На сайте собраны инструкции и руководства для всего
Как решать логарифмы
Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2 x = 8. Там всё было ясно: x = 3.
А теперь рассмотрим уравнение 2 x = 7.
По графику функции y = 2 x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.
Ясно, что этот корень — не целое число (так как 2 2 = 4, 2 3 = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.
Этот корень обозначается log27 (читается: «логарифм семи по основанию два». Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log27 = 2,807354922057604107.
Итак, наше число log27 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.
Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).
Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
так как
, так как
так как ;
, так как .
Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.
Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.
Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log2(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.
Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 1.
Основные формулы
По определению, logab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:
a logab =b
(1)
Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством. Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:
Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.
Логарифм произведения — это сумма логарифмов:
loga(bc) = logab + logac.
(2)
Логарифм частного — это разность логарифмов:
Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:
Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:
Формулы (4) и (5) вместе дают:
(6)
В частности, если m = n, мы получаем формулу:
(7)
Например, .
Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:
(8)
В частности, если c = b, то logbb = 1, и тогда:
(9)
Приведём несколько примеров из банка заданий. 1. (применили формулу (2) суммы логарифмов).
2. (применили основное логарифмическое тождество(1))
3. (применили формулу (4).
4. (применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).
5. (применили формулу (3) разности логарифмов)
Немного истории
Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?
Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.
Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?
Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.
В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.
Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.
Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).
А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.
Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.
Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.
Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения.
Ранее мы уже познакомились с понятием логарифма. А также рассмотрели основные свойства и примеры решения.
Формулы логарифмов сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:
Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.
Примеры решения логарифмов на основании формул.
Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.
Согласно определения logab = x, что равносильно a x = b, поэтому logaa x = x.
log28 = 3, т.к. 2 3 = 8
log749 = 2, т.к. 7 2 = 49
log51/5 = -1, т.к. 5 -1 = 1/5
Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.
log10100 = 2, т.к. 10 2 = 100
Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828. — иррациональное число). Обозначается как ln.
Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.
9 log550 /9 log52 = 9 log550- log52 = 9 log525 = 9 2 = 81
Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма
Показатель степени логарифмируемого числа logab m = mlogab
Показатель степени основания логарифма loga n b =1/n*logab
если m = n, получим loga n b n = logab
log49 = log2 2 3 2 = log23
Переход к новому основанию logab = logcb/logca,
если c = b, получим logbb = 1
Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: «Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах». Не пропустите!
Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.
Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Определение логарифма
Логарифм — это математическая функция, основанная на свойствах возведения в степень.
Значение логарифма соответствует показателю степени данной базы, равному положительному числу “b” в базе “a”, что также должна быть положительной и отличаться от 1.
Чтобы лучше понять концепцию логарифма, необходимо посмотреть на формулу логарифмического уравнения:
“a” = основание, которое должно быть больше нуля (a > 0) и отличаться от единицы (a ≠ 1).
“b” = логарифмируемое число, где b должно быть больше нуля (b > 0).
В этом уравнении мы хотим найти, в какую степень (х) нужно возвести a, чтобы получилось b, т. е. aˣ = b.
, потому что
Формулы и свойства логарифмов
Некоторые из основных правил логарифма:
Когда логарифмируемое число равно основанию логарифма, логарифм всегда будет равен 1 ;
Логарифм с любым основанием, число которого равно 1, всегда будет иметь результат равным 0 ;
Два логарифма с одинаковым основанием всегда будут иметь одинаковые числа ;
Если основание «а» возведено в степень логарифма с основанием «а» числа «b», то он равен «b» ;
В случае умножения чисел мы можем превратить их в сумму двух логарифмов с одинаковыми основаниями ;
А в случае деления чисел мы превращаем их в вычитание двух логарифмов с одинаковыми основаниями ;
Правило возведения в степень: логарифм в степени упрощается путём умножения степени на логарифм, сохраняя её основание и число (тоже самое делается с логарифмом в квадрате)
Формулы перехода к новому основанию:
Решение логарифмов — примеры
Пример 1
Пример 2
ОДЗ логарифма
Как определить Область Допустимых Значений логарифма:
Для определения ОДЗ логарифма мы обращаем внимание только на то, что стоит в скобках, и указываем, что вся эта часть больше ноля.
График логарифмической функции
Примерно таким образом может выглядеть график логарифмической функции (одна из линий на рисунке):
Свойства логарифмической функции :
E (y) = R, множество значений — все действительные числа;
область определения — множество всех положительных чисел D(y): (0;+∞);
её график всегда проходит через точку (1;0);
она не считается ни чётной, ни нечётной;
у неё нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
она не ограничена ни сверху, ни снизу;
если 0 функция убывает, а если a>1 => функция возрастает.
Логарифм Непера или натуральный логарифм
Состоит из логарифма, основанного на иррациональном числе, которое называется «число Эйлера», пишется как «e» и приблизительно равно 2,718281. Является обратной функцией к экспоненциальной функции.
Название логарифма («логарифм Непера») произошло от имени его изобретателя — математика Джона Непера.
Десятичный логарифм
Это наиболее распространённая модель математических вычислений, особенно в так называемых логарифмических шкалах (или логарифмическом масштабе). Например: шкала pH, шкала Рихтера интенсивности землетрясений, шкала частоты звука — нотная шкала, и другие. И характеризуется тем, что основание (её логарифма) равно 10.
Десятичный логарифм может быть представлен без указания его основания.
История логарифма
Первоначально концепция логарифма была создана шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617) в 17-м веке, с целью упрощения сложных тригонометрических расчётов.
Английский математик Генри Бриггс (1561–1630) также внёс свой вклад в исследования логарифма и считается одним из ответственных за улучшение десятичного логарифма и за создание его современной версии.
Этимологически слово «логарифм» образовано объединением двух греческих терминов: λόγος — «основание» и ἀριθμός — «число».
Логарифм данного числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число.
О равенстве a x = N можно сказать, что x — это логарифм числа N по основанию a (где a > 0 и a ≠ 1).
Слово логарифм сокращённо обозначается log, основание же, при котором указывается логарифм данного числа, обозначается в виде нижнего индекса с правой стороны log.
Если мы знаем, что логарифм числа N при основании a равен числу x, то есть:
то это равенство можно написать без знака логарифма
a x = N,
где a — основание степени, x — показатель степени, N — степень.
logaN = x и a x = N
выражают одну и ту же зависимость между числами a, x и N: если дано одно из равенств, значит можно написать и второе. Эту же зависимость между числами a, x и N можно выразить ещё одним равенством:
x √ N = a или a = x √ N .
Отрицательные числа и нуль ни при каком основании a (a > 0 и a ≠ 1) логарифмов не имеют.
Основное логарифмическое тождество
Степень, показателем которой является логарифм числа N при таком же основании, как и основание степени, равна числу N.
Возьмём логарифм числа N при основании a равный числу q
logaN = q, значит a q = N.
Подставив в последнее равенство вместо числа q равное ему выражение logaN, получим
Выражение a logaN = N называется основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов
Рассмотрены свойства логарифмов для оснований, которые больше нуля и не равны единице:
a > 0 и a ≠ 1.
Логарифм единицы равен нулю.
так как нулевая степень любого числа (за исключением нуля) равна 1:
Логарифм числа равного основанию равен единице.
так как первая степень любого числа равна этому же числу без степени:
a 1 = a.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
где M > 0, N > 0.
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя (или логарифм дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя).
logaM
= logaM — logaN ,
N
где M > 0, N > 0.
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.
Логарифм, у которого в основании стоит степень, равен частному от деления логарифма при этом же основании без степени на показатель степени основания.
где N > 0, x ≠ 0.
Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.
loga x √ N = logaN
= 1
logaN .
x
x
Из формулы логарифма корня и формулы логарифма, у которого в основании стоит степень, можно сделать вывод, что логарифм корня равен логарифму данного числа с основанием в степени, равной показателю корня.
loga x √ N = loga x N = 1
logaN .
x
Свойства логарифмов степени и корня можно объединить ещё в одно:
loga β N α = α
logaN ,
β
где N > 0, β ≠ 0.
Любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же произвольному основанию.
logbN = logaN
,
logab
где N > 0. Данная формула называется формулой перехода к новому основанию.
Произведение взаимно обратных логарифмов равно единице.
Взаимно обратные логарифмы — это пара логарифмов, у которых основание и выражение под знаком логарифма поменялись местами.
Величина логарифма не изменится, если возвести число, стоящее под знаком логарифма, и одновременно основание логарифма в какую-либо степень.
Свойства логарифма вытекают из его определения. И так логарифм числа b по основанию а определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).
Из данной формулировки следует, что вычисление x=logab, равнозначно решению уравнения a x =b. Например, log28 = 3 потому, что 8 = 2 3 . Формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с. Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа.
С логарифмами, как и с любыми числами, можно выполнять операции сложения, вычитания и всячески трансформировать. Но ввиду того, что логарифмы — это не совсем ординарные числа, здесь применимы свои особенные правила, которые называются основными свойствами.
Сложение и вычитание логарифмов.
Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: loga x и loga y. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:
Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разностьлогарифмов — логарифму частного. Причем это верно если числа а, х и у положительны и а ≠ 1.
Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!
Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а, x и у положительны и а ≠ 1, то:
Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то:
Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров:
Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать:
так как выражения log2(-8) и log2(-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log2х определена лишь для положительных значений аргументах).
Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x1, x2, . . . ,xnсуществует тождество:
Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что loga1= 0, следовательно,
А значит имеет место равенство:
Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так: