Как умножать корни ~ Инструкции на все случаи жизни

Выражения, содержащие корень, который нельзя извлечь, называются иррациональными или радикальными.

— иррациональные выражения.

Сложение и вычитание корней

При сложении или вычитании иррациональных выражений их пишут одно за другим с сохранением их знаков.

В некоторых случаях с помощью преобразования можно сделать иррациональные выражения подобными, то есть, имеющими одинаковые показатели корней и подкоренные числа (или выражения), а затем сделать приведение.

Умножение и деление корней

При умножении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней перемножаются их подкоренные числа или выражения:

При делении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней подкоренное число или выражение делимого делится на подкоренное число или выражение делителя:

Возведение корня в степень

Чтобы возвести в степень иррациональное выражение, следует возвести в степень подкоренное число или выражение:

При возведении в n-ю степень знак корня отбрасывается, так как возведение числа (или выражения) в n-ю степень и извлечение из него корня n-ой степени — это взаимно сокращающиеся действия:

Извлечение корня

Чтобы извлечь корень из иррационального выражения, следует показатели корней перемножить:

, так как

С помощью таких преобразований можно упростить извлечение корней 4-й, 6-й, 8-й, 9-й и т. п. степеней из чисел.

Сокращение корней

Величина иррационального выражения не изменится, если показатель корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же число:

так как извлечение корня и возведение в степень — это взаимно сокращающиеся действия, если их показатели равны.

На этом свойстве основано сокращение корней и приведение их к общему показателю.

Сокращение корней — это деление показателей корня и подкоренного числа (или выражения) на одно и то же число, если оно является общим множителем для всех показателей.

Приведение корней к общему показателю

Приведение корней к общему показателю имеет большое сходство с приведением дробей к общему знаменателю. Рассмотрим два способа:

Показатели корней не имеют общих множителей.

Рассмотрим три выражения:

Так как у данных показателей нет общего множителя, то просто перемножаем все показатели между собой. Полученный результат и станет общим показателем. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:

Показатели корней имеют общий множитель. В этом случае надо найти НОК показателей и умножить показатель каждого корня на недостающий множитель.

Рассмотрим два выражения:

НОК (4, 6) = 12, значит, для первого выражения дополнительным множителем будет 3, а для второго 2. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:

При умножении и делении иррациональных выражений с разными показателями их приводят к общему показателю, а затем уже умножают или делят их подкоренные числа или выражения.

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n -ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m ·a n = a m + n .

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n /b n .

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a m) n = a m n .

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m

Арифметические действия с корнями различной степени могут значительно упростить расчеты в физике и технике и сделать их более точными. При умножении и делении удобнее не извлекать корень из каждого сомножителя или делимого и делителя, а сначала выполнить нужные действия с подкоренными выражениями и показателями степени. Чтобы вычисления получились точными, необходимо следовать определенным правилам.Вам понадобится

Внимательно прочитайте условия задания и проанализируйте данные. Обратите внимание на показатели степени. От того, разные они или одинаковые, зависит способ действия. Если нужно перемножить корни одной и той же степени, просто перемножьте между собой подкоренные выражения. При этом неважно, со сколькими корнями вы имеете дело. Показатель степени при этом остается тем же самым. Например, вам нужно умножить квадратные корни из чисел a, b и c. Выражение будет выглядеть так: √a*√b*√c = √abc.

Деление корней с одинаковыми показателями степени выполняется точно так же. Поставьте знак корня с тем же показателем. Одно подкоренное выражение разделите на другое. √a : √b=√a/b. Вместо a и b можно использовать любые числа или буквенные обозначения. Над знаком корня частного поставьте тот же самый показатель степени, что у делимого и делителя.

Если показатели степени разные, вычисления необходимо проводить несколько иначе. Показатели степени в этом случае тоже участвуют в процессе. Их необходимо привести к общему показателю примерно так же, как это делается при приведении простых дробей. Если вам нужно перемножите корни с показателями m и n, то общий показатель будет mn. Соответственно, у первого сомножителя необходимо возвести в степень n оба числа. Умножьте показатели степени радикала на этот дополнительный множитель. Во втором случае умножьте оба показателя на m. Поставьте знак радикала с показателем mn и перемножьте подкоренные выражения, как и в первом способе. Деление выполняется аналогично.

Если корни имеют коэффициенты, их необходимо перемножить или разделить отдельно. Результат запишите перед знаком корня, под которым стоит результат умножения или деления подкоренных выражений.

Очень часто бывает необходимо вывести один из сомножителей из-под корня или наоборот. Для этого число, стоящее перед радикалом, необходимо возвести в ту же степени, которая обозначена показателем, и убрать под корень. Например, 3√2=√9*2=√18. Можно поступить и наоборот, разложив подкоренное выражение на сомножители. Извлеките корень из того сомножителя, из которого это можно сделать, и выведите его из-под знака радикала.

iframe width=»800″ height=»360″ src=»https://www.youtube.com/embed/sM6FgzbbxvI»>

СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

§ 82. Умножение и деление корней

1. Умножение корней. В § 79 было получено правило умножения корней с одинаковыми показателями:

Чтобы умножить корни с разными показателями, предварительно их нужно привести к общему показателю, а затем умножить как корни с одинаковыми показателями.

Пусть, например, надо умножить n √ a на m √ b . Используя теорему 3 § 80, можно написать:

n √ a = nm √ a m ; m √ b = mn √ b n .

n √ a • m √ b = nm √ a m • mn √ b n = nm √ a m • b n

Например, √ 3 • 3 √ 9 = 6 √ 3 3 • 6 √ 9 2 = 6 √ 3 3 • 9 2 = 6 √ 3 3 • 3 4 = 6 √ 3 7 = 3 6 √ 3

В качестве общего показателя для корней n √ a на m √ b удобнее всего выбирать наименьшее общее кратное чисел n и m. Например, если нужно умножить 4 √ 2 на 6 √ 32 , то в качестве общего показателя для данных корней удобно выбрать число 12, являющееся наименьшим общим кратным чисел 4 и 6.

Теорема 3 § 80 дает: 4 √ 2 = 12 √ 2 3 ; 6 √ 32 = 12 √ 32 2 = 12 √ 2 10 .

4 √ 2 • 6 √ 32 = 12 √ 2 3 • 12 √ 2 10 = 12 √ 2 13 = 2 12 √ 2

2. Деление корней. В § 79 было получено правило деления корней с одинаковыми показателями:

Чтобы разделить корни с разными показателями, предварительно их следует привести к общему показателю, а затем разделить как корни с одинаковыми показателями.

Известно, что знак корня является квадратным корнем из некоторого числа. Однако знак корня означает не только алгебраическое действие, но и применяется в деревообрабатывающем производстве — в расчете относительных размеров.

Если вы хотите узнать, как умножить корни «с» или «без» множителей, то эта статья для вас. В ней мы рассмотрим методы умножения корней:

без множителей;
с множителями;
с разными показателями.

Метод умножения корней без множителей

Убедиться, что у корня одинаковые показатели (степени). Вспомним, что степень записывается слева над знаком корня. Если нет обозначения степени, это значит, что корень квадратный, т.е. со степенью 2, и его можно умножать на другие корни со степенью 2.

Пример 1: 18 × 2 = 36

Пример 2: 10 × 5 = 50

Пример 3: 3 3 × 9 3 = 27 3

Упростить подкоренные выражения. Когда мы умножаем корни друг на друга, мы можем упростить полученное подкоренное выражение до произведения числа (или выражения) на полный квадрат или куб:

Пример 1: 36 = 6 . 36 — квадратный корень из шести (6 × 6 = 36) .

Пример 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2 . Число 50 раскладываем на произведение 25 и 2 . Корень из 25 — 5 , поэтому выносим 5 из-под знака корня и упрощаем выражение.

Пример 3: 27 3 = 3 . Кубический корень из 27 равен 3: 3 × 3 × 3 = 27 .

Метод умножения показателей с множителями

Умножить множители. Множитель — число, которое стоит перед знаком корня. В случае отсутствия множителя, он, по умолчанию, считается единицей. Далее необходимо перемножить множители:

Пример 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 × 1 = 3

Пример 2: 4 3 × 3 6 = 12 ? 4 × 3 = 12

Умножить числа под знаком корня. Как только вы перемножили множители, смело умножайте числа, стоящие под знаком корня:

Пример 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20

Пример 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18

Упростить подкоренное выражение. Далее следует упростить значения, которые стоят под знаком корня, — требуется вынести соответствующие числа за знак корня. После этого, необходимо перемножить числа и множители, которые стоят перед знаком корня:

Пример 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5

Пример 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2

Метод умножения корней с разными показателями

Найти наименьшее общее кратное (НОК) показателей. Наименьшее общее кратное — наименьшее число, делящееся на оба показателя.

Необходимо найти НОК показателей для следующего выражения:

Показатели равны 3 и 2 . Для этих двух чисел наименьшим общим кратным является число 6 (оно делится без остатка и на 3 , и на 2). Для умножения корней необходим показатель 6 .

Записать каждое выражение с новым показателем:

Найти числа, на которые нужно умножить показатели, чтобы получить НОК.

В выражении 5 3 необходимо умножить 3 на 2 , чтобы получить 6 . А в выражении 2 2 — наоборот, необходимо умножить на 3 , чтобы получить 6 .

Возвести число, которое стоит под знаком корня, в степень равную числу, которое было найдено в предыдущем шаге. Для первого выражения 5 нужно возвести в степень 2 , а втором — 2 в степень 3:

2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6

Возвести в степень выражения и записать результат под знаком корня:

5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6

Перемножить числа под корнем:

Записать результат:

(8 × 25) 6 = 200 6

По возможности необходимо упростить выражение, но в данном случае оно не упрощается.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Число c является n -ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m ·a n = a m + n .

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n /b n .

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a m) n = a m n .

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m

Число c является n -ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m ·a n = a m + n .

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n /b n .

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a m) n = a m n .

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m

у	приставка
множ	корень
и	суффикс
ть	глагольное окончание

Сходные по морфемному строению слова

употребить
увеличить
умирить
усилить
умерить

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: пища — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Ассоциации к слову «умножить&raquo

Синонимы к слову «умножить&raquo

Предложения со словом «умножить&raquo

Нужно сначала умножить число на 1000, а затем разделить на 4.

Цитаты из русской классики со словом «умножить»

Екатерина, возобновив или умножив права наши, в то же время обнародовала и «Городовое Положение», которое навеки утвердило Среднее состояние в России, определив сферу действий его и назначив в ней разные степени, увенчанные, наконец, титлом Именитого Гражданина, который имеет уже часть Дворянских преимуществ и дает внуку своему право требовать сего достоинства.

Сочетаемость слова «умножить&raquo

умножает познания
умножать богатство
умножать знания
(полная таблица сочетаемости)

Значение слова «умножить&raquo

УМНО́ЖИТЬ , —жу, —жишь; сов., перех. (несов. умножать и множить). 1. Мат. Произвести умножение (во 2 знач.) над какими-л. двумя числами. (Малый академический словарь, МАС)

Отправить комментарий

Дополнительно

Как правильно пишется слово «умножить»
Спряжение глагола «умножить»
Цитаты со словом «умножить» (подборка цитат)
Перевод слова «умножить» и примеры предложений (английский язык)

Значение слова «умножить&raquo

УМНО́ЖИТЬ , —жу, —жишь; сов., перех. (несов. умножать и множить). 1. Мат. Произвести умножение (во 2 знач.) над какими-л. двумя числами.

Предложения со словом «умножить&raquo

Нужно сначала умножить число на 1000, а затем разделить на 4.

А теперь умножьте всё это на количество компаний, которые прилагают усилия по повышению уровня сервиса.

Чтобы узнать, сколько вы прочитали слов в минуту, нужно умножить результат на 6.

Синонимы к слову «умножить&raquo

перемножить
помножить
приумножить
преумножить
приобщить
(ещё синонимы. )

Ассоциации к слову «умножить&raquo

плюс
множество
минус
коэффициент
число
(ещё ассоциации. )

Сочетаемость слова «умножить&raquo

умножает познания
умножать богатство
умножать знания
(полная таблица сочетаемости. )

Морфология

Правописание

Карта слов и выражений русского языка

Онлайн-тезаурус с возможностью поиска ассоциаций, синонимов, контекстных связей и примеров предложений к словам и выражениям русского языка.

Справочная информация по склонению имён существительных и прилагательных, спряжению глаголов, а также морфемному строению слов.

Сайт оснащён мощной системой поиска с поддержкой русской морфологии.