| Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции |
| Примеры решения задач |
Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции
Определение . Пусть X – некоторое множество чисел. Говорят, что на множестве X задана числовая функция , если указано правило, с помощью которого каждому числу x из множества X ставится в соответствие некоторое число.
Это принято обозначать так:
причем в этой записи x называют аргументом функции или независимой переменной, а y называют значением функции, соответствующим аргументу x .
Множество X называют областью определения функции f и обозначают D ( f ) . Множество Y всех возможных значений функции y = f (x) называют множеством значений функции f и обозначают E ( f ) (рис. 1).
Примеры решения задач
Часто в задачах известна формула, задающая функцию f , и требуется найти наиболее широкое множество чисел, к которым данную формулу можно применить. В этом случае указанная задача формулируется так: «Найти область определения функции y = f (x) ». В некоторых задачах требуется найти не только область опредения функции, но и множество ее значений.
Задача 1 . Найти область определения функции
Решение . Указанная функцию представляет собой результат, полученный при делении числа x 4 на число (3 + x) . Поскольку единственным ограничением является запрет деления на число 0 , то число (3 + x) не может равняться 0 , то есть .
Ответ . .
Задача 2 . Найти область определения функции
Решение . Поскольку квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел, то область определения данной функции задается неравенством
которое эквивалентно неравенству
и может быть записано в виде
.
Решая это неравенство с помощью метода интервалов, получим
Ответ . .
Задача 3 . Найти область определения функции
Решение . Исходя из определений логарифма и квадратного корня, область определения данной функции задается следующей системой неравенств
| (1) |
Решая второе неравенство системы с помощью метода интервалов,
Таким образом, система (1) эквивалентна системе
Решением этой системы является интервал
Ответ . .
Задача 4 . Найти множество значений функции
Поскольку множеством значений функции y = sin (x + φ) является отрезок [–1, 1], то множеством значений функции y = 5 sin (x +φ) будет отрезок [–5, 5].
Ответ . .
Задача 5 . Найти множество значений функции
и для каждого числа существуют решения уравнения
то множеством значений функции y = x 2 + 6x + 8 будет множество .
Ответ . .
Функция y=f(x) — это такая зависимость переменной y от переменной x , когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y .
Областью определения функции D(f) называют множество всех допустимых значений переменной x .
Область значений функции E(f) — множество всех допустимых значений переменной y .
График функции y=f(x) — множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек, вида M (x; f(x)) . График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.
Содержание
Графики элементарных функций
Линейная функция
Линейная функция — это функция вида y=kx+b , где k и b некоторые действительные числа.
Если b=0 , то функция примет вид y=kx и будет называться прямой пропорциональностью.
D(f) : x in R;enspace E(f) : y in R
График линейной функции — прямая.
Угловой коэффициент k прямой y=kx+b вычисляется по следующей формуле:
k= tg alpha , где alpha — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox .
1) Функция монотонно возрастает при k > 0 .
2) Функция монотонно убывает при k .
3) Если k=0 , то придавая b произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси Ox .
Обратная пропорциональность
Обратной пропорциональностью называется функция вида y=frac
Графиком функции y=frac
1) Если k > 0 , то график функции будет располагаться в первой и третьей четверти координатной плоскости.
2) Если k , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.
Степенная функция
Степенная функция — это функция вида y=x^n , где n — отличное от нуля, действительное число
1) Если n=2 , то y=x^2 . D(f) : x in R; : E(f) : y in [0; +infty) .
Графиком функции y=x^2 является парабола.
2) Если n=3 , то y=x^3 . D(f) : x in R; : E(f) : y in R .
Графиком функции y=x^3 является кубическая парабола.
3) Если n=frac<1> <2>, то y=x^tfrac<1> <2>или y=sqrt
4) Если n=frac<1> <3>, то y=x^tfrac<1> <3>или y=sqrt[3]
Показательная функция
Показательная функция — это функция вида y=a^x , где a=const, a > 0, a neq 1
D(f) : x in R; : E(f) : y in (0; +infty ) .
Графиком показательной функции является экспонента.
1) Функция будет монотонно возрастать при a > 1 .
2) Функция монотонно убывает при 0 .
Например: y=left (frac<1> <2>right )^
Логарифмическая функция
Логарифмическая функция — это функция вида y=log_x , где a — действительное число, a > 0, : a neq 1
D(f) : x in (0; +infty ); : E(f) : y in R .
1) Функция монотонно возрастает при a > 1 .
2) Функция будет монотонно убывать при 0 .
Тригонометрическая функция
К тригонометрическим функциям относят функции вида:
1) y=sin x . D(f) : x in R; : E(f) : y in [-1; 1] ; основной период функции T=2 pi
2) y = cos x . D(f) : x in R; : E(f) : y in [-1; 1] ; основной период функции T=2 pi
3) y = tg x . D(f) : x in left < R /x neq frac
4) y = ctg x . D(f) : x in left < R /x neq 0+pi nright >, n in mathbb
Обратные тригонометрические функции
К обратным тригонометрическим функциям относят функции вида:
1) y=arcsin x . D(f) : x in [-1; 1], : E(f) : y in left [ -frac
2) y=arccos x . D(f) : x in [-1; 1], : E(f) : y in [0; pi]
3) y=arctg x . D(f) : x in R, : E(f) : y in left (-frac
4) y= arcctg x . D(f) : x in R, : E(f) : y in left (0; pi right )
Множеством значений (область значений) функции на заданной области определения Х, называется множество всех таких элементов у, для которых существует элемент
.
Другими словами, область значений (ОЗ) — это множество всех возможных значений у.
Для функции: , так для этой функции у может принимать любое действительное значение.
Для функции: , так для этой функции у может принимать значения только большие 5. Действительно, всегда число положительное или равное 0, а к положительному числу или нулю прибавляем 5 — получаем число большее 5.
На следующих рисунках функции заданы графически.
По графикам видно, что ОЗ первой функции – промежуток (-?;+?), а второй (0,4).
Для следующей функции, заданной табличным способом –
область значений – это множество
Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми
Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №1. Область определения и множество значений тригонометрических функций.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
- Овладение понятиями «область определения», «область определения тригонометрических функций», «множество значений функции», «множество значений тригонометрических функций»;
- Нахождение области определения и множества значений тригонометрических функций вида y=af(kx+b)+c и y=|f(k|x|+b)|, где f(x) — косинус, синус, тангенс или котангенс действительного числа от значения коэффициентов a, k, b.;
- Объяснение зависимости области определения и множества значений функции вида y=af(kx+b)+c и y=|f(k|x|+b)|, где f(x) — косинус, синус, тангенс или котангенс действительного числа от значения коэффициентов a, k, b.
Глоссарий по теме
Областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.
Множеством значений функции y = sin x и y = cos x является отрезок -1 ≤ y ≤ 1. Данные функции ограничены сверху и снизу.
Областью определения функции y = tg x является множество чисел x ≠ π/2 + πk, kЄ Z.
Областью определения функции y = сtg x является множество чисел x ≠ πk, kЄ Z.
Множеством значений функции y = tg x и y =сtg x является множество R всех действительных чисел, т.к. уравнения tg x = a и сtg x = a имеют корни при любом действительном значении a. Функции неограниченные.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.
Дополнительная литература:
Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.
Открытые электронные ресурсы:
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
- Что такое функция?
- Что такое область определения функции? Чем является область определения функции геометрически?
- Что такое множество значений функции? Чем является множество значений функции геометрически?
Ответы на вопросы:
- Если каждому значению x из некоторого множества чисел поставлено в соответствие по определенному правилу числоy, то говорят, что на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у – зависимой переменной или функцией. Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают y=f(x).
- Областью определения функции называют множество всех допустимых значений переменной x. Геометрически – это проекция графика функции на ось Ох.
Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически – это проекция графика функции на ось Оy.
Найдите область определения функции и множество значений функции:
1) ; 2) ; 3) .
D(f): 1) ; 2) ; 3)
E(f): 1); 2) ; 3) .
Объяснение нового материала
С помощью единичной окружности сделайте выводы об области определения и множестве значений тригонометрических функций.
Ключевые слова: функция, график функции, множество значений, сложная функция, область определения
Сложная функция — это функция от функции.
Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = h(х),
то у — cложная функция от х, то есть y = f (h(x)), определённой для тех значений х, для которых значения h(х) входят в множество определения функции f (u).
у является cложная функция независимого аргумента х, а u — промежуточным аргументом.
Например, если у = u 2 , u = sinx, то у = sin 2 х для всех значений х.
Если же, например, у = $$y = sqrt$$, u = sinx, то $$y = sqrt
Рассмотрим функцию y = sin 2 (2x) . Фактически эта запись означает следующую цепочку функциональных преобразований: u = 2x $$to$$ h = sin u $$to$$ y = h 2 , что может быть записано в общем виде: y = f (h (u (x))).
Здесь не одно правило для преобразования x в y, а три последовательных правила соответствия, используя которые получаем y как функцию от x.
См. также:
Исследование графика функции, Свойства элементарных функций, Исследование функции, Преобразование графика функции
Для дошкольников и учеников 1-11 классов
Рекордно низкий оргвзнос 25 Р.
§ 1. Функции и их свойства.
п. 1. Функция. Область определения и область значений функции.
Функцией называется такая зависимость переменной у от переменной х, что каждому значению переменной х соответствует только одно значение переменной у. Переменная х называется независимой (или аргументом), а переменная у – зависимой (или значением функции).
Каждая функция имеет область определения и область значений. Разберёмся, что это такое.
Областью определения функции называется множество всех значений, которые может принимать независимая переменная х (аргумент). Обозначается она так: .
Например, рассмотрим функцию . Нам нужно определить, какие значения может принимать х. Так как на 2 мы можем умножить любое число и от любого результата можем отнять 1, то х может принимать абсолютно любые значения. Значит, областью определения функции является любое число, т.е. .
Рассмотрим теперь функцию . Здесь мы замечаем, что х находится в знаменателе, а всем известно, что на 0 делить нельзя. Поэтому, мы находим число, при котором знаменатель станет равным 0. Это число . Значит, х может принимать любые значения, кроме . Поэтому, областью определения данной функции является любое число, кроме , т.е.
Областью значений функции называется множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная у (значение функции). Обозначается она так: .
Нахождение области значений функции задача не из простых. Её можно находить алгебраическим способом, а можно графическим. Пока мы будем использовать графический способ. Для этого необходимо построить график заданной функции и по графику определить, какие значения может принимать зависимая переменная.
Графиком функции называется множество точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. (Напомним, что абсцисса – это координата х, ордината – координата у).
Поскольку, по определению функции, каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции, то для графика соблюдается такое же правило: каждой абсциссе графика соответствует только одно значение ординаты.
Например,
На графике показано, что абсциссе соответствует только одно значение ; абсциссе – только одно значение . И так далее.
По графику выясняем, что его областью определения является множество всех действительных чисел, которые больше, либо равны, чем , но меньше, либо равны, чем т.е. . А областью значений является множество всех чисел, которые больше, либо равны , но меньше, либо равны , т.е. .
Вспомним функции, которые мы изучали в 7 и 8 классе.
— линейная функция, графиком её является прямая, проходящая через точки . Частными случаями линейной функции являются постоянная функция — и прямая пропорциональность — .
– обратная пропорциональность, графиком её является гипербола, расположенная в I и III четверти, если , и во II и IV четверти, если .
– квадратная функция, графиком её является парабола с вершиной в точке , ветви её направлены вверх и проходящая через точки .
– кубическая функция, графиком её является кубическая парабола с вершиной в точке , расположенная в I и III четверти.
– функция квадратного корня, графиком её является ветвь параболы с вершиной в точке , расположенная в I четверти.
Функция задана формулой . Найдите:
Функция задана формулой . Сравните числа: ;
Решите уравнение , если:
Решите неравенство , если: При каком значении параметра график функции :
проходит через точку
проходит ниже точки
проходи выше точки
не проходит через точку ?
Автомобиль движется по шоссе со скоростью 50 км/ч от пункта до пункта , расстояние между которыми 200 км. Задайте функцию (км) для (ч):
расстояния от автомобиля до пункта
расстояния от автомобиля до пункта
расстояния от автомобиля до пункта , находящегося на одинаковом расстоянии от пунктов и .
Без построения графика функции найдите все точки этого графика:
с равными координатами;
сумма координат которых равна нулю.
При каких значениях параметра на графике функции :
ровно одна точка с ординатой
ровно две точки с ординатой
нет точек с ординатой ?
Дана функция . Во втором столбце таблицы укажите знак значения функции в точке
Сопоставьте заданные функции с их областью определения:
Как находить множество значений функции?
В категории Естественные науки Спросил Shadowraven
1 Ответ 1695 Просмотров 1 месяц назад
- Рассказать друзьям
- Добавить в избранное
- Поделиться
Для добавления вопроса на сайт, блог или форум просто скопируйте и вставьте в html код:
Для того, чтобы найти множество значений функции, необходиморешить уравнение этой функции.
Говоря о множестве значений функции в общем виде, можно сказать, что это множество будет соответствовать множеству решений уравнения этой фунции при подставлениии в уравнение фунции различных значений аргументов этой функции.
Проще всего представить область значений фунции если построить график этой функции, который получается в результате решения уравнения этой функции.
Давайте для примера найдем область множества значений следующей фунции:
По виду этой фунции видно, что она описывает наклонную прямую. Эта прямая и будет областью множества значений этой функции.
Для того, чтобы построить эту прямую,давайте сначала найдем точки пересечения этой прямой с осями координат.
Для этого сначала присвоим аргументу значение Х=0, подставив это значение в уравнение, получим значение фунции У=6. Таким образом мы выяснили, что наша прямая пересечет ось абсцисс в точке У=6.
Для нахождения пересечения прямой с осью ординат, придадим функции значение У=0, в результате получим уравнение вида:
Перенеся свободный член в правую часть получим следующее уравнение:
Решив это уравнение, мы получим, что при У=0 аргумент Х будет равен -2. Значит наша прямая пересечет ось ординат в точке Х=-2.
Проведя прямую через точки У=6 и Х=-2 мы получим прямую, которая соответствует нашему уравнению и является областью множества значений функции, которая описывается нашим уравнением.