Форма записи больших и малых чисел. Стандартная форма записи числа.
Физические величины при измерениях и вычислениях обычно выражают числами. Они могут значительно отличаться друг от друга и выражаться как чрезвычайно малыми, так и гигантскими числами. Например, размеры различных тел лежат в пределах от микроскопических до космических масштабов и различаются в 1000000000000000000000000000000. раз (всего надо написать 60 нулей) – такое число даже сложно прочитать!
Как же записать очень малое или очень большое число, чтобы сэкономить бумагу и чтобы легко оперировать этими числами – складывать, вычитать, умножать, делить, да и вообще быстро прочитать и понять записанное?
Наиболее удобный способ записи малых и больших чисел заключается в использовании множителя 10 в некоторой степени. Например, число 2000 можно записать как 2·1000 или 2·10 3 . Степень десяти (в данном случае «3») показывает, сколько нулей нужно приписать справа за первым множителем (в нашем примере «2»). Это называют записью числа в стандартной форме. Если число содержит более, чем одну значащую цифру, например 21500, то его можно записать как 21500·10 0 или 2150·10 1 или 215·10 2 или 21,5·10 3 или 2,15·10 4 или 0,215·10 5 или 0,0215·10 6 и так далее.
Запомним: в стандартной форме числа до запятой всегда оставляют только одну цифру, отличную от нуля, а остальные цифры записывают после запятой. Итак, в стандартной форме число 21500 = 2,15·10 4 .
Когда вы будете «разворачивать» (то есть записывать в обычном виде) число, представленное в стандартной форме, например, 3,71·10 5 , то начинайте отсчитывать цифры в количестве пяти (таков в нашем примере показатель степени десяти) сразу после запятой, включая и значащие цифры «71», а недостающие цифры замените нулями: 3,71·10 5 = 371000.
С большими числами мы выяснили, перейдём теперь к малым. Например, число 0,0375 тоже можно записать в стандартной форме так: 3,75·10 –2 . Первый множитель – первая значащая цифра, затем запятая и остальные цифры (в нашем примере это «3», «запятая», «75»). Показатель степени равен позиции после запятой, на которой стоит первая отличная от нуля цифра (в нашем примере это вторая позиция, поскольку именно там стоит первая ненулевая цифра «3»). Перед показателем ставится знак «минус», и это означает, что при «разворачивании» числа нули нужно будет ставить не справа, а слева. Например: 1,05·10 –5 = 0,0000105.
Определение стандартного вида числа
Стандартным видом числа b называют его запись в виде
$$ b = a cdot 10^n, n in Bbb Z, 1 le |a|lt 10 $$
При этом число a называют мантиссой числа b, а n — порядком числа b.
$$ 100500 = 1,005 cdot 10^5; 0,06 = 6 cdot 10^<-2>; -0,0777 cdot 10^ <-2>= -7,77 cdot 10^ <-4>$$
Оперировать числами в стандартном виде намного удобней, чем пересчитывать и переписывать бесчисленные нули слева или справа.
На рисунке вверху показан результат работы программы, находящей решение 128 линейных уравнений с 128 неизвестными.
В окошке «Accuracy» задана точность вычислений $1,0 cdot 10^<-10>$. Пользователь записывает её в так называемой «научной нотации». Если бы такого соглашения не было, ему пришлось бы долго вбивать, считать и пересчитывать нули.
Алгоритм записи числа в стандартном виде
Найдём, сколько секунд в году, и запишем результат в стандартном виде:
$$ 365 frac<день> <год>cdot 24 frac<ч> <день>cdot 3600 frac<с> <ч>= 31536000 frac<с> <год>= 3,1536 cdot 10^7 frac<с> <год>$$
В данном случае запятая $31536000,0 → 3,1536 cdot 10^7$ перемещается на 7 позиций влево. Значит, порядок этого числа n = 7.
Теперь запишем в стандартном виде массу молекулы кислорода $O_2$:
$$ 0,000 000 000 000 000 000 000 053 г = 5,3 cdot 10^ <-23>г $$
Поставив запятую после 5, мы переместили её на 23 позиции вправо. Значит, порядок этого числа n = -23.
Шаг 1. Поставить в данном числе новую запятую так, чтобы в целой части осталась одна, отличная от нуля, цифра.
Шаг 2. Посчитать количество цифр, на которое переместилась запятая. Это количество определяет порядок n. Если запятая переместилась влево, то $n gt 0$; при перемещении вправо $n lt 0$.
Шаг 3. Записать число в стандартном виде: $b = a cdot 10^n$.
Сравнение чисел, записанных в стандартном виде
Сравниваем два положительных числа:
$$ b = a cdot 10^n, d = c cdot 10^m, b gt 0, d gt 0 $$
Число с большим порядком больше числа с меньшим порядком:
$$ n gt m Rightarrow b gt d $$
$$ n lt m Rightarrow b lt d $$
Если порядки одинаковы, то сравнивают мантиссы:
$$
$$
Примеры
Пример 1. Выполните действия и запишите результат в стандартном виде:
$ а) (4,1 cdot 10^7 )^2 cdot 3,9 cdot 10^ <-8>= 4,1^2 cdot 3,9 cdot 10^ <14-8>= 65,559 cdot 10^6 = 6,5559 cdot 10^7 $
$ б) (9,3 cdot 10^<-9>)^2:(3 cdot 10^ <-10>) = frac<9,3^2> <3>cdot 10^ <-18+10>= 28,83 cdot 10^ <-8>= 2,883 cdot 10^ <-7>$
Пример 2. Сравните числа:
$а) 5,8 cdot 10^9 и 4,7 cdot 10^<10>$
У второго числа порядок больше. Значит: $5,8 cdot 10^9 lt 4,7 cdot 10^<10>$
$ б) 3,7 cdot 10^5 и 2,8 cdot 10^5 $
Порядки чисел одинаковы, мантисса первого числа больше.
Значит: $3,7 cdot 10^5 > 2,8 cdot 10^5$
$ в) 3,7 cdot 10^ <-8>и 2,5 cdot 10^<-9>$
У первого числа порядок больше $-8 gt -9$. Значит: $3,7 cdot 10^ <-8>> 2,5 cdot 10^<-9>$
$г) 2,1 cdot 10^ <-7>и 2,5 cdot 10^<-7>$
Порядки чисел одинаковы, мантисса второго числа больше.
Значит: $2,1 cdot 10^ <-7>lt 2,5 cdot 10^<-7>$
Пример 3. Найдите массу одной молекулы углекислого газа в граммах.
Из таблицы Менделеева находим молярную массу молекулы $CO_2$:
$$ μ(CO_2 ) = 12+2 cdot 16 = 44 (frac<г><моль>) $$
Количество молекул газа в одном моле определяется числом Авогадро:
Масса одной молекулы: $m_0 = frac<μ(CO_2 )>
Ответ: $7,3 cdot 10^<-23>$
Пример 4. Космический аппарат «Вояджер-1» находится сейчас (март 2020 г.) на расстоянии 148,56 а.е. от Земли (https://voyager.jpl.nasa.gov/mission/status/). Через сколько часов мы принимаем радиосигнал после того, как он был передан аппаратом?
1 а.е. (астрономическая единица) = 149 597 870 700 м approx 1,496 cdot 10^ <11>м
Скорость распространения радиосигнала (скорость света)
$ c = 299 792 458 frac<м> <с>approx 3 cdot 10^8 frac<м><с>$
Получаем время приёма:
$$ t = frac
Таким образом, «Вояджер-1» спустя 43 года находится от нас на расстоянии ≈ 20,6 световых часов.
Ответ: 20 ч 35 мин
Пример 5. Космический аппарат «Вояджер-1» спустя 43 года находится от Земли на расстоянии 20,6 световых часов (см. Пример 4). Сколько тысячелетий ему понадобится, чтобы с такой скоростью добраться до ближайшей звезды Проксима Центавра, которая расположена примерно в 4,244 световых года от нас?
43 года — 20,6 св.ч
x лет — 4,244 св.г
Переведём световые годы в световые часы:
$4,244 св.г = 4,244 cdot 365 cdot 24 св.ч approx 3,718 cdot 10^4 св.ч$
Очень большие и очень малые числа принято записывать в стандартном виде: a∙10 n , где 1≤а 2 ; 123456=1,23456∙10 5 ; 0,000345=3,45∙10 -4 .
Примеры.
Записать в стандартном виде число: 1) 40503; 2) 0,0023; 3) 876,1; 4) 0,0000067.
Решение.
1) 40503=4,0503·10 4 ;
2) 0,0023=2,3∙10 -3 ;
3) 876,1=8,761∙10 2 ;
4) 0,0000067=6,7∙10 -6 .
Еще примеры на стандартный вид числа.
5) Число молекул газа в 1 см 3 при 0°С и давлении 760 мм.рс.ст равно
27 000 000 000 000 000 000. Записать это число в стандартном виде.
Решение.
27 000 000 000 000 000 000=2,7∙10 19 .
6) 1 парсек (единица длины в астрономии) равен 30 800 000 000 000 км. Записать это число в стандартном виде.
Решение.
1 парсек=30 800 000 000 000=3,08∙10 13 км.
В тему:
Киловатт-час — это внесистемная единица энергии или работы, применяется в электротехнике, обозначается кВт·ч.
1 кВт·ч=3,6∙10 6 Дж (Джоулей).
u00a0u0430u00a0 * 10u00a0u043f , u0433u0434u0435 n
u043f u00a0u2013 u0446u0435u043bu043eu0435 u0447u0438u0441u043bu043e, u00a0u0447u0438u0441u043bu043eu00a0u0430u00a0 u0431u043eu043bu044cu0448u0435 u043bu0438u0431u043e u0440u0430u0432u043du043e 1, u043du043e u043cu0435u043du044cu0448u043510. n
u0420u0435u0448u0435u043du0438u0435:
27,4 = 2,74*10
0.0011 = 1.1*10 u0432 u043cu0438u043du0443u0441 3 u0441u0442u0435u043fu0435u043du0438
27,4 * 10 u0432u043e u0432u0442u043eu0440u043eu0439 u0441u0442u0435u043fu0435u043du0438 = 2,74*10 u0432 u0442u0440u0435u0442u044cu0435u0439 u0441u0442u0435u043fu0435u043du0438
0,480u00a0 *10 u0432 u043cu0438u043du0443u0441 u0432u0442u043eu0440u043eu0439 u0441u0442u0435u043fu0435u043du0438 = 4,8*10 u0432 -3 u0441u0442u0435u043fu0435u043du0438.
u00a0 «>]» data-test=»answer-box-list»>
Число в стандартном виде — это число, которое содержит только 1 знак перед запятой, т.е. его можно представить, как:
п – целое число, число а больше либо равно 1, но меньше10.
Решение:
27,4 = 2,74*10
0.0011 = 1.1*10 в минус 3 степени
27,4 * 10 во второй степени = 2,74*10 в третьей степени
0,480 *10 в минус второй степени = 4,8*10 в -3 степени.
Очень большие и очень малые числа принято записывать в стандартном виде: a∙10 n , где 1≤а 2 ; 123456=1,23456∙10 5 ; 0,000345=3,45∙10 -4 .
Примеры.
Записать в стандартном виде число: 1) 40503; 2) 0,0023; 3) 876,1; 4) 0,0000067.
Решение.
1) 40503=4,0503·10 4 ;
2) 0,0023=2,3∙10 -3 ;
3) 876,1=8,761∙10 2 ;
4) 0,0000067=6,7∙10 -6 .
Еще примеры на стандартный вид числа.
5) Число молекул газа в 1 см 3 при 0°С и давлении 760 мм.рс.ст равно
27 000 000 000 000 000 000. Записать это число в стандартном виде.
Решение.
27 000 000 000 000 000 000=2,7∙10 19 .
6) 1 парсек (единица длины в астрономии) равен 30 800 000 000 000 км. Записать это число в стандартном виде.
Решение.
1 парсек=30 800 000 000 000=3,08∙10 13 км.
В тему:
Киловатт-час — это внесистемная единица энергии или работы, применяется в электротехнике, обозначается кВт·ч.
1 кВт·ч=3,6∙10 6 Дж (Джоулей).
Стандартным видом действительного положительного числа a называется его представление в виде a = a0*10^m, где a0 — действительное число, принадлежащее промежутку [1; 10), называемое мантиссой числа, m — целое число, называемое порядком числа.
Для каждого положительного числа a существует и притом единственная пара чисел (a0; m) из указанных множеств, такая, что для него справедливо представление в стандартном виде с мантиссой a0 и порядком m. Обратно, для каждой такой пары чисел a0 и m существует и притом единственное число a с мантиссой a0 и порядком m.
Поэтому чтобы записать положительное число a в стандартном виде, нужно найти его мантиссу и порядок. В десятичном представлении числа его порядок можно определить так. Если число больше или равно 1, то порядок равен количеству цифр в числе, стоящих перед запятой, уменьшенному на 1. Если число целое (т.е., запятой нет), то её можно поставить после последней цифры числа. Если же число меньше 1, то оно имеет вид в десятичной записи: 0. (после многоточия идут цифры), то порядок числа равен количеству всех нулей, стоящих перед первой ненулевой цифрой, включая 0 перед запятой, взятому со знаком «-«. Чтобы найти мантиссу числа, нужно передвинуть запятую в нём так, чтобы она стояла сразу же после первой ненулевой цифры. Тогда модуль порядка показывает, на сколько разрядов была передвинута запятая, а знак порядка — направление переноса запятой — влево в случае положительного порядка и вправо в случае отрицательного. Видим, что порядок числа можно находить двумя способами: считая количество цифр перед запятой либо количество нулей перед первой ненулевой цифрой, либо по количеству разрядов, на которые переносится запятая для определения мантиссы (равно модулю порядка) и направлению этого переноса (показывает знак порядка).
Если количество цифр перед запятой, исключая цифру 0, равно 1, то порядок числа равен нулю, а мантисса числа совпадает с самим числом.
Пример: Записать в стандартном виде следующие числа: а) 235,61; б) 0,000689; в) 4,381. Найти их мантиссу и порядок.
Удобнее решать пример с конца, т.е. с нахождении мантиссы и порядка.
а) Число цифр перед запятой равно 3, уменьшаем это число на 1 и получаем 2 — это порядок числа. Чтобы найти мантиссу, передвинем запятой к первой цифре справа: мантисса равна 2,3561. Обратим внимание: запятую передвинули на 2 разряда влево, значит порядок числа равен +2 или просто 2.
б) Число меньше 1. Значит, порядок отрицательный. Считаем число нулей, включая 0 перед запятой, получаем 4. Значит, порядок числа равен -4. Мантиссу находим, передвигая запятую к первой ненулевой цифре справа, получаем 6,89. Запятую передвинули на 4 разряда вправо, значит порядок числа равен -4 (порядок отрицательный, поскольку перенос запятой осуществлялся вправо).
в) Число цифр перед запятой равно 1, отнимаем 1 и получаем 0 — это порядок числа. При определении мантиссы запятую передвигать не нужно, поскольку она уже стоит после первой цифры. Значит, мантисса равна 4,381, а порядок 0, поскольку переноса запятой не было.
Теперь мы можем представить все три числа в стандартном виде:
а) 235,61 = 2,3561*10^2
б) 0,000689 = 6,89*10^(-4)
в) 4,381 = 4,381*10^0
Обратим внимание, что во всех трёх случаях мантисса принадлежит промежутку [1; 10), а порядок — целое число. Кроме того, можно заметить, что саму степень десятки 10^m с целым показателем можно представить в виде 1*10^m. Здесь мантисса равна 1, а порядок m. Поэтому в промежуток мантиссы в определении записи стандартного вида положительного числа включается 1 и не включается 10. Если мы в этот промежуток включим 10, то получим, что степень десятки с целым показателем m можно записать в стандартном виде двумя разными способами: с мантиссой 1 и порядком m (1*10^m) и с мантиссой 10 и порядком m-1 (10*10^(m-1)), а это неудобно.
Указанное определение было дано для положительных чисел, поскольку сделать это удобнее именно так. Для отрицательных чисел запись числа в стандартном виде можно определить так: представить в стандартном виде модуль этого числа, а затем поставить перед мантиссой знак «-«.
Пример: представить в стандартном виде число -45426.
Решение. Модуль данного числа равен 45426. Найдём его мантиссу и порядок. Это целое число, запятой в его записи нет, поэтому условно ставим её после последней цифры: 45426, а затем переносим так, чтобы она стояла после первой цифры. Получим 4,5426. Это и есть мантисса. Запятую передвинули на 4 разряда влево, значит порядок числа равен 4. Его можно было найти и по-иному, посчитав количество цифр в данном числе (5), а потом уменьшив его на 1: 5-1 = 4.
Теперь записываем модуль заданного числа в стандартном виде и ставим перед мантиссой знак «-«. Получаем: -45426 = -4,5426*10^4. Мантисса числа равна -4,5426, а порядок равен 4. Обратим внимание, что мантисса не принадлежит промежутку [1; 10), но в этом нет противоречия, поскольку соответствующее определение, в котором участвует этот промежуток, было дано для положительных чисел, а для отрицательных оно было дано по-иному. Также заметим, что мантисса отрицательного числа принадлежит промежутку (-10; -1]. Порядок же, как и для положительного числа, принадлежит множеству целых чисел.
После того, как мы разобрали определение записи числа в стандартном виде для положительных и отрицательных чисел, осталось разобрать число 0. Считается, что 0 не имеет порядка, поскольку его нельзя представить однозначным образом в стандартном виде. Действительно, пусть 0 = a0*10^m. Для любого m степень 10^m не равна нулю, поэтому мантисса a0 равна 0. В этом случае порядок m не есть какое-то определённое число, а в качестве такового можно выбрать любое целое число. Поэтому число 0 нельзя представить в стандартном виде.
Карточка — консультант по теме «Стандартный вид числа» содержит определение, алгоритм преобразования числа в стандартный и тренировочные задания
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| standartnyy_vid_chisla_.docx | 16.84 КБ |
Предварительный просмотр:
Стандартным видом числа А называют его запись в виде
а ⋅10 k , где 1≤ a и k – целое число. Число k называется порядком числа А .
37500 = 3,75 ⋅ 10 4 ; 0,012 = 1, 2 ⋅ 10 -2 ; 7 = 7 ⋅ 10 0 .
Алгоритм записи числа в стандартном виде
1. Поставить в данном числе A запятую так, чтобы в целой части оказалась одна цифра, отличная от нуля.
2. Посчитать количество цифр, на которое сместилась запятая.
3. Определить знак порядка числа k :
если A >10 если A
- Представьте в стандартном виде число A = 1 740 000.
В числе А поставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна цифра. В результате получим 1,74. Отделив запятой 6 цифр справа, мы уменьшили число A в 10 6 раз. Поэтому А больше числа 1,74 в 10 6 раз. Отсюда:
- Представьте 0,000174 в стандартном виде.
Чтобы представить 0,000174в стандартном виде , нужно перенести запятую в числе 0,000174 на четыре знака вправо. Получим число 0,000174 от 1 до 10. Итак: 0,00047 = 1,74 ⋅ 10 -4
- Переведите 245,1 м:
245,1 м = 245,1 ⋅ 1000 мм = 245100 мм = 2,451 ⋅ 10 5 мм.
Ответ: 245100 мм или 2,451 ⋅ 10 5 мм.
245,1 м = 245,1 ⋅ 100 см = 24510 см = 2,451 ⋅ 10 4 см.
Ответ: 24510 см или 2,451 ⋅ 10 4 см.
245,1 м = 0,2451 км = 2,451 ⋅ 10 — 1 км.
Ответ: 0,2451 км или 2,451 ⋅ 10 — 1 км.
- Можно ли про следующие числа сказать, что они записаны в стандартном виде:
а) 2,3 · 10 9 ; б) 1,23 · 10 –11 ; в) 15 · 10 14 ;
г) 8 · 10 –5 ; д) 4,2 · 100 5 ; е) 5,8·10 23 ;
ж) –3 · 10 –15 ; з) 0,24 · 10 –17 ; и) 10 · 10 4 .
- Представьте в стандартном виде числа:
- Запишите в стандартном виде числа
а) масса атома кислорода
0, 000 000 000 000 000 000 000 02662 г = ;
б) толщина пленки мыльного пузыря
в) диаметр молекулы воды
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
В данной разработке содержится 7 вариантов по возрастанию уровня сложности. Каждый вариант содержит 5 заданий. Ко всем вариантам приведены ответы.
Эта карточка поможет выработать у учащихся умение решать системы уравнений с двумя переменными методом подстановки.
Карточки — консультанты для подготовки к ГИА по русскому языку.
Карточка-консультант предназначена для лучшего усвоения алгоритмов и решения задач по теме «Производная».
Этот материал адресован шестиклассникам, обучающимся по учебнику «Математика 6» Виленкина Н. Я. и др., но может быть полезен для повторения и в более старших классах.
Карточки-пятиминутки, консультанты, тренинги.
Карточка-консультант по алгебре для слабоуспевающих обучающихся 7 классов.