Теория вероятностей (разг. сокр. “тервер”) — это раздел математики, который занимается анализом случайных событий. С её помощью можно вычислить вероятность события — оно показывает насколько вероятно, что какое-то событие произойдёт. Это число всегда находится в интервале между 0 и 1, где 0 — означает невозможность, а 1 — оно точно произойдёт (достоверное событие).
Например: в мешке есть 6 шаров: 3 красных, 2 жёлтых и 1 синий. Какова вероятность вытащить красный?
Вероятность считается так: количество красных шаров поделить на общее количество шаров в мешке, т. е. 3/6 = 1/2.
Основные формулы теории вероятностей
Теоремы сложения и умножения вероятностей
| Применение | Формула |
|---|---|
| Сложение противоположных событий | P(A) + P(A̅) = 1 |
| Сложение несовместных событий | P(A + B) = P(A) + P(B) |
| Сложение совместных событий | P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB) |
| Умножение независимых событий | P(AB) = P(A) × P(B) |
Основные формулы вычисления
Виды событий
В теории вероятностей события бывают невозможными, случайными и достоверными.
Невозможное событие
Это то, которое уже известно, что в ходе испытания НЕ произойдёт, т. е. вероятность данного события равна нулю. Например: при бросании одной игральной кости (один раз), какова вероятность того, что выпадет 7 очков?
Случайное событие
Это событие может произойти или нет, обычно оно именно случайное. Например: при бросании игральной кости, какова вероятность того, что выпадет чётное число очков?
Достоверное событие
Это то, которое в ходе испытания обязательно произойдёт, т. е. вероятность данного события равна 1. Например: при бросании игральной кости, какова вероятность того, что она не останется в воздухе, а упадёт?
Совместные и несовместные события
Несовместные события — это когда появление одного исключает появление другого (в одном и том же испытании). Например: при бросании одной игральной кости выпадет одновременно и «2» и «3»?
Совместные события могут произойти одновременно. Например: два спортсмена плывут одновременно, два студента сдают экзамен.
Противоположные события
Это два несовместимых события, которые образуют полную группу событий (третьего не существует). Например:
- А — при подбрасывании монеты выпадет орёл, A̅ — при подбрасывании монеты выпадет решка;
- D — из колоды карт будет извлечена дама, D̅ — из колоды карт будет извлечена не дама.
Алгебра событий
Логическое ИЛИ означает, что нужно произвести операцию сложения (сумма событий). Т. е. считаем возможность или событие А, или событие В, или оба (одновременно).
Логическое И — операция умножения (произведение событий). Т. е. считаем возможность и событие А, и событие В.
Задачи
Пример 1
В классе 27 учеников. Из них:
17 изучали немецкий язык,
Найти вероятность того, что случайно выбранный ученик изучал хотя бы один язык.
Что мы знаем:
Значит вместе это будет:
𝑃(N + A) = 𝑃(N) + 𝑃(A) − 𝑃(N ∙ A) = 17/27 + 6/27 − 2/27 = 21/27 = 7/9.
Пример 2
Лотерейные билеты пронумерованы от 1 до 100. Какова вероятность того, что в выбранном билете будет стоять число больше 40 или чётное число?
Что мы знаем:
P(>40) = 60/100 = 6/10 = 3/5
Логическое ИЛИ означает, что нам нужно произвести операцию сложения (т. е. сумма событий).
Нам понадобится формула сложения совместных событий P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB).
Для этого нам нужно узнать сколько будет P(>40 . Ch), для этого используем формулу P(AB) = P(A) . P(B).
P(>40 . Ch) = P(>40) . P(Ch) = ⅗ . ½ = 3/10
Теперь можем подставить всё в формулу P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB):
P(>40 + Ch) = P(>40) + P(Ch) — P(>40.Ch) = 6/10 + 5/10 — 3/10 = 8/10 = ⅘.
Пример 3
В финале международного турнира по стрельбе из лука участвовали 8 спортсменов: 3 американца, 1 англичанин, 1 немец, 1 француз и 2 русских. Какова вероятность того, что хотя бы один русский попадёт в тройку лучших, учитывая, что все спортсмены имеют равные условия для получения медали (золотой, серебряной и бронзовой).
Что мы знаем:
Когда в вопросе появляется «хотя бы один», можно «пойти от противного» — мы должны найти вероятность того, что этого не произойдёт (на пьедестале русских не будет), а затем вычесть это из 1.
P (никакой русский не выиграет золото) = 6/8 = 3/4
P (никакой русский не выиграет серебро) = 5/7 (убираем золотую медаль)
P (никакой русский не выиграет бронзу) = 4/6 = 2/3 (убираем золотую и серебряную медали)
P (на пьедестале не будет русских) = 3/4 x 5/7 x 2/3 = 30/84 = 5/14
P (хотя бы один русский на пьедестале) = 1 – 5/14 = 14/14 – 5/14 = 9/14.
Кто придумал теорию вероятностей
Основателями теории вероятностей являются два французских математика Блез Паскаль и Пьер Ферма. В 1654 г. французский писатель Антуан Гомбо (известный как Шевалье де Мере), интересовавшийся игрой и азартными играми, вызвал заинтересованность Паскаля насчёт популярной в то время игры в кости.
Кости бросались 24 раза, а вопрос стоял в том, стоит ли ставить деньги на выпадение хотя бы одной «двойной шестёрки». В то время считалось, что это было выгодно, но последующие расчёты показали прямо противоположное.
Если при проведении некоторого эксперимента возможны (N) равновероятных элементарных событий, то вероятность события (A) : [Large
На рисунке схематично изображено множество всех возможных равновероятных (одинаковые по размеру круги) исходов у некоторого эксперимента, которые не пересекаются:
Таким образом, под такой вероятностью можно понимать часть, которую составляют “подходящие” исходы от всех возможных исходов.
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 8 спортсменов из Аргентины, 6 спортсменов из Бразилии, 5 спортсменов из Парагвая и 6 – из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины.
Заметим, что вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины, такая же, как вероятность, что он будет выступать первым, вторым, третьим и т.п.
Всего претендентов на последнее место: (8+6+5+6=25) спортсменов. Нам удовлетворяют лишь 8 из Аргентины. Следовательно, вероятность равна отношению количества удовлетворяющих исходов к количеству всех: [dfrac<8><25>=0,32.]
В случайном эксперименте бросают две правильные игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых.
Так как вероятности выпадения любой пары очков в эксперименте одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества исходов, в которых в сумме получается 3 очка, к количеству всевозможных исходов. Набрать 3 очка можно только двумя способами: ((2; 1)) и ((1; 2)) .
Количество всевозможных исходов эксперимента равно количеству всевозможных различных пар ((a; b)) , где (a) и (b) принимают значения 1, 2, 3, 4, 5 или 6.
Количество всевозможных исходов эксперимента равно 36.
Вероятность суммарного выпадения 3 очков равна [dfrac<2> <36>= 0,0(5).] После округления окончательный ответ становится (0,06) .
Замечание: пары ((a; b)) и ((b; a)) при (aneq b) – разные. В самом деле, в условии задачи ничего не изменилось бы, если бы было сказано, что первая кость – красная, а вторая – синяя. Но в таком случае разница была бы очевидна.
В классе 10 мальчиков и 15 девочек. Учитель случайным образом выбирает отвечающего у доски. Какова вероятность того, что у доски будет отвечать девочка?
Так как вероятности выбора любого школьника одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества девочек к общему количеству человек в классе. Вероятность выбора девочки равна [dfrac<15> <10 + 15>= 0,6.]
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 55 докладов — они распределены поровну между всеми днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
На каждый день конференции запланировано (55:5=11) докладов. Таким образом, всего имеется 55 вариантов, когда может прозвучать доклад профессора М., из которых нам подходят лишь 11, следовательно, вероятность равна [dfrac<11><55>=dfrac15=0,2]
В кинопрокате показывают 3 боевика и 7 мелодрам. Максим выбирает, на какой сеанс пойти, случайным образом. Какова вероятность того, что он пойдет на мелодраму?
Так как вероятности выбора любого фильма одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества мелодрам к общему количеству фильмов в прокате. Вероятность выбора мелодрамы равна [dfrac<7> <3 + 7>= 0,7.]
В конференции участвуют 12 французов, 11 россиян, 45 американцев и 32 англичанина. Порядок прочтения докладов определяется жребием. Какова вероятность того, что заключительный доклад будет читаться россиянином?
Так как вероятности выбора любого доклада одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества россиян на конференции к общему количеству участников конференции. Вероятность того, что заключительный доклад будет читаться россиянином равна [dfrac<11> <12 + 11 + 45 + 32>= 0,11.]
В коробке 4 красных, 2 синих и 4 зеленых шара. Азат наугад достает один шар. Какова вероятность того, что этот шар красный?
Так как вероятности выбора любого шара одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества красных шаров к общему количеству шаров в коробке. Вероятность того, что вытащенный шар будет красный равна [dfrac<4> <4 + 2 + 4>= 0,4.]
Задачи на вероятность исхода — обязательная часть ЕГЭ по математике. Как показывает практика, они ежегодно включаются как в базовый, так и в профильный уровень аттестационного испытания. Это означает, что уметь справляться с заданиями ЕГЭ на расчет вероятностей исхода должны все учащиеся.
Если задачи по данной теме вызывают у вас сложности, рекомендуем обратиться к образовательному порталу «Школково». С нами учащиеся с любым уровнем подготовки смогут восполнить пробелы в знаниях.
В соответствующем разделе представлены задачи на вероятность исхода подобные тем, которые встречаются в ЕГЭ. Поняв, как они решаются, и научившись справляться с ними, выпускники смогут получить достойные баллы по итогам прохождения аттестационного испытания.
Основные моменты
Для того чтобы подобные задачи давались вам легко, рекомендуем вспомнить базовые определения. Основными терминами, отражающими понятие вероятности, являются исход, испытание и случайное событие. Испытание представляет собой определенное действие. Это может быть подбрасывание монеты, вытягивание карты, жеребьевка и т. п. Соответственно, результат испытания называется исходом.
Что представляет собой случайное событие? Это множество исходов одного испытания. К примеру, при подбрасывании монеты может выпасть орел или решка. Следовательно, возможно сразу два случайных события. При решении задач по теории вероятности важно также вспомнить основную формулу: Вероятность события А есть отношение количества благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов данного события.
Понять формулу проще всего на примерах.
Пример 1. В корзине 9 красных шаров и 3 синих. Шары различаются только цветом. Наугад (не глядя) достаём один из них. Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется синего цвета?
Комментарий. В задачах по теории вероятности происходит нечто (в данном случае наше действие по вытаскиванию шара), что может иметь разный результат — исход. Нужно заметить, что на результат можно смотреть по-разному. «Мы вытащили какой-то шар» — тоже результат. «Мы вытащили синий шар» — результат. «Мы вытащили именно вот этот шар из всех возможных шаров» — такой наименее обобщенный взгляд на результат называется элементарным исходом. Именно элементарные исходы имеются в виду в формуле для вычисления вероятности.
Решение. Теперь вычислим вероятность выбора синего шара.
Событие А: «выбранный шар оказался синего цвета»
Общее число всех возможных исходов: 9+3=12 (количество всех шаров, которые мы могли бы вытащить)
Число благоприятных для события А исходов: 3 (количество таких исходов, при которых событие А произошло, — то есть, количество синих шаров)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Ответ: 0,25
Посчитаем для той же задачи вероятность выбора красного шара.
Общее число возможных исходов останется тем же, 12. Число благоприятных исходов: 9. Искомая вероятность: 9/12=3/4=0,75
Вероятность любого события всегда лежит в пределах от 0 до 1.
Иногда в повседневной речи (но не в теории вероятности!) вероятность событий оценивают в процентах. Переход между математической и разговорной оценкой осуществляется путем умножения (или деления) на 100%.
Итак,
При этом вероятность равна нулю у событий, которые не могут произойти — невероятны. Например, в нашем примере это была бы вероятность вытащить из корзины зеленый шар. (Число благоприятных исходов равно 0, Р(А)=0/12=0, если считать по формуле)
Вероятность 1 имеют события, которые абсолютно точно произойдут, без вариантов. Например, вероятность того, что «выбранный шар окажется или красным или синим» — для нашей задачи. (Число благоприятных исходов: 12, Р(А)=12/12=1)
Мы рассмотрели классический пример, иллюстрирующий определение вероятности. Все подобные задачи ЕГЭ по теории вероятности решаются применением данной формулы.
На месте красных и синих шаров могут быть яблоки и груши, мальчики и девочки, выученные и невыученные билеты, билеты, содержащие и не содержащие вопрос по какой-то теме (прототипы 285926, 285927), бракованные и качественные сумки или садовые насосы (прототипы 282857, 282856) – принцип остается тем же.
Немного отличаются формулировкой задачи теории вероятности ЕГЭ, где нужно вычислить вероятность выпадения какого-то события на определенный день. (285922, 285923) Как и в предыдущих задачах нужно определить, что является элементарным исходом, после чего применить ту же формулу.
Пример 2. Конференция длится три дня. В первый и второй день выступают по 15 докладчиков, в третий день – 20. Какова вероятность того, что доклад профессора М. выпадет на третий день, если порядок докладов определяется жеребьевкой?
Что здесь является элементарным исходом? – Присвоение докладу профессора какого-то одного из всех возможных порядковых номеров для выступления. В жеребьевке участвует 15+15+20=50 человек. Таким образом, доклад профессора М. может получить один из 50 номеров. Значит, и элементарных исходов всего 50.
А какие исходы благоприятные? – Те, при которых окажется, что профессор будет выступать в третий день. То есть, последние 20 номеров.
По формуле вероятность P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Ответ: 0,4
Жеребьевка здесь представляет собой установление случайного соответствия между людьми и упорядоченными местами. В примере 2 установление соответствия рассматривалось с точки зрения того, какое из мест мог бы занять конкретный человек. Можно к той же ситуации подходить с другой стороны: кто из людей с какой вероятностью мог бы попасть на конкретное место (прототипы 282855, 282858, 285924, 285928):
Пример 3. В жеребьевке участвуют 5 немцев, 8 французов и 3 эстонца. Какова вероятность того, что первым (/вторым/седьмым/последним – не важно) будет выступать француз.
Количество элементарных исходов – количество всех возможных людей, которые могли бы по жеребьевке попасть на данное место. 5+8+3=16 человек.
Благоприятные исходы – французы. 8 человек.
Искомая вероятность: 8/16=1/2=0,5
Ответ: 0,5
Немного отличается прототип 285925. Остались задачи про монеты (282854) и игральные кости (285853), несколько более творческие. Решение этих задач можно посмотреть на страницах прототипов.
Приведем несколько примеров на бросание монеты или кубика.
Пример 4. Когда подбрасываем монету, какова вероятность выпадения решки?
Исходов 2 – орел или решка. (считается, что монета никогда не падает на ребро) Благоприятный исход – решка, 1.
Вероятность 1/2=0,5
Ответ: 0,5.
Пример 5. А если подбрасываем монету два раза? Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел?
Главное определить, какие элементарные исходы будем рассматривать при подбрасывании двух монет. После подбрасывания двух монет может получиться один из следующих результатов:
1) PP – оба раза выпала решка
2) PO – первый раз решка, второй раз орел
3) OP – первый раз орел, второй раз решка
4) OO – оба раза выпал орел
Других вариантов нет. Значит, элементарных исходов 4. Благоприятный из них только первый, 1.
Вероятность: 1/4=0,25
Ответ: 0,25
Какова вероятность того, что из двух подбрасываний монеты один раз выпадет решка?
Количество элементарных исходов то же, 4. Благоприятные исходы – второй и третий, 2.
Вероятность выпадения одной решки: 2/4=0,5
В таких задачах может пригодиться ещё одна формула.
Если при одном бросании монеты возможных вариантов результата у нас 2, то для двух бросаний результатов будет 2·2=2 2 =4 (как в примере 5), для трех бросаний 2·2·2=2 3 =8, для четырех: 2·2·2·2=2 4 =16, … для N бросаний возможных результатов будет 2·2·. ·2=2 N .
Так, можно найти вероятность выпадения 5 решек из 5 бросаний монеты.
Общее число элементарных исходов: 2 5 =32.
Благоприятных исходов: 1. (РРРРР – все 5 раз решка)
Вероятность: 1/32=0,03125
То же верно и для игральной кости. При одном бросании возможных результатов здесь 6. Значит, для двух бросаний: 6·6=36, для трех 6·6·6=216, и т. д.
Пример 6. Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число?
Всего исходов: 6, по числу граней.
Благоприятных: 3 исхода. (2, 4, 6)
Вероятность: 3/6=0,5
Пример 7. Бросаем две игральные кости. Какова вероятность, что в сумме выпадет 10? (округлить до сотых)
Для одного кубика 6 возможных исходов. Значит, для двух, по вышеупомянутому правилу, 6·6=36.
Какие исходы будут благоприятными для того, чтоб в сумме выпало 10?
10 надо разложить на сумму двух чисел от 1 до 6. Это можно сделать двумя способами: 10=6+4 и 10=5+5. Значит, для кубиков возможны варианты:
(6 на первом и 4 на втором)
(4 на первом и 6 на втором)
(5 на первом и 5 на втором)
Итого, 3 варианта. Искомая вероятность: 3/36=1/12=0,08
Ответ: 0,08
Другие типы задач B6 будут рассмотрены в одной из следующих статей «Как решать».
Вероятность события A определяется формулой
,
где m-число элементарных исходов, благоприятствующих событию A ;
n-число всех возможных элементарных исходов испытания.
Предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 13.2.16. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков.
Решение: Введем события: – одно очко; — два очка; – три очка; – четыре очка; – пять очков; – шесть очков. Итак, n=6.
Рассмотрим событие A — выпадение четного числа очков. Данному событию благоприятствуют элементарные исходы , , .
Следовательно, m=3. Тогда .
ПРИМЕР 13.2.17. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и помнит лишь то, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
Решение: Событие A — набраны нужные цифры.
n — общее число элементарных исходов опыта равно
m=1, так как единственная комбинация цифр благоприятствует событию A. Тогда .
.
ПРИМЕР 13.2.18. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажутся 6 отличников.
Решение: Событие A- среди отобранных студентов окажутся 6 отличников. Число n равно числу способов, которыми можно отобрать 9 студентов из 12
.
Подсчитаем число исходов, благоприятствующих появлению события A. Из 8 отличников 6 можно отобрать способами. Отобрать нужно 9 человек, остальных 3 отбираем среди неотличников. Их всего 12-8=4. Троих студентов-неотличников из четырех можно отобрать способами. По теореме умножения комбинаторики . Тогда,
.
Примеры и задачи для самостоятельного решения
Решить задачу, используя формулу классической вероятности
13.2.2.1. В урне белых, черных шаров. Из урны вынимают наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар – белый.
13.2.2.2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.
13.2.2.3. В ящике 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной.
13.2.2.4. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три.
Отв.:а)0,384; б)0,096; в)0,008
13.2.2.5. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость: а) оказалась дублем; б) не есть дубль.
Отв.: а) 2/9; б) 4/9
13.2.2.6. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное число; б) случайно названное число, цифры которого различны.
Отв.:а) 1/90;б) 1/81
13.2.2.7. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «ягуар». Ребенок не умеющий читать, рассыпал карточки с буквами и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «ягуар».
13.2.2.8. В условиях предыдущей задачи найти вероятность, если ребенок играл со словами: а) молоко; б) шалаш.
Отв.: а)1/120; б)1/30
13.2.2.9. В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть.
13.2.2.10. В мастерскую для ремонта поступили 10 часов. Известно, что 6 штук из них нуждаются в общей чистке механизма. Мастер берет первые попавшиеся 5 часов. Определить вероятность того, что двое из этих часов нуждаются в общей чистке механизма.
13.2.2.11. Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и 6 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность в следующих случаях: а) все три детали без дефектов; б) по крайней мере, одна деталь без дефектов?
Отв.:a)0,579; б)0,9973
13.2.2.12. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.
13.2.2.13. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги – по одному рублю и две книги – по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей.
13.2.2.14. Найти вероятность выигрышных комбинаций в популярной спортивной лотерее «5 из 36».
Отв.: 1/376992; 155/376992; 775/62832
13.2.2.15. Найти вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число делится на 8.
Итак, поговорим на тему, которая интересует очень многих. В данной статье я вам отвечу на вопрос о том, как рассчитать вероятность события. Приведу формулы для такого расчета и несколько примеров, чтобы было понятнее, как это делается.
Что такое вероятность
Начнем с того, что вероятность того, что то или иное событие произойдет – некая доля уверенности в конечном наступлении какого-то результата. Для этого расчета разработана формула полной вероятности, позволяющая определить, наступит интересующее вас событие или нет, через, так называемые, условные вероятности. Эта формула выглядит так: Р = n/m, буквы могут меняться, но на саму суть это никак не влияет.
Примеры вероятности
На простейшем примере разберем эту формулу и применим ее. Допустим, у вас есть некое событие (Р), пусть это будет бросок игральной кости, то есть равносторонний кубик. И нам требуется подсчитать, какова вероятность выпадения на нем 2 очков. Для этого нужно число положительных событий (n), в нашем случае – выпадение 2 очков, на общее число событий (m). Выпадение 2 очков может быть только в одном случае, если на кубике будет по 2 очка, так как по другому, сумма будет больше, из этого следует, что n = 1. Далее подсчитываем число выпадения любых других цифр на кости, на 1 кости – это 1, 2, 3, 4, 5 и 6, следовательно, благоприятных случаев 6, то есть m = 6. Теперь по формуле делаем нехитрое вычисление Р = 1/6 и получаем, что выпадение на кости 2 очков равно 1/6, то есть вероятность события очень мала.
Еще рассмотрим пример на цветных шарах, которые лежат в коробке: 50 белых, 40 черных и 30 зеленых. Нужно определить какова вероятность вытащить шар зеленого цвета. И так, так как шаров этого цвета 30, то есть, положительных событий может быть только 30 (n = 30), число всех событий 120, m = 120 (по общему количеству всех шаров), по формуле рассчитываем, что вытащить зеленый шар вероятность равна будет Р = 30/120 = 0,25, то есть 25 % из 100. Таким же образом, можно вычислить и вероятность вытащить шар другого цвета (черного она будет 33%, белого 42%).
Добрый день!
прошу помочь рассчитать вероятность выпадения чисел, при определенных выборках.
имеем ряд чисел от 0 до 99.
При выборе одного числа из этого ряда, вероятность выпадения составит:
1:100=1%
При выборе пяти чисел вероятность выпадения числа к примеру 3 составит:
5:100=3%.
А как рассчитать вероятность выпадения нескольких чисел?
Например вероятность выпадения чисел 8 или 20 при выборе 5 чисел?
Думал что вероятность составит 6%:
5:100=3%×2=6%, но коллеги говорят что нет.
Дубликаты не найдены
Лига математиков
333 поста 1.6K подписчиков
А как это у Вас 5:100 получилось 3%? 5% вроде как должно быть, не?
По мне так за исключением ошибки с 3 и 5 процентами всё Вы правильно посчитали. Если имеется в виду, что из 5 попыток один раз выпадет хотя бы одно из двух чисел, то вероятность такого события составляет 10%.
Теорему умножения вероятностей не проходили?
Если причинно-следственной связи между случайными событиями нет, то вероятность совпадения двух событий равна произведению их вероятностей.
Для трех и более то же самое — умножение вероятностей.
Кстати, почему нужно подозрительно относиться к совпадениям. Если нет связи между событиям, то умножение малых вероятностей дает практическую невозможность. Если события независимы, что должно натолкнуть на мысль, что причинно-следсвенная связь на самом деле есть.
Давно при перемножении 0.05 на 0.05 получается 0.25?
Про причинно-следственную связь в ней ни слова. Зависимые события могут быть вовсе не ей связаны.
Если числа не повторяются
Посчитаем вероятность не выпадения заданного числа за 5 бросков 99/100 * 98/99 * 97/98 * 96/97 * 95/96 = 0,95 = 95%, значит вероятность выпадения 5%
Вероятность не выпадения 2х заданных чисел:
98/100 * 97/99 * 96/98 * 95/97 * 94/96 = 0,902 = 90,2%, значит вероятность выпадения 9,8%
Если числа могут повторяться
Вероятность не выпадения заданного числа за 5 бросков (0,99)^5=0,95 , вероятность выпадения 5%
Вероятность не выпадения 2х заданных чисел: (0,98)^5=0,774, вероятность выпадения 0,226
Блин, поспешил. В самой последней строке ошибка в расчётах, правильно так:
Вероятность не выпадения 2х заданных чисел: (0,98)^5=0,904, вероятность выпадения 0,096 = 9,6%
«Думал что вероятность составит 6%:
5:100=3%×2=6%, но коллеги говорят что нет.»
Жестко. То есть вероятность выпадения двух чисел одновременно больше чем вероятность выпадения одного из них. Ух.
Вот у моей сестры препод по терверу показал расчёт, что в одной группе студентов вероятность того, что у двоих будет день рождения в один день, 40 процентов. Помню, что хотела разобраться, как он считал, да тетрадка за давностью потерялась.
Предположим что в группе 30 человек, шансы что у кого-то сегодня ДР: 30/365*100%=8.2%, шансы что у двоих в один день: (30/365) * (29/365) *100 = 0.6%
Вероятность того, что в группе из 30 человек хоты бы у двух совпадет день рождения, равна 70%.
Там фишка в том, что нет привязки к конкретной дате, она может быть любой.
Да, тогда мой расчет не верен)
Это так называемый Парадокс дней рождения
по вашей формуле посчитайте вероятность выпадения орла при бросании монетки хотя бы раз из 3 бросков. 1/2+1/2+1/2 = 150% ??
Именно, что вас смущает?
Ну во-первых, это неправильно.
А во-вторых, правильно так. Вероятность не выпадения орла за N бросков = 0,5^N
Вероятность выпадения орла хотя бы раз за N бросков = 1- 0,5^N.
И для трёх бросков это будет 0,875 , т.е. 87,5%
Правильно ли я понимаю, вероятность невыпадения орла за 3 броска 150%, а вероятность выпадения 87.5%?
Нет. Вероятность не выпадения орла за 3 броска = 0,5^3=0,125=12,5%.
Погуглил чуть-чуть. Моя формула верна, для несовместных событий — случай с цифрами. А монетка это совместные события, здесь ваша формула верна)
Учебник комбинаторики вам в помощь, формулы перестановок и сочетаний.
А) У вас четырехзначный кодовый замок, число комбинаций будет 10*10*10*10 = 10 000 (по формуле 10^4 = 10 000)
Б) У вас четырехзначный кодовый замок, но вы точно знаете что все 4 числа кода разные. Тогда число комбинаций будет 10*9*8*7 = 5040 (по формуле 10!/(10-4)!)
В) У вас четырехзначный кодовый замок, но вы точно знаете что все 4 числа кода разные и при этом не важна последовательность их ввода. То есть если установленный пароль условно 1234, то пароли 1243 1324 1342 . 4312 4321 — все подойдут. Число перестановок равно 4*3*2*1 = 4! (факториал). Значит общее число комбинаций 10*9*8*7 надо разделить на 4*3*2*1, так как общее число комбинаций содержит в себе все эти 4*3*2*1 по сути одинаковых комбинации. И мы получим 210 сочетаний. (по формуле 10!/(10-4)!/4!)
Ну а уже из теории вероятности вероятность выигрыша в А) 1 к 10 000, в Б) 1 к 5040 в В) 1 к 210.
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?
Вероятность того, что на одном из требуемых мест окажется чётное число равна 0,5. Следовательно, вероятность того, что на двух местах одновременно окажутся два чётных числа равна 0,5 · 0,5 = 0,25.
00,22,44,66, 88. т.е. m=5, но n==100, тогда ведь вероятность равна 0, 05. или нет?
Вы не учли, что может закончиться и на 24 — тоже заканчивается на 2 четные.
Почему вероятность того, что на одном из требуемых мест окажется четное число равна 0,5? Там может оказаться одна из 10 цифр от 1 до 9, из них 4 четные, получается вероятность 0,4
Цифр всего 10: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. 0 — по определению является четным числом, поскольку при делении на 2, мы получаем целое число — 0:2=0. Таким образом, четных цифр — 5 из 10.
Скажите, а с каких пор 0- четное число? На протяжении всей школьной программы нас учили: «0- ни четное, ни нечетное число.»
Решение не правильное, либо вопрос в задаче не соответствует данному решению.
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?
Всем известно что половина наших чисел чётная, а половина нет.
Ряд чисел на которые мог бы кончаться номер:
00,01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19. Наглядно видно, что это половина чисел. А по вашему ответу — 25%, получилось бы что большинство должно быть нечетными.
Если бы шла речь о случайном выпадении цифр, независимом, а не о списке готовых чисел, то да. Подобные задачи насилуют мозг людей, и саму теорию вероятности.
Даже в Вашем списке условию задачи удовлетворяют только 5 пар (00, 02, 04, 06, 08) из 20 (00,01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19).
Что и составляет 25%
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу
На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (события, состоящего в том, что паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5) 4 = 0,0625.
Примечание Решу ЕГЭ.
Как и обычно в таких задачах, мы определили, с какой вероятностью паук выползет из лабиринта через выход D (а не просто доползет до этого выхода и остановится или, например, проследует дальше к выходу А). Отметим, что вопрос следовало бы сформулировать однозначно. Мы уже связались с разработчиками ЕГЭ и сообщили им об этом.