Как решать логарифмы

Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. (применили формулу (2) суммы логарифмов).

2. (применили основное логарифмическое тождество(1))

3. (применили формулу (4).

4. (применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).

5. (применили формулу (3) разности логарифмов)

Немного истории

Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?

Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.

Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?

Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.

В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.

Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.

Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).

А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.

Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.

Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения.

Ранее мы уже познакомились с понятием логарифма. А также рассмотрели основные свойства и примеры решения.

Формулы логарифмов сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.

Примеры решения логарифмов на основании формул.

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log_ab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения log_ab = x, что равносильно a x = b, поэтому log_aa x = x.

log₂8 = 3, т.к. 2 3 = 8

log₇49 = 2, т.к. 7 2 = 49

log₅1/5 = -1, т.к. 5 -1 = 1/5

Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

log₁₀100 = 2, т.к. 10 2 = 100

Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828. — иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

Основное логарифмическое тождество
a log_ab = b

8 2log₈3 = (8 2log₈3 ) 2 = 3 2 = 9
Логарифм произведения равен сумме логарифмов
log_a (bc) = log_ab + log_ac

log₃8,1 + log₃10 = log₃ (8,1*10) = log₃81 = 4
Логарифм частного равен разности логарифмов
log_a (b/c) = log_ab — log_ac

9 log₅50 /9 log₅2 = 9 log₅50- log₅2 = 9 log₅25 = 9 2 = 81
Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа log_ab m = mlog_ab

Показатель степени основания логарифма log_{a n} b =1/n*log_ab

если m = n, получим log_{a n} b n = log_ab

log₄9 = log_{2 2} 3 2 = log₂3
Переход к новому основанию
log_ab = log_cb/log_ca,

если c = b, получим log_bb = 1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: «Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах». Не пропустите!

Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.

Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Определение логарифма

Логарифм — это математическая функция, основанная на свойствах возведения в степень.

Значение логарифма соответствует показателю степени данной базы, равному положительному числу “b” в базе “a”, что также должна быть положительной и отличаться от 1.

Чтобы лучше понять концепцию логарифма, необходимо посмотреть на формулу логарифмического уравнения:

“a” = основание, которое должно быть больше нуля (a > 0) и отличаться от единицы (a ≠ 1).

“b” = логарифмируемое число, где b должно быть больше нуля (b > 0).

В этом уравнении мы хотим найти, в какую степень (х) нужно возвести a, чтобы получилось b, т. е. aˣ = b.

, потому что

Формулы и свойства логарифмов

Некоторые из основных правил логарифма:

Когда логарифмируемое число равно основанию логарифма, логарифм всегда будет равен 1 ;

Логарифм с любым основанием, число которого равно 1, всегда будет иметь результат равным 0 ;

Два логарифма с одинаковым основанием всегда будут иметь одинаковые числа ;

Если основание «а» возведено в степень логарифма с основанием «а» числа «b», то он равен «b» ;

В случае умножения чисел мы можем превратить их в сумму двух логарифмов с одинаковыми основаниями ;

А в случае деления чисел мы превращаем их в вычитание двух логарифмов с одинаковыми основаниями ;

Правило возведения в степень: логарифм в степени упрощается путём умножения степени на логарифм, сохраняя её основание и число (тоже самое делается с логарифмом в квадрате)

Формулы перехода к новому основанию:

Решение логарифмов — примеры

Пример 1

Пример 2

ОДЗ логарифма

Как определить Область Допустимых Значений логарифма:

Для определения ОДЗ логарифма мы обращаем внимание только на то, что стоит в скобках, и указываем, что вся эта часть больше ноля.

График логарифмической функции

Примерно таким образом может выглядеть график логарифмической функции (одна из линий на рисунке):

Свойства логарифмической функции :

• E (y) = R, множество значений — все действительные числа;
• область определения — множество всех положительных чисел D(y): (0;+∞);
• её график всегда проходит через точку (1;0);
• она не считается ни чётной, ни нечётной;
• у неё нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
• она не ограничена ни сверху, ни снизу;
• если 0 функция убывает, а если a>1 => функция возрастает.

Логарифм Непера или натуральный логарифм

Состоит из логарифма, основанного на иррациональном числе, которое называется «число Эйлера», пишется как «e» и приблизительно равно 2,718281. Является обратной функцией к экспоненциальной функции.

Название логарифма («логарифм Непера») произошло от имени его изобретателя — математика Джона Непера.

Десятичный логарифм

Это наиболее распространённая модель математических вычислений, особенно в так называемых логарифмических шкалах (или логарифмическом масштабе). Например: шкала pH, шкала Рихтера интенсивности землетрясений, шкала частоты звука — нотная шкала, и другие. И характеризуется тем, что основание (её логарифма) равно 10.

Десятичный логарифм может быть представлен без указания его основания.

История логарифма

Первоначально концепция логарифма была создана шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617) в 17-м веке, с целью упрощения сложных тригонометрических расчётов.

Английский математик Генри Бриггс (1561–1630) также внёс свой вклад в исследования логарифма и считается одним из ответственных за улучшение десятичного логарифма и за создание его современной версии.

Этимологически слово «логарифм» образовано объединением двух греческих терминов: λόγος — «основание» и ἀριθμός — «число».

Логарифм данного числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число.

О равенстве a x = N можно сказать, что x — это логарифм числа N по основанию a (где a > 0 и a ≠ 1).

Слово логарифм сокращённо обозначается log, основание же, при котором указывается логарифм данного числа, обозначается в виде нижнего индекса с правой стороны log.

Если мы знаем, что логарифм числа N при основании a равен числу x, то есть:

то это равенство можно написать без знака логарифма

a x = N,

где a — основание степени, x — показатель степени, N — степень.

log_aN = x и a x = N

выражают одну и ту же зависимость между числами a, x и N: если дано одно из равенств, значит можно написать и второе. Эту же зависимость между числами a, x и N можно выразить ещё одним равенством:

x √ N = a или a = x √ N .

Отрицательные числа и нуль ни при каком основании a (a > 0 и a ≠ 1) логарифмов не имеют.

Основное логарифмическое тождество

Степень, показателем которой является логарифм числа N при таком же основании, как и основание степени, равна числу N.

Возьмём логарифм числа N при основании a равный числу q

log_aN = q, значит a q = N.

Подставив в последнее равенство вместо числа q равное ему выражение log_aN, получим

Выражение a log_aN = N называется основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов

Рассмотрены свойства логарифмов для оснований, которые больше нуля и не равны единице:

a > 0 и a ≠ 1.

Логарифм единицы равен нулю.

так как нулевая степень любого числа (за исключением нуля) равна 1:

Логарифм числа равного основанию равен единице.

так как первая степень любого числа равна этому же числу без степени:

a 1 = a.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

где M > 0, N > 0.

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя (или логарифм дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя).

logaM

= logaM — logaN ,

N где M > 0, N > 0. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени. Логарифм, у которого в основании стоит степень, равен частному от деления логарифма при этом же основании без степени на показатель степени основания. где N > 0, x ≠ 0. Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня. loga x √ N = logaN = 1 logaN . x x Из формулы логарифма корня и формулы логарифма, у которого в основании стоит степень, можно сделать вывод, что логарифм корня равен логарифму данного числа с основанием в степени, равной показателю корня. loga x √ N = loga x N = 1 logaN . x Свойства логарифмов степени и корня можно объединить ещё в одно: loga β N α = α logaN , β где N > 0, β ≠ 0. Любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же произвольному основанию. logbN = logaN , logab где N > 0. Данная формула называется формулой перехода к новому основанию. Произведение взаимно обратных логарифмов равно единице. Взаимно обратные логарифмы — это пара логарифмов, у которых основание и выражение под знаком логарифма поменялись местами. Величина логарифма не изменится, если возвести число, стоящее под знаком логарифма, и одновременно основание логарифма в какую-либо степень. Свойства логарифма вытекают из его определения. И так логарифм числа b по основанию а определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел). Из данной формулировки следует, что вычисление x=logab, равнозначно решению уравнения a x =b. Например, log28 = 3 потому, что 8 = 2 3 . Формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с. Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа. С логарифмами, как и с любыми числами, можно выполнять операции сложения, вычитания и всячески трансформировать. Но ввиду того, что логарифмы — это не совсем ординарные числа, здесь применимы свои особенные правила, которые называются основными свойствами. Сложение и вычитание логарифмов. Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: loga x и loga y. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания: Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разность логарифмов — логарифму частного. Причем это верно если числа а, х и у положительны и а ≠ 1. Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы! Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а, x и у положительны и а ≠ 1, то: Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то: Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров: Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать: так как выражения log2(-8) и log2(-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log2х определена лишь для положительных значений аргументах). Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x1, x2, . . . ,xn существует тождество: Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что loga1= 0, следовательно, А значит имеет место равенство: Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так: \u0420\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0430 \u0437\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u043f\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c. \u0421\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u043e\u0432. \u041f\u0440\u0435\u0436\u0434\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u044b\u0445 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u043e\u0432: a>0, b>0, b\u22601 \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u043e\u0432: [tex]2. Log_a(bc)=log_ab+log_ac \\\\ \\\\ Log_50.1+log_5250=log_50.1*250=log_525=log_55^2=2[\/tex] [tex]3. log_a( \\frac )=log_ab-log_ac \\\\ \\\\ log_250-log_225=log_2( \\frac<50><25>)=log_22=1 [\/tex] [tex]4. log_ab^m=mlog_ab \\\\ \\\\ log_381=log_33^4=4*log_33=4[\/tex] Логарифм числа b (b > 0) по основанию a (a > 0, a ≠ 1) – показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. a x = b ⇔ logab = x Логарифм числа b по основанию 10 можно записать как lg(b), а логарифм по основанию e (натуральный логарифм) – ln(b). Основное логарифмическое тождество Основное логарифмическое тождество часто используется при решении задач с логарифмами: Свойства логарифмов Существует четыре основных свойства логарифмов. Пусть a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0. Свойство 1. Логарифм произведения Логарифм произведения равен сумме логарифмов: Свойство 2. Логарифм частного Логарифм частного равен разности логарифмов: Свойство 3. Логарифм степени Логарифм степени равен произведению степени на логарифм: Если в степени находится основание логарифма, то действует другая формула: Свойство 4. Логарифм корня Данной свойство можно получить из свойства логарифм степени, так как корень n-ой степени равен степени 1/n: Формула перехода от логарифма в одном основании к логарифму при другом основании Данная формула также часто применяется при решении различных заданий на логарифмы: Сравнение логарифмов (неравенства) Пусть у нас есть 2 функции f(x) и g(x) под логарифмами с одинаковыми основаниями и между ними стоит знак неравенства: Чтобы их сравнить, нужно сначала посмотреть на основание логарифмов a: Поделиться с друзьями: Твитнуть Поделиться Поделиться Отправить Класснуть Как решать логарифмы Ссылка на основную публикацию Похожие публикации Как понравиться девушке Как лечить герпес Как определить степень окисления Как сделать фонарик из бумаги