Как решать системы уравнений

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать выражение 3 + x = 7, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Система линейных уравнений с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и является верным числовым равенством.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

  1. Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при
  1. Дать 𝑥 другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.
  2. Построить на координатной плоскости xOy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).
  3. Проводим прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это дело вот так:

Из первого ЛУ a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

1. Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

2. Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

3. Решить полученное, найти одну из переменных.

4. Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

1. Приравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.

2. Сложить или вычесть уравнения.

3. Решить полученное с одной переменной.

3. Подставить поочередно каждый из найденных корней в одно из уравнений исходной системы. Найти второе неизвестное.

Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с двумя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

  • ax + by + cz = d

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести к нормальному виду это уравнение

5x — 8y = 4x — 9y + 3

  1. 5x — 8y = 4x — 9y + 3
  2. 5x — 8y — 4x + 9y = 3
  3. x + y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

  1. Выразить у из первого:
  1. Подставить полученное выражение во второе:
  2. Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

  1. Решение систем линейных уравнений начинается в внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
  1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
  1. Найти у, подставив найденное значение в любое место:
  1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Записывайте вашего ребенка на бесплатное вводное занятие по математике в Skysmart: порешаем задачки и головоломки на интерактивной платформе и покажем, что математика может быть увлекательным путешествием!

Методы решения систем уравнения.

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение. Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Решим методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки )
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

  1. Метод подстановки.
  2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

  1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
  2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
  3. Решить уравнение с одной неизвестной.
  4. Найти оставшуюся неизвестную.

Решить систему уравнений методом подстановки

Решение:

  1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
  1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
  1. Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

  1. Найти оставшуюся неизвестную.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Решить систему уравнений методом сложения

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

Ответ можно записать одним из трех способов:

Задания для самостоятельного решения

№1. Решите систему уравнений < 4 x + y = 10 x + 3 y = − 3

В ответе запишите сумму решений.

Решение:

1 способ: (метод подстановки)

x + 3 ( 10 − 4 x ) = − 3

x + 30 − 12 x = − 3

Теперь осталось найти переменную y .

y = 10 − 4 x = 10 − 4 ⋅ 3 = − 2

В ответе надо указать сумму решений:

x + y = 3 + ( − 2 ) = 1

2 способ: (метод сложения)

( − 12 x − 3 y + ( x + 3 y ) = ( − 30 ) + ( − 3 )

− 12 x − 3 y + x + 3 y = − 30 − 3

Теперь осталось найти переменную y .

В ответе надо указать сумму решений:

x + y = 3 + ( − 2 ) = 1

№2. Две прямые пересекаются в точке C (см. рис.). Найдите абсциссу точки C .

Решение:

Абсцисса – x , ордината – y . Если две прямые пересекаются, то для нахождения точки их пересечения надо составить систему уравнений. Будем решать эту систему методом подстановки.

− 5 y = − 8 − 12 = − 20

y = − 20 − 5 = 20 5 = 4

x = 6 − 2 y = 6 − 2 ⋅ 4 = 6 − 8 = − 2

№3. На рисунке изображены графики функций y = 3 − x 2 и y = − 2 x . Вычислите координаты точки B .

Запишите координаты в ответе через точку с запятой.

Решение:

Для того, чтобы найти точки пересечения графиков, необходимо составить систему уравнений. Будем решать эту систему методом подстановки:

a = 1, b = − 2, c = − 3

D = b 2 − 4 a c = ( − 2 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) = 4 + 12 = 16

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 2 ) ± 16 2 ⋅ 1 = [ 2 + 4 2 = 6 2 = 3 2 − 4 2 = − 2 2 = − 1

Поскольку нас интересует точка B , которая лежит правее точки A , выбираем x = 3 .

Ищем координату y (ординату), соответствующую координате x = 3 (абсциссе).

п.1. Метод подстановки

Вариант 1
Шаг 1. Из одного уравнения выразить y через x: y(x).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти x.
Шаг 3. Подставить найденный x в y(x) и найти y.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

Вариант 2
Шаг 1. Из одного уравнения выразить x через y: x(y).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти y.
Шаг 3. Подставить найденный y в x(y) и найти x.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

п.2. Метод сложения

п.3. Метод замены переменных

Иногда удобно ввести новые переменные и решить систему для них.
А затем, вернуться к исходным переменным и найти их значения.

п.4. Графический метод

Графический метод подробно рассмотрен в §15 данного справочника.

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений:
а) ( left< begin < l >mathrm & mathrm & endright. )
Решаем методом подстановки: ( left< begin < l >mathrm & mathrm & endright. )
Для нижнего уравнения: ( mathrm )
Подставляем в верхнее уравнение: ( mathrm )

б) ( left< begin < l >mathrm & mathrm <(x^2+y^2)xy=10>& endright. )
Замена переменных: ( left< begin < l >mathrm & mathrm & endright. )
Выразим (x 2 + y 2 ) через a и b:
x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 + 2xy) – 2xy = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b
Подставляем: ( left< begin < l >mathrm & mathrm <(a^2-2b)b=10>& endright.Rightarrow left< begin < l >mathrm & mathrm <9b-2b^2=10>& endright. )
Решаем нижнее уравнение: 2b 2 – 9b + 10 = 0 $$ mathrm< D=9^2-4cdot 2cdot 10=1, b=frac<9pm 1><4>> = left[begin < l >mathrm & mathrm & endright. $$ Возвращаемся к исходным переменным: ( left[begin < l >left < l >mathrm & mathrm & endright.& left < l >mathrm & mathrm & endright. endright. )

Урок 2: Системы линейных уравнений с двумя переменными. Различные способы решения систем линейных уравнений

  • Видео
  • Тренажер
  • Теория

Заметили ошибку?

93. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Различные способы решения систем линейных уравнений.

Решим задачу. Сумма двух чисел равна 16, а разность – 2. Найдите эти числа.

Обозначим первое число за х, а второе – за у. Тогда сумму чисел запишем как х+у, а разность – х-у.

Так как сумма чисел равна 16, то запишем первое уравнение х+у = 16. Так как разность чисел равна 2, то запишем второе уравнение х-у = 2. Мы составили два уравнения с двумя неизвестными. Надо найти такое решение, которое обращало бы каждое из этих уравнения в верное равенство. В таких случаях говорят, что надо решить систему уравнений.

Уравнения записывают одно под другим, а рядом – фигурную скобку.

x + y = 16 x — y = 2

Пара значений (9;7) является решением для каждого уравнения. Действительно,

9 + 7 = 16 9 — 7 = 2

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Системы линейных уравнений, имеющие одинаковые решения, называются равносильными. Системы линейных уравнений, которые не имеют решений, также считаются равносильными.

Как же найти решение системы линейных уравнений? Первый способ – графический способ решения системы линейных уравнений. Начертим график первого линейного уравнения и график второго линейного уравнения на одной координатной плоскости. Точка, в которой эти графики пересекаются, и будет решением.

Найдем решение системы линейных уравнений графическим способом. Для этого сначала выразим переменную у из каждого уравнения.

2 x + 5 y = 6 x — y = — 11

5 y = 6 — 2 x y = x + 11

y = 6 — 2 x 5 y = x + 11

Построим графики функций y = 6 — 2 x 5 и y = x + 11 . Каждый из графиков представляет собой прямую, пересекающуюся с осями координат. Найдем точки пересечения каждого из графиков с осями координат. В каждом случае это будут две точки. Через эти две точки проведем прямую. У нас получатся две пересекающиеся прямые.

Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.

Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.

Пример:
Пара значений (x=3);(y=-1) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо (x) и (y), оба уравнения превратятся в верные равенства (begin3-2cdot (-1)=5 3 cdot 3+2 cdot (-1)=7 end)

А вот (x=1); (y=-2) — не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» (begin1-2cdot(-2)=5 3cdot1+2cdot(-2)≠7 end)

Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо «(x=3); (y=-1)» пишут так: ((3;-1)).

Как решить систему линейных уравнений?

Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:

Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.

Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.

Ответ запишите парой чисел ((x_0;y_0))

Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).

Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение . Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:

И сейчас нам нужно будет эту дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее

Способ алгебраического сложения.

Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:(begina_1 x+b_1 y=c_1a_2 x+b_2 y=c_2end).

Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты при одном из неизвестных стали одинаковы (например, ((3) и (3)) или противоположны по значению (например, (5) и (-5)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на (2), а второе — на (3).

(begin2x+3y=13 |cdot 2 5x+2y=5 |cdot 3end)(Leftrightarrow)(begin4x+6y=2615x+6y=15end)(Leftrightarrow)

Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.

Найдите неизвестное из полученного уравнения.

Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.

Ответ запишите парой чисел ((x_0;y_0)).

Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.

Пример. Решите систему уравнений: (begin12x-7y=25y=4x-6end)

Приводим систему к виду (begina_1 x+b_1 y=c_1a_2 x+b_2 y=c_2end) преобразовывая второе уравнение.

«Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на (3).

Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.

Делим уравнение на (8), чтобы найти (y).

Игрек нашли. Теперь найдем (x), подставив вместо игрека (-2) в любое из уравнений системы.

Икс тоже найден. Пишем ответ.

Графический способ.

Приведите каждое уравнение к виду линейной функции (y=kx+b).

Постройте графики этих функций. Как? Можете прочитать здесь .

  • Найдите координаты ((x;y)) точки пересечения графиков и запишите их в ответ в виде ((x_0;y_0 )).
    Ответ: ((4;2))

    • Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений (x_0) и (y_0) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
    Пример: решая систему (begin3x-8=2yx+y=6end), мы получили ответ ((4;2)). Проверим его, подставив вместо икса (4), а вместо игрека (2).

    Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.

    Пример. Решите систему уравнений: (begin3(5x+3y)-6=2x+114x-15=11-2(4x-y)end)

    Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую.

    Во втором уравнении каждое слагаемое — четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на (2).

    Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.

    Подставим (6x-13) вместо (y) в первое уравнение.

    Первое уравнение превратилась в обычное линейное . Решаем его.

    Сначала раскроем скобки.

    Перенесем (117) вправо и приведем подобные слагаемые.

    Поделим обе части первого уравнения на (67).

    Ура, мы нашли (x)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем (y).

    Основные методы решения систем уравнений:

    1. Метод подстановки: из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.

    Задача. Решить систему уравнений:

    Решение. Из первого уравнения системы выражаем у через х и подставляем во второе уравнение системы. Получим систему равносильную исходной.

    После приведения подобных членов система примет вид:

    Из второго уравнения находим: . Подставив это значение в уравнение у = 2 – 2х, получим у = 3. Следовательно, решением данной системы является пара чисел .

    2. Метод алгебраического сложения: путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.

    Задача. Решить систему уравнение:

    Решение. Умножив обе части второго уравнения на 2, получим систему равносильную исходной. Сложив два уравнения этой системы, придем к системе

    После приведения подобных членов данная система примет вид: Из второго уравнения находим . Подставив это значение в уравнение 3х + 4у = 5, получим , откуда . Следовательно, решением данной системы является пара чисел .

    3. Метод введения новых переменных: ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы.

    Задача. Решить систему уравнений:

    Решение. Запишем данную систему иначе:

    Пусть х + у = u, ху = v. Тогда получим систему

    Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения системы выразим u через v и подставим во второе уравнение системы. Получим систему т.е.

    Из второго уравнение системы находим v1 = 2, v2 = 3.

    Подставив эти значения в уравнение u = 5 – v, получим u1 = 3,
    u2 = 2. Тогда имеем две системы

    Решая первую систему, получим две пары чисел (1; 2), (2; 1). Вторая система решений не имеет.

    Упражнения для самостоятельной работы

    1. Решить системы уравнений методом подстановки:

    а) б) в)

    2. Решить систему уравнений методом сложения:

    а) б) в)

    3. Решить систему уравнений методом введения новых переменных:

    а) б) в)