Как найти обратную функцию

Функция, обратная данной

По определению (см. §34 справочника для 7 класса)

Функция – это соответствие, при котором каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Пусть некоторое соответствие задано таблицей:

Множество значений X = <-4;-3;…;4>отображается в множество значений Y = <-2;-1,5;…;2>: $X xrightarrow Y$. При этом каждому значению x соответствует единственное значение y, т.е., данное соответствие f является функцией.

С другой стороны, мы можем рассмотреть обратное отображение $Y xrightarrow X$, заданное той же таблицей. При этом каждому значению y соответствует единственное значение x, т.е., обратное соответствие $g = f^<-1>$ также является функцией.

Функцию $f: X xrightarrow Y$ с областью определения X и областью значений Y называют обратимой , если обратное ей соответствие $g: Y xrightarrow g X$ также является фунцией.

Если функция f обратима, то обратное ей соответствие $g = f^<-1>$ называют обратной функцией к f.

Например: аналитическое выражение для функции $X xrightarrow Y$, заданной таблицей $y = f(x) = frac<2>$. Обратное соответствие $Y xrightarrow X$ также является функцией x = g(y) = 2y.

Функция g — обратная функция к f.

В общем случае формулы функций записывают в виде y(x). При такой записи, функции $y = frac<2>$ и y=2x являются взаимно обратными.

Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной

На входе: множества X и Y, для которых оба соответствия $X xrightarrow Y$ и $Y xrightarrow X$ являются функциями.

Шаг 1. В формуле для исходной функции заменить обозначения аргумента и значения: $x rightarrow y$, $y rightarrow x$.

Шаг 2. Из полученной формулы выразить y(x). Искомое выражение для обратной функции найдено.

Шаг 3. Учесть ограничения для области определения и области значений исходной и/или обратной функций.

1) Пусть исходная функция $y = frac<2>$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = frac<2>$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: y = 2x — искомая обратная функция

Шаг 3. Ограничений на x и y нет

2) Пусть исходная функция y = -2x+3

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: x = -2y+3

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = frac<-x+3><2>$ — искомая обратная функция

Шаг 3. Ограничений на x и y нет

3) Пусть исходная функция $y = sqrt$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = sqrt$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = x^2-1$ — искомая обратная функция

Шаг 3. На исходную функцию накладываются ограничения

на $x:x+1 ge 0 Rightarrow x ge -1$, на $y:y ge 0$

Тогда исходная функция определяется на множествах $y ge -1$, $x ge 0$

4) Пусть исходная функция $y = 2x^2+1$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = 2y^2+1$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = sqrt<2>>$ — искомая обратная функция

Шаг 3. На обратную функцию накладываются ограничения

на $x:x-1 ge 0 Rightarrow x ge 1$, на $y:y ge 0$

Тогда исходная функция определяется на множествах $y ge 1$, $x ge 0$

Исходная функция — парабола получает ограничения из-за обратной функции; только в этом случаи функции будут взаимно обратными.

Свойства взаимно обратных функций

Пусть f и g — взаимно обратные функции. Тогда:

1. Область определения функции f является областью значений функции g, а область значений функции f является областью определения функции g.

2. Функции f и g либо одновременно возрастающие, либо одновременно убывающие.

3. Если f — нечётная, то и g — нечётная.

4. Графики f и g симметричны относительно биссектрисы 1-й четверти y = x.

5. Справедливы тождества f(g(x) ) = x и g(f(x) ) = x.

Графики пар взаимно обратных функций, найденных выше:

Примеры

Пример 1. Задайте формулой функцию, обратную данной.

Меняем аргумент и значение: x = 5y-4

Получаем: $y = frac<5>$ — искомая обратная функция

Меняем аргумент и значение: x = -3y+2

Получаем: $y = frac<-x+2><3>$ — искомая обратная функция

в) y = 4x+1, где $-1 le x le 5$

Меняем аргумент и значение: x = 4y+1

Требуем, чтобы: $-1 le y le 5 Rightarrow -1 le frac <4>le 5 Rightarrow -4 le x-1 le 20 Rightarrow -3 le x le 21$

Итак, искомая обратная функция: $y = frac<4>$, где -3 $le x le 21$

г) $y=- frac<1> <2>x+7$, где $2 le x le 9$

Меняем аргумент и значение: $x=-frac<1> <2>y+7$

Получаем: y = 2(-x+7) = -2x+14

Требуем, чтобы: $2 le y le 9 Rightarrow 2 le -2x+14 le 9 Rightarrow -12 le -2x le -5 Rightarrow$

$6 ge x ge 2,5 Rightarrow 2,5 le x le 6$

$y = -2x+14,где 2,5 le x le 6$ — искомая обратная функция

Пример 2. Найдите функцию, обратную данной.

Постройте график исходной и обратной функции в одной системе координат.

$x = y^2 Rightarrow y = pm sqrt$

При этом $y le 0$

$y = — sqrt$ – искомая обратная функция

б) y = x-3, $-1 le x le 4$

$x = y-3 Rightarrow y = x+3$

При этом $-1 le y le 4 Rightarrow -1 le x+3 le 4$

$Rightarrow -4 le x le 1$

y = x+3, $-4 le x le 1$ — искомая обратная

$x = frac<1> Rightarrow y = frac<1> -1$

Область определения: $x ge 3$

Область значений: $y ge 1$

$x = 1+ sqrt Rightarrow y = (x-1)^2+3$

Определение и свойства

Определение обратной функции
Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y . И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X , для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к . Обратная функция обозначается так:
.

Из определения следует, что
;
для всех ;
для всех .

Теорема о существовании и монотонности обратной функции
Если функция f строго возрастает (убывает), то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает).
Доказательство

Свойство симметрии графиков прямой и обратной функций
Пусть функция f ( x ) определена на некотором множестве X , и имеет множество значений Y : f ( X ) ∈ Y . И пусть она имеет на множестве X обратную функцию f -1 : f -1 ( Y ) ∈ X . Тогда графики прямой и обратной f –1 функций, построенные при значениях их аргументов x ∈ X и x ∈ Y , соответственно, симметричны относительно прямой .
Доказательство

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции . Для убывающей: .
Доказательство

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале . Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции .
Для убывающей: .
Доказательство

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале
Пусть функция непрерывна и строго монотонна на полуинтервале X . Тогда на полуинтервале Y определена, строго монотонна и непрерывна обратная функция .
Если строго возрастает, то также строго возрастает. При этом:
если , то ;
если , то .
Если строго убывает, то также строго убывает. При этом:
если , то ;
если , то .
Здесь . Открытый конец интервала может быть конечным числом или бесконечно удаленной точкой.
Доказательство

Примеры обратных функций

Арксинус

Рассмотрим тригонометрическую функцию синус: . Она определена и непрерывна для всех значений аргумента , но не является монотонной. Однако, если сузить область определения, то можно выделить монотонные участки. Так, на отрезке , функция определена, непрерывна, строго возрастает и принимает значения от –1 до +1 . Поэтому имеет на нем обратную функцию, которую называют арксинусом. Арксинус имеет область определения и множество значений .

Логарифм

Показательная функция определена, непрерывна и строго возрастает при всех значений аргумента . Множеством ее значений является открытый интервал . Обратной функцией является логарифм по основанию два. Он имеет область определения и множество значений .

Квадратный корень

Степенная функция определена и непрерывна для всех . Множеством ее значений является полуинтервал . Но она не является монотонной при всех значений аргумента. Однако, на полуинтервале она непрерывна и строго монотонно возрастает. Поэтому если, в качестве области определения, взять множество , то существует обратная функция, которая называется квадратным корнем. Обратная функция имеет область определения и множество значений .

Пример. Доказательство существования и единственности корня степени n

Докажите, что уравнение , где n – натуральное, – действительное неотрицательное число, имеет единственное решение на множестве действительных чисел, . Это решение называется корнем степени n из числа a . То есть нужно показать, что любое неотрицательное число имеет единственный корень степени n .

Рассмотрим функцию от переменной x :
(П1) .

Докажем, что она непрерывна.
Используя определение непрерывности, покажем, что
.
Применяем формулу бинома Ньютона:
(П2)
.
Применим арифметические свойства пределов функции. Поскольку , то отлично от нуля только первое слагаемое:
.
Непрерывность доказана.

Докажем, что функция (П1) строго возрастает при .
Возьмем произвольные числа , связанные неравенствами:
, , .
Нам нужно показать, что . Введем переменные . Тогда . Поскольку , то из (П2) видно, что . Или
.
Строгое возрастание доказано.

Найдем множество значений функции при .
В точке , .
Найдем предел .
Для этого применим неравенство Бернулли. При имеем:
.
Поскольку , то и .
Применяя свойство неравенств бесконечно больших функций находим, что .
Таким образом, , .

Согласно теореме об обратной функции, на интервале определена и непрерывна обратная функция . То есть для любого существует единственное , удовлетворяющее уравнению . Поскольку у нас , то это означает, что для любого , уравнение имеет единственное решение, которое называют корнем степени n из числа x :
.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 27-10-2018 Изменено: 16-02-2021

u0422u0435u043fu0435u0440u044c u0443u0447u0438u0442u044bu0432u0430u0435u043c u041eu0431u043bu0430u0441u0442u044c u043eu043fu0440u0435u0434u0435u043bu0435u043du0438u044f u0438 u043eu0431u043bu0430u0441u0442u044c u0437u043du0430u0447u0435u043du0438u0439. n

u0422u0430u043a u043au0430u043a u043eu043du0430 u0432 u043eu0431u043eu0438u0445 u0441u043bu0443u0447u0430u044fu0445 u043eu043du0438 (- u0431u0435u0441u043au043eu043du0435u0447u043du043eu0441u0442u0438; + u0431u0435u0441u043au043eu043du0435u0447u043du043eu0441u0442u0438) u0442u043e. n

u0424u0443u043du043au0446u0438u0438 y=6-x u043eu0431u0440u0430u0442u043du0430u044f y=6-x. n

u0420u0430u0441u0441u043cu043eu0442u0440u0438u043c 2 u043fu0440u0438u043cu0435u0440: y=2x-3 n

u041eu0431u043bu0430u0441u0442u044c u043eu043fu0440u0435u0434u0435u043bu0435u043du0438u044f u0438 u0437u043du0430u0447u0435u043du0438u0439 (-u0431u0435u0441u043au043eu043du0435u0447u043du043eu0441u0442u0438;+u0431u0435u0441u043au043eu043du0435u0447u043du043eu0441u0442u0438) n

u0424u0443u043du043au0446u0438u0438 y=2x-3 u043eu0431u0440u0430u0442u043du0430u044f: y=(x+3)/2 «>,<"id":2175914,"content":"

u0427u0442u043eu0431u044b u043du0430u0439u0442u0438 u043eu0431u0440u0430u0442u043du0443u044e u0444u0443u043du043au0446u0438u044e u043du0443u0436u043du043e u0438u0437 u0430u043du0430u043bu0438u0442u0438u0447u0435u0441u043au043eu0439 u0437u0430u043fu0438u0441u0438 u0433u0440u0430u0444u0438u043au0430 u0432u044bu0440u0430u0437u0438u0442u044c u0445 u0447u0435u0440u0435u0437 u0443: u0443=6-x u043eu0442u0441u044eu0434u0430 u0445=6-u0443 u0437u0430u043cu0435u043du0438u043c u0443 u043du0430 u0445, u043fu043eu043bu0443u0447u0438u043c u0442u0430u043au0443u044e u0436u0435 u0444u0443u043du043au0446u0438u044eu00a0u0443=6-x. n

u0412u0442u043eu0440u043eu0439 u0441u043bu0443u0447u0430u0439, u0440u0435u0448u0430u0435u043c u0442u0430u043a u0436u0435: n

x=(u0443+3)/2=u0443/2+3/2. u0417u0430u043cu0435u043du0438u043c u0443 u043du0430 u0445, u0430 x u043du0430 u0443 u043fu043eu043bu0443u0447u0438u043c: u0443=x/2+3/2 — u043eu0431u0440u0430u0442u043du0430u044f u0444u0443u043du043au0446u0438u044f u0434u043bu044fu00a0y=2x-3. «>]» data-test=»answer-box-list»>

Содержимое разработки

Тема : Сложная и обратная функции

Сложная функция — это функция от функции. Если u — функция от x, то есть u=u(x), а f — функция от u: f=f(u), то функция y=f(u) — сложная.

А u в этом случае называют промежуточным аргументом. Еще часто f называют внешней функцией, а u — внутренней. Лучший способ понять, что такое сложная функция — рассмотреть примеры сложных функций.

1) y=sin x — эта функция «простая». Синус зависит от x. Как только вместо x под знаком синуса появится выражение, зависящее от x, даже самое простое — такая функция называется сложной. То есть y=sin u — сложная функция, если u — некоторая функция от x. Примеры сложных функций с синусом:

y=sin (x+1). Эта функция — сложная. Внутренняя функция u здесь равна x+1, а внешняя функция f — это синус. То есть u=x+1, f=sin u.

Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.

Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:

1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:

2) Из полученного равенства выразить y через x:

Найти функцию, обратную функции y=2x-6.

Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.

Обратимой называется функция в которой произвольному значению функции соответствует единственное значение аргумента.

Примеры обратимых функций:

Поскольку в обратимой функции любому значению y соответствует единственное значение x, то y обратимой функции может выполнять роль аргумента (независимой переменной), а x — роль функции (зависимой переменной). Говоря, проще, в обратимых функциях y и x могут как бы меняться местами.

Исходная обратимая функция и функция, полученная из нее путем замены x на y и y на x, называются обратными.

Примеры обратных функций:

Если взять функцию y=x 2 , то она не является обратной, поскольку значение функции имеет несколько значений аргумента, например y=4, при x=2; x=-2.

Однако, если рассматривать данную функцию только на множестве положительных чисел, она будет обратимой:

Графики функций будут симметричны относительно прямой y=x:

Функция y=arcsin(x)

Поскольку функция y=sin(x) является периодической, она не является обратимой.

Для построения функции, обратимой y=sin(x), необходимо взять один из полупериодов функции, обычно это отрезок [-π/2;π/2], на котором функция обратима.

График функции y=arcsin(x):

Например, чтобы найти arcsin(1), можно воспользоваться равенством 1=sin(y). Угол на отрезке [-π/2;π/2], синус которого равняется 1, будет равен 90° или π/2.

Функция y=arccos(x)

Поскольку функция y=cos(x) является периодической, она не является обратимой.

Для построения функции, обратимой y=cos(x), необходимо взять один из полупериодов функции, обычно это отрезок [0;π], на котором функция обратима.

График функции y=arccos(x):

Например, чтобы найти arccos(1), можно воспользоваться равенством 1=cos(y). Угол на отрезке [0;π], косинус которого равняется 1, будет равен 0.

Функция y=arctg(x)

Поскольку функция y=tg(x) является периодической, она не является обратимой.

Для построения функции, обратимой y=tg(x), необходимо рассматривать тангенсоиду на отрезке [-π/2;π/2], на котором функция обратима.

График функции y=arctg(x):

Функция y=arcctg(x)

Поскольку функция y=ctg(x) является периодической, она не является обратимой.

Для построения функции, обратимой y=ctg(x), необходимо рассматривать котангенсоиду на отрезке [0;π], на котором функция обратима.

График функции y=arcctg(x):

Если вам понравился сайт, будем благодарны за его популяризацию 🙂 Расскажите о нас друзьям на форуме, в блоге, сообществе. Это наша кнопочка:

Код кнопки:
Политика конфиденциальности Об авторе

Обратной функцией называют функцию, обращающую исходную зависимость у = f(x) таким образом, что аргумент х и функция у меняются ролями. То есть хстановится функцией от y (х = f(у)). При этом графики взаимно обратных функций у = f (x) и х = f (у) симметричны по отношению к оси ординат в первой и третьей координатных четвертях декартовой системы. Областью определения обратной функции является область значений исходной, а областью значений в свою очередь – область определения заданной функции.

В общем случае при нахождении обратной функции для заданной у = f(x) выразите аргумент х через функцию у. Для этого воспользуйтесь правилами умножения обеих частей равенства на одно и то же значение, переносом многочленов выражений, при этом учитывайте смену знака. В простом случае рассмотрения показательных функций вида: y = (7/x) + 11, обращение аргумента х производится элементарно: 7/x = у-11, х = 7*(у-11). Искомая обратная функция имеет вид х = 7*(у-11).

Однако зачастую в функциях используются сложные степенные и логарифмические выражения, а также тригонометрические функции. В этом случае при нахождении обратной функции нужно учитывать известные свойства данных математических выражений.

Если в исходной функции аргумент х стоит под степенью, для получения обратной функции возьмите от данного выражения корень с тем же показателем. Например, для заданной функции у = 7+ х² обратная будет иметь вид: f(у) = √у -7.

При рассмотрении функции, где аргумент х представляет собой степень постоянного числа, примените определение логарифма. Из него следует, что для функции f(х) = ах обратной будет являться f(у) = logаy, причем основание логарифма а – в обоих случаях число, отличное от нуля. Так же и наоборот, рассматривая исходную логарифмическую функцию f(х) = logах, ее обратная функция представляет собой степенное выражение: f(у) = ау.

В частном случае исследования функции, содержащей натуральный логарифм ln х или десятичный lg х, т.е. логарифмы по основанию числа е и 10 соответственно, получение обратной функции проводится аналогично, только вместо основания а подставляется экспоненциальное число либо число 10. Например, f(х) = lg х -> f(у) = 10у и f(х) = ln х -> f(у) = еу.

Для тригонометрических функций обратными друг к другу являются следующие пары:
— y = cos x -> x = аrccos y;
— y = sin x-> x = аrcsin y;
— y = tan x-> x = аrctan y.

iframe width=»800″ height=»360″ src=»https://www.youtube.com/embed/ScIftZgJeMA»>

Вы искали как найти обратную функцию онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и калькулятор обратной функции, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «как найти обратную функцию онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как найти обратную функцию онлайн,калькулятор обратной функции,калькулятор обратных функций,найдите обратную функцию к заданной функции и постройте их графики у 3х 7,найти обратную функцию онлайн,найти обратную функцию онлайн с решением,найти функцию обратную данной онлайн,нахождение обратной функции онлайн,обратная функция калькулятор онлайн,обратная функция онлайн,обратная функция онлайн калькулятор,обратные функции онлайн,онлайн калькулятор обратная функция,онлайн калькулятор обратной функции,построить обратную функцию онлайн,функция обратная данной онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как найти обратную функцию онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, калькулятор обратных функций).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как найти обратную функцию онлайн Онлайн?

Решить задачу как найти обратную функцию онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!