Как решать логарифмы

Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2 x = 8. Там всё было ясно: x = 3.

А теперь рассмотрим уравнение 2 x = 7.

По графику функции y = 2 x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.

Как решать логарифмы
Ясно, что этот корень — не целое число (так как 2 2 = 4, 2 3 = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.

Этот корень обозначается log27 (читается: «логарифм семи по основанию два». Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log27 = 2,807354922057604107.

Итак, наше число log27 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).

Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

так как

, так как

так как ;

, так как .

Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.

Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log2(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.

Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 1.

Основные формулы

По определению, logab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:

a logab =b

(1)

Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:

Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.

Логарифм произведения — это сумма логарифмов:

loga(bc) = logab + logac.

(2)

Логарифм частного — это разность логарифмов:

Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:

Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:

Формулы (4) и (5) вместе дают:

(6)

В частности, если m = n, мы получаем формулу:

(7)

Например, .

Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:

(8)

В частности, если c = b, то logbb = 1, и тогда:

(9)

Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. (применили формулу (2) суммы логарифмов).

2. (применили основное логарифмическое тождество(1))

3. (применили формулу (4).

4. (применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).

5. (применили формулу (3) разности логарифмов)

Немного истории

Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?

Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.

Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?

Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.

В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.

Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.

Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).

А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.

Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.

Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения.

Ранее мы уже познакомились с понятием логарифма. А также рассмотрели основные свойства и примеры решения.

Формулы логарифмов сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.

Примеры решения логарифмов на основании формул.

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения logab = x, что равносильно a x = b, поэтому logaa x = x.

log28 = 3, т.к. 2 3 = 8

log749 = 2, т.к. 7 2 = 49

log51/5 = -1, т.к. 5 -1 = 1/5

Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

log10100 = 2, т.к. 10 2 = 100

Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828. — иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

    Основное логарифмическое тождество
    a logab = b

8 2log83 = (8 2log83 ) 2 = 3 2 = 9
Логарифм произведения равен сумме логарифмов
loga (bc) = logab + logac

log38,1 + log310 = log3 (8,1*10) = log381 = 4
Логарифм частного равен разности логарифмов
loga (b/c) = logab — logac

9 log550 /9 log52 = 9 log550- log52 = 9 log525 = 9 2 = 81
Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа logab m = mlogab

Показатель степени основания логарифма loga n b =1/n*logab

если m = n, получим loga n b n = logab

log49 = log2 2 3 2 = log23
Переход к новому основанию
logab = logcb/logca,

если c = b, получим logbb = 1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: «Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах». Не пропустите!

Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.

Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Определение логарифма

Логарифм — это математическая функция, основанная на свойствах возведения в степень.

Значение логарифма соответствует показателю степени данной базы, равному положительному числу “b” в базе “a”, что также должна быть положительной и отличаться от 1.

Чтобы лучше понять концепцию логарифма, необходимо посмотреть на формулу логарифмического уравнения:

“a” = основание, которое должно быть больше нуля (a > 0) и отличаться от единицы (a ≠ 1).

“b” = логарифмируемое число, где b должно быть больше нуля (b > 0).

В этом уравнении мы хотим найти, в какую степень (х) нужно возвести a, чтобы получилось b, т. е. aˣ = b.

Как решать логарифмы, потому что Как решать логарифмы

Формулы и свойства логарифмов

Некоторые из основных правил логарифма:

    Когда логарифмируемое число равно основанию логарифма, логарифм всегда будет равен 1 ;

Логарифм с любым основанием, число которого равно 1, всегда будет иметь результат равным 0 ;

Два логарифма с одинаковым основанием всегда будут иметь одинаковые числа ;

Если основание «а» возведено в степень логарифма с основанием «а» числа «b», то он равен «b» ;

В случае умножения чисел мы можем превратить их в сумму двух логарифмов с одинаковыми основаниями ;

А в случае деления чисел мы превращаем их в вычитание двух логарифмов с одинаковыми основаниями ;

Правило возведения в степень: логарифм в степени упрощается путём умножения степени на логарифм, сохраняя её основание и число (тоже самое делается с логарифмом в квадрате)

Формулы перехода к новому основанию:

Как решать логарифмы

Решение логарифмов — примеры

Пример 1

Как решать логарифмы

Пример 2

Как решать логарифмы

ОДЗ логарифма

Как определить Область Допустимых Значений логарифма:

Как решать логарифмы

Для определения ОДЗ логарифма мы обращаем внимание только на то, что стоит в скобках, и указываем, что вся эта часть больше ноля.

График логарифмической функции

Примерно таким образом может выглядеть график логарифмической функции (одна из линий на рисунке):

Как решать логарифмы

Свойства логарифмической функции Как решать логарифмы:

  • E (y) = R, множество значений — все действительные числа;
  • область определения — множество всех положительных чисел D(y): (0;+∞);
  • её график всегда проходит через точку (1;0);
  • она не считается ни чётной, ни нечётной;
  • у неё нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
  • она не ограничена ни сверху, ни снизу;
  • если 0 функция убывает, а если a>1 => функция возрастает.

Логарифм Непера или натуральный логарифм

Состоит из логарифма, основанного на иррациональном числе, которое называется «число Эйлера», пишется как «e» и приблизительно равно 2,718281. Является обратной функцией к экспоненциальной функции.

Как решать логарифмы

Название логарифма («логарифм Непера») произошло от имени его изобретателя — математика Джона Непера.

Десятичный логарифм

Это наиболее распространённая модель математических вычислений, особенно в так называемых логарифмических шкалах (или логарифмическом масштабе). Например: шкала pH, шкала Рихтера интенсивности землетрясений, шкала частоты звука — нотная шкала, и другие. И характеризуется тем, что основание (её логарифма) равно 10.

Десятичный логарифм может быть представлен без указания его основания.

Как решать логарифмы

История логарифма

Первоначально концепция логарифма была создана шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617) в 17-м веке, с целью упрощения сложных тригонометрических расчётов.

Английский математик Генри Бриггс (1561–1630) также внёс свой вклад в исследования логарифма и считается одним из ответственных за улучшение десятичного логарифма и за создание его современной версии.

Этимологически слово «логарифм» образовано объединением двух греческих терминов: λόγος — «основание» и ἀριθμός — «число».

Логарифм данного числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число.

Как решать логарифмы

О равенстве a x = N можно сказать, что x — это логарифм числа N по основанию a (где a > 0 и a ≠ 1).

Слово логарифм сокращённо обозначается log, основание же, при котором указывается логарифм данного числа, обозначается в виде нижнего индекса с правой стороны log.

Как решать логарифмы

Если мы знаем, что логарифм числа N при основании a равен числу x, то есть:

то это равенство можно написать без знака логарифма

a x = N,

где a — основание степени, x — показатель степени, N — степень.

logaN = x и a x = N

выражают одну и ту же зависимость между числами a, x и N: если дано одно из равенств, значит можно написать и второе. Эту же зависимость между числами a, x и N можно выразить ещё одним равенством:

x √ N = a или a = x √ N .

Отрицательные числа и нуль ни при каком основании a (a > 0 и a ≠ 1) логарифмов не имеют.

Основное логарифмическое тождество

Степень, показателем которой является логарифм числа N при таком же основании, как и основание степени, равна числу N.

Возьмём логарифм числа N при основании a равный числу q

logaN = q, значит a q = N.

Подставив в последнее равенство вместо числа q равное ему выражение logaN, получим

Выражение a logaN = N называется основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов

Рассмотрены свойства логарифмов для оснований, которые больше нуля и не равны единице:

a > 0 и a ≠ 1.

Логарифм единицы равен нулю.

так как нулевая степень любого числа (за исключением нуля) равна 1:

Логарифм числа равного основанию равен единице.

так как первая степень любого числа равна этому же числу без степени:

a 1 = a.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

где M > 0, N > 0.

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя (или логарифм дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя).

logaM

= logaMlogaN ,

N

где M > 0, N > 0.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Логарифм, у которого в основании стоит степень, равен частному от деления логарифма при этом же основании без степени на показатель степени основания.

где N > 0, x ≠ 0.

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.

loga x √ N = logaN

= 1

logaN .

x

x

Из формулы логарифма корня и формулы логарифма, у которого в основании стоит степень, можно сделать вывод, что логарифм корня равен логарифму данного числа с основанием в степени, равной показателю корня.

loga x √ N = loga x N = 1

logaN .

x

Свойства логарифмов степени и корня можно объединить ещё в одно:

loga β N α = α

logaN ,

β

где N > 0, β ≠ 0.

Любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же произвольному основанию.

logbN = logaN

,

logab

где N > 0. Данная формула называется формулой перехода к новому основанию.

Произведение взаимно обратных логарифмов равно единице.

Взаимно обратные логарифмы — это пара логарифмов, у которых основание и выражение под знаком логарифма поменялись местами.

Величина логарифма не изменится, если возвести число, стоящее под знаком логарифма, и одновременно основание логарифма в какую-либо степень.

Свойства логарифма вытекают из его определения. И так логарифм числа b по основанию а определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).

Из данной формулировки следует, что вычисление x=logab, равнозначно решению уравнения a x =b. Например, log28 = 3 потому, что 8 = 2 3 . Формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с. Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа.

С логарифмами, как и с любыми числами, можно выполнять операции сложения, вычитания и всячески трансформировать. Но ввиду того, что логарифмы — это не совсем ординарные числа, здесь применимы свои особенные правила, которые называются основными свойствами.

Сложение и вычитание логарифмов.

Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: loga x и loga y. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:

Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разность логарифмов — логарифму частного. Причем это верно если числа а, х и у положительны и а ≠ 1.

Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!

Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а, x и у положительны и а ≠ 1, то:

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то:

Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров:

Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать:

так как выражения log2(-8) и log2(-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log2х определена лишь для положительных значений аргументах).

Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x1, x2, . . . ,xn существует тождество:

Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что loga1= 0, следовательно,

А значит имеет место равенство:

Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:

\u0420\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430 \u0437\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u043f\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c.
\u0421\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u043e\u0432.

\u041f\u0440\u0435\u0436\u0434\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u044b\u0445 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u043e\u0432:
a>0, b>0, b\u22601

\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u043e\u0432:

[tex]2. Log_a(bc)=log_ab+log_ac \\\\ \\\\ Log_50.1+log_5250=log_50.1*250=log_525=log_55^2=2[\/tex]

[tex]3. log_a( \\frac )=log_ab-log_ac \\\\ \\\\ log_250-log_225=log_2( \\frac<50><25>)=log_22=1 [\/tex]

[tex]4. log_ab^m=mlog_ab \\\\ \\\\ log_381=log_33^4=4*log_33=4[\/tex]

Логарифм числа b (b > 0) по основанию a (a > 0, a ≠ 1) – показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b.

a x = b ⇔ logab = x

Логарифм числа b по основанию 10 можно записать как lg(b), а логарифм по основанию e (натуральный логарифм) – ln(b).

Основное логарифмическое тождество

Основное логарифмическое тождество часто используется при решении задач с логарифмами:

Свойства логарифмов

Существует четыре основных свойства логарифмов.

Пусть a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0.

Свойство 1. Логарифм произведения

Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

Свойство 2. Логарифм частного

Логарифм частного равен разности логарифмов:

Свойство 3. Логарифм степени

Логарифм степени равен произведению степени на логарифм:

Если в степени находится основание логарифма, то действует другая формула:

Свойство 4. Логарифм корня

Данной свойство можно получить из свойства логарифм степени, так как корень n-ой степени равен степени 1/n:

Формула перехода от логарифма в одном основании к логарифму при другом основании

Данная формула также часто применяется при решении различных заданий на логарифмы:

Сравнение логарифмов (неравенства)

Пусть у нас есть 2 функции f(x) и g(x) под логарифмами с одинаковыми основаниями и между ними стоит знак неравенства:

Чтобы их сравнить, нужно сначала посмотреть на основание логарифмов a: