ознакомиться со способами избавления от иррациональности в знаменатели дроби.

развитие умения определять способ освобождения от иррациональности;

4. Работа над новым материалом.

Как избавиться от иррациональности в знаменателе? Хотите узнать?( Интерактивная доска)

Работа в парах над новым материалом

Проблемная ситуация:

Воспользуемся формулой сокращенного умножения .

Т. к. целому числу, то числитель и знаменатель дроби умножим на

Работают с опорным конспектом. (Приложение 2)

5. Зарядка (3 мин)

Гимнастика для глаз (слайд 14)

6. Самостоятельная работа

По разноуровневым карточкам. Тест

1-в:

2-в:

3-в:

Кто выполнил без ошибок?

Кто допустил 1 ошибку? 2 ошибки? 3 ошибки?

Выполняют индивидуально, проверяют, меняясь тетрадями с

Баллы заносят в оценочную карту ученика.

Проверяют тест по ключам:

2. вариант: А Б В

Как вы думаете мы закончили изучать эту тему? Продолжим на следующем уроке.

Рассуждают о том, что это им предстоит узнать на следующем уроке.

8. Задание на дом: (2 мин)

1 уровень:№ 000(а-ж),№ 000

2 уровень:№ 000, № 000

Записывают в начале урока

9.Итог урока. Рефлексия

Баллы переводят в оценку и сдают учителю оценочную карту группы.

Вопрос по алгебре:

Надо избавиться от иррациональности в знаменателе. Решение нужно только под буквой в. Желательно подробно.

Ответы и объяснения 1

Решение смотри в приложении

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.