Рассмотрим три основных типа задач на проценты.
Нахождение процента от числа
Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.
Задача № 1569 из учебника «Виленкин 5 класс»
Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60% имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?
Найдем 60% от 500 (общее количество насосов).
500 · 0,6 = 300 насосов высшей категории качества.
Ответ: 300 насосов высшей категории качества.
Нахождение числа по его проценту
Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то, сколько процентов она составляет от числа.
Так как задачи «процент по числу» и «число по его проценту» очень похожи и часто не сразу понятно какой тип задачи перед нами, старайтесь внимательно читать текст. Если вам встречаются слова «который», «что составляет» и «который составляет», скорее всего перед вами задача «число по его проценту».
Задача № 1536 из учебника «Виленкин 5 класс»
Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23% числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?
Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге. Но мы знаем, что часть, которую прочитал ученик ( 138 страниц) составляет 23% от общего количества страниц в книге.
Так как 138 стр. — это всего лишь часть, само количество страниц, естественно, будет больше 138 . Это поможет нам при проверке.
Проверка: 600 > 138 (это означает, что 138 является частью 600 ).
Ответ: 600 (стр.) — общее количество страниц в книге.
Сколько процентов одно число составляет от другого
Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100% .
Задача № 1609 из учебника «Виленкин 5 класс»
Из 200 арбузов 16 оказались незрелыми. Сколько процентов всех арбузов составили незрелый арбузы?
О чем спрашивают? О незрелых арбузах. Значит, 16 делим на общее количество арбузов и умножаем на 100% .
Ответ: 8% — составляют незрелые арбузы от всех арбузов.
Смотри также видео «Текстовые задачи на ЕГЭ по математике».
Текстовая задача — это не только задача на движение и работу. Есть еще задания на проценты, на растворы, сплавы и смеси, на движение по окружности и нахождение средней скорости. О них мы и расскажем.
Начнем с задач на проценты. С этой темой мы уже познакомились в задаче 1. В частности, сформулировали важное правило: за мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.
Мы также вывели полезные формулы:
если величину увеличить на процентов, получим .
если величину уменьшить на процентов, получим .
если величину увеличить на процентов, а затем уменьшить на , получим .
если величину дважды увеличить на процентов, получим
если величину дважды уменьшить на процентов, получим
Воспользуемся ими для решения задач.
. В году в городском квартале проживало человек. В году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на , а в году — на по сравнению с годом. Сколько человек стало проживать в квартале в году?
По условию, в году число жителей выросло на , то есть стало равно человек.
А в году число жителей выросло на , теперь уже по сравнению с годом. Получаем, что в году в квартале стало проживать жителей.
Следующая задача предлагалась на пробном ЕГЭ по математике в декабре года. Она проста, но справились с ней немногие.
. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
На первый взгляд кажется, что в условии ошибка и цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но не будем спешить. Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили рублей. К вечеру понедельника они подорожали на и стали стоить . Теперь уже эта величина принимается за , и к вечеру вторника акции подешевели на по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу:
| в понедельник утром | в понедельник вечером | во вторник вечером |
| Стоимость акций |
По условию, акции в итоге подешевели на .
Поделим обе части уравнения на (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения.
По смыслу задачи, величина положительна.
Получаем, что .
. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через два года был продан за рублей.
Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных в начале статьи. Холодильник стоил рублей. Его цена два раза уменьшилась на , и теперь она равна
. Четыре рубашки дешевле куртки на . На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?
Пусть стоимость рубашки равна , стоимость куртки . Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет от цены куртки, то есть .
Стоимость одной рубашки — в раза меньше:
а стоимость пяти рубашек:
Получили, что пять рубашек на дороже куртки.
. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на . Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на . Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась. ») назовем «ситуация » и «ситуация ».
| муж | жена | дочь | Общий доход |
| В реальности | |||
| Ситуация | |||
| Ситуация |
Осталось записать систему уравнений.
Но что же мы видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти , и по отдельности. Правда, нам это и не нужно. Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму . Получим:
Это значит, что зарплата мужа составляет от общего дохода семьи.
Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение , упростим и получим, что
Значит, стипендия дочки составляет от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет общего дохода.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
В прошлом видеоуроке мы рассматривали решение задач на проценты с помощью пропорций. Тогда по условию задачи нам требовалось найти значение той или иной величины.
В этот раз исходное и конечное значения нам уже даны. Поэтому в задачах будет требоваться найти проценты. Точнее, на сколько процентов изменилась та или иная величина. Давайте попробуем.
Задача. Кроссовки стоили 3200 рублей. После повышения цены они стали стоить 4000 рублей. На сколько процентов была повышена цена на кроссовки?
Итак, решаем через пропорцию. Первый шаг — исходная цена была равна 3200 рублей. Следовательно, 3200 рублей — это 100%.
Кроме того, нам дана конечная цена — 4000 рублей. Это неизвестное количество процентов, поэтому обозначим его за x . Получим следующую конструкцию:
3200 — 100%
4000 — x %
Что ж, условие задачи записано. Составляем пропорцию:
Дробь слева прекрасно сокращается на 100: 3200 : 100 = 32; 4000 : 100 = 40. Кроме того, можно сократить на 4: 32 : 4 = 8; 40 : 4 = 10. Получим следующую пропорцию:
Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:
8 · x = 100 · 10;
8 x = 1000.
Это обычное линейное уравнение. Отсюда находим x :
x = 1000 : 8 = 125
Итак, мы получили итоговый процент x = 125. Но является ли число 125 решением задачи? Нет, ни в коем случае! Потому что в задачи требуется узнать, на сколько процентов была повышена цена на кроссовки.
На сколько процентов — это значит, что нам нужно найти изменение:
Получили 25% — именно настолько была повышена исходная цена. Это и является ответом: 25.
Задача B2 на проценты №2
Переходим ко второй задаче.
Задача. Рубашка стоила 1800 рублей. После снижения цены она стала стоить 1530 рублей. На сколько процентов была снижена цена на рубашку?
Переводим условие на математический язык. Исходная цена 1800 рублей — это 100%. А итоговая цена 1530 рублей — она нам известна, но неизвестно, сколько процентов она составляет от исходной величины. Поэтому обозначим ее за x . Получим следующую конструкцию:
1800 — 100%
1530 — x %
На основе полученной записи составляем пропорцию:
Давайте для упрощения дальнейших вычислений разделим обе части данного уравнения на 100. Другими словами, у числителя левой и правой дроби мы зачеркнем два нуля. Получим:
Теперь снова воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
18 · x = 1530 · 1;
18 x = 1530.
Осталось найти x :
x = 1530 : 18 = (765 · 2) : (9 · 2) = 765 : 9 = (720 + 45) : 9 = 720 : 9 + 45 : 9 = 80 + 5 = 85
Как видите, мы не стали считать полученное частное уголком, а просто несколько раз сократили нашу дробь. При этом нам потребовалось разложить на множители числитель и
Мы получили, что x = 85. Но, как и в прошлой задаче, это число само по себе не является ответом. Давайте вернемся к нашему условию. Теперь мы знаем, что новая цена, полученная после снижения, составляет 85% от старой. И для того, чтобы найти изменения, нужно из старой цены, т.е. 100%, вычесть новую цену, т.е. 85%. Получим:
Это число и будет ответом: Обратите внимание: именно 15, а ни в коем случае не 85. Вот и все! Задача решена.
Внимательные ученики наверняка спросят: почему в первой задаче мы при нахождении разности вычитали из конечного числа начальное, а во второй задаче поступили в точности до наоборот: из исходных 100% вычли конечные 85%?
Давайте проясним этот момент. Формально, в математике изменением величины всегда называется разность между конечным значением и начальным. Другими словами, во второй задаче у нас должно было получиться не 15, а −15.
Однако этот минус ни в коем случае не должен попасть в ответ, потому что он уже учтен в условии исходной задачи. Там прямо сказано о снижении цены. А снижение цены на 15% — это то же самое, что повышение цены на −15%. Именно поэтому в решении и ответе задачи достаточно написать просто 15 — без всяких минусов.
Все, надеюсь, с этим моментом мы разобрались. На этом наш сегодняшний урок закончен. До новых встреч!
Основные моменты:
(blacktriangleright) Процент – это число, равное (frac<1><100>) части от данного числа.
(blacktriangleright) Пример: (13%) от числа (N) равно:
Способ 1: (dfrac
Способ 2: (0,13N) (то есть перевести процент в так называемый “десятичный вид”: (frac<13><100>=0,13) )
(blacktriangleright) Чтобы найти, сколько процентов составляет число (A) от числа (B) , нужно найти (dfraccdot 100 %) .
(blacktriangleright) Чтобы найти, на сколько процентов число (A) больше (меньше) числа (B) , нужно найти, сколько процентов составляет число (A) от числа (B) , а затем из этого количества процентов отнять (100%) (из (100%) отнять найденное количество процентов).
Авиабилет стоит 12000 рублей. Двум пассажирам из группы в десять человек была сделана скидка в 6 (%) . Сколько в сумме отдали эти 10 пассажиров за перелёт?
Билет со скидкой стоит (12000 cdot (1 — 0,06) = 11280) рублей. Из группы в десять человек двое летели со скидкой, остальные восемь платили по 12000 рублей за билет. В сумме эти 10 пассажиров отдали (12000 cdot 8 + 11280 cdot 2 = 118560) рублей.
Артём считает ворон. Он пришёл к выводу, что в данный момент около его окна кружит (55) ворон. Известно, что Артём ошибся и на самом деле количество этих самых ворон на (20%) больше, чем насчитал Артём. Сколько ворон кружит около окна Артёма в данный момент?
На самом деле искомое количество ворон равно (55cdot (1 + 0,2) = 66) .
Аня купила 10 яблок и несколько груш, причем яблоки составляют 40 (%) от всех фруктов. Сколько груш купила Аня?
Пусть всего было (x) груш, тогда всего фруктов (10+x) . Так как яблоки составляют (40%) от всех фруктов, то получаем следующее уравнение [(10+x)cdot 0,4=10quadRightarrowquad x=15.]
Масса топлива ракеты до старта составляла 280 тонн. Через некоторое время часть топлива сгорела и масса оставшегося топлива стала 238 тонн. На сколько процентов уменьшилась масса топлива?
Сгорело (280 — 238 = 42) тонны топлива. Чтобы найти, сколько процентов от 280 составляет 42, надо разделить 42 на 280 и умножить на 100 (%) : (42 : 280 cdot 100% = 15%) .
Масса палки колбасы до того, как её заметил Артем Я., составляла 1,2 килограмма. Артем Я. кое-что сделал с колбасой, после чего масса оставшейся части палки колбасы стала 0,75 килограмма. На сколько процентов уменьшилась масса палки колбасы?
Артем Я. куда-то дел (1,2 — 0,75 = 0,45) килограмма колбасы. Чтобы найти, сколько процентов от 1,2 составляет 0,45, надо разделить 0,45 на 1,2 и умножить на 100 (%) : (0,45 : 1,2 cdot 100 % = 37,5%) .
Объем воды в графине до того, как его заметил Коля, составлял 2 литра. Коля выпил часть воды так, что оставшийся объем составил 1,3 литра. На сколько процентов уменьшился объем воды в графине?
Коля выпил (2 — 1,3 = 0,7) литра воды. Чтобы найти, сколько процентов от 2 составляет 0,7, надо разделить 0,7 на 2 и умножить на 100 (%) : (0,7 : 2 cdot 100% = 35%) .
Билет в кино стоит 500 рублей. Двум киноманам из группы в пять человек была сделана скидка в 1 (%) . Сколько в сумме отдали эти 5 киноманов за сеанс в кино?
Билет со скидкой стоит (500 cdot (1 — 0,01) = 495) рублей. Из группы в пять человек двое шли со скидкой, остальные трое платили по 500 рублей за билет. В сумме эти 5 киноманов отдали (500 cdot 3 + 495 cdot 2 = 2490) рублей.
Уметь правильно и быстро решать текстовые задачи на проценты необходимо не только учащимся, которым предстоит сдача ЕГЭ по математике базового или профильного уровня, но и всем взрослым, поскольку подобные задания постоянно встречаются в повседневной жизни. Повышение цен, планирование семейного бюджета, выгодное вложение финансовых средств и множество других вопросов невозможно уладить без данных навыков. При подготовке к сдаче аттестационного испытания обязательно нужно повторить, как решать задачи на проценты: в ЕГЭ по математике они встречаются как в базовом, так и в профильном уровне.
Необходимо запомнить
Процент — это (frac<1><100>) часть от какого-либо числа. Обозначает долю чего-либо по отношению к целому. Письменный символ — (%) . При подготовке к ЕГЭ по теме «Проценты» школьникам как в Москве, так и в других точках РФ необходимо запомнить следующую формулу:
Как ее применить?
Для того чтобы решить простое задание с процентами в ЕГЭ по математике, нужно:
- Разделить имеющееся число на (100) .
- Умножить полученное значение на то количество (%) , которое нужно найти.
Например, для того чтобы вычислить (10%) от числа (300) , нужно найти (1) процент, разделив (300:100=3) . И полученное от предыдущего действия число (3cdot10=30) . Ответ: (30).
Это простейшие задания. Учащиеся 11 класса в ЕГЭ сталкиваются с необходимостью выполнить решение сложных задач на проценты. Как правило, речь в них идет о банковских вкладах или платежах. Ознакомиться с формулами и правилами их применения вы можете, перейдя в раздел «Теоретическая справка». Здесь вы сможете не только повторить основные определения, но и познакомиться с вариантами решения сложных задач на проценты по банковскому кредиту, а также с упражнениями из других разделов алгебры, например, задачами на перевод единиц измерения, которые встречаются в ЕГЭ.
Задачи «на проценты» впервые появляются в жизни юных математиков в 5 классе и сопровождают их до выпускных экзаменов. Связанные с процентами задания есть в вариантах ЕГЭ (в частности, задание №17 профильного экзамена) и ОГЭ. Проценты неминуемо встретятся в курсах физики, химии, экономики. В конце концов, в повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с этим понятием (вспомните, например, ставки по кредитам или щедрые обещания 90%-ных скидок в магазинах).
В данной статье мы начнем с простейших определений и примеров, будем постепенно увеличивать уровень сложности и к 4-й части доберемся до достаточно трудных задач.
Проценты. Начальные сведения.
Удивительно, но многие выпускники не могут вразумительно объяснить, что такое процент . А ведь все очень просто:
Почему именно сотая? Да просто потому, что на 100 удобно делить и сотня — это не слишком много и не слишком мало (не очень строгое определение).
Пример 1 . Найти 1% от 1200, 1% от 2, 1% от 98765.
1% от 1200 — это 12, т. к. 1200:100 = 12;
1% от 2 — это 0,02, т. к. 2:100 = 0,02;
1% от 98765 = 98765:100 = 987,65.
Задание 1 . Вычислите 1% от 450, 1% от 12000, 1% от 9.
Задание 2 . Вычислите 1% от 1% от 6700.
Как найти несколько процентов от числа
Теперь предположим, что нам необходимо найти не 1% от числа, а, скажем, 12%. Как это сделать? Можно, конечно, сначала найти один процент, а потом полученный результат умножить на 12. Но зачем выполнять два действия, если можно обойтись одним? Один процент — это одна сотая, а t процентов — это t сотых. Чтобы найти, например, 12 сотых от числа, нужно число умножить на 0,12. Получаем универсальное правило:
Пример 2 . Найти 17% от 300, 86% от 20, 140% от 2, 0.1% от 4000.
17% от 300 — это 51, т. к. 300*0,17 = 51 (умножаем число на семнадцать сотых);
86% от 20 — это 17,2, т. к. 20*0,86 = 17,2 (умножаем на 86/100);
140% от 2 = 2*1,4 = 2,8 (1,4 — это просто 140/100);
0.1% от 4000 = 0.001*4000 = 4 (0.001 — это 0.1/100).
Задание 3 . Вычислите 14% от 1200, 57% от 50, 250% от 4, 0.02% от 1000000.
Пример 3 . Вычислите 18% от 80% от 1000. Правда ли, что это то же самое, что 98% от 1000?
Найдем сначала 80% от 1000: 1000*0,8 = 800.
От полученного числа ищем 18%: 800*0,18 = 144.
Найдем теперь 98% от 1000. Умножаем 1000 на 98/100 и получаем 980.
Как видим, результаты получились разными.
Задание 4 . Вычислите 120% от 40% от 350.
Как найти «проценты от процентов»
А если нам нужно вычислять длинную последовательность «процентов от процентов»? Скажем, 10% от 10% от 10% от 10% от 200. Можно, конечно, действовать последовательно и разбить задачу на 4 действия, но есть способ проще.
Пример 4 . Вычислите 20% от 30% от 40% от 10000.
Зачем выполнять несколько последовательных умножений, если все можно свести к одной строке:
0,2*0,3*0,4*10000 = 24.
Видите, как все просто! Кстати, никакие скобки в данном случае не нужны.
Задание 5 . Вычислите 50% от 50% от 40% от 2000.
Задание 6 . В первую неделю января выпало 40% месячной нормы снега (90 мм), причем 90% этого количества пришлось на среду, причем в первой половине этого дня выпало 70% осадков. Сколько мм снега выпало в первой половине дня в среду?
Итак, подведем некоторые итоги:
- Процент — это сотая часть числа.
- Для вычисления 1% следует разделить число на 100 (или умножить на 0,01).
- Чтобы найти t% от числа, нужно умножить число на t сотых.
Небольшой тест на тему «Проценты»
Потратьте пару минут, пройдите небольшой тест по теме «Проценты». В ответе указывайте целое число или десятичную дробь. В качестве разделителя десятичных разрядов всегда используйте запятую (например, 1,2, но не 1.2!) Успехов!
Процент — одна сотая часть величины или числа. Обозначается символом «%».
| 1% | = | 1 | = | 0.01 |
| 100 |
Соотношения между десятичными дробями и процентами
- Для преобразования десятичной дроби в проценты, ее необходимо умножить на 100.
Например: 4 = 400%; 0.4 = 40%; 0.04 = 4%; 0.004 = 0.4%. - Для преобразования процентов в десятичную дробь необходимо число процентов разделить на 100.
Например: 500% = 5; 50% = 0.5; 5% = 0.05; 0.5% = 0.005.
Наиболее распространенные типы задач на проценты
- Найти указанный процент от заданного числа.
- Найти число по заданному другому числу и его величине в процентах от искомого числа.
- Найти процентное выражение одного числа от другого.
- Найти число на заданный процент большее (меньшее) исходного числа.
- Найти число, зная значение числа большего (меньшего) от исходного на заданный процент.
- Найти сложные проценты.
Метод решения задач с процентами
Все соотношения и формулы, полученные для решения задач с процентами, выводятся из пропорции
Данные задачи на проценты можно записать в виде следующих соотношений:
все — 100% часть — часть в %
которые можно записать в виде пропорции
| все | = | 100% |
| часть | часть в % |
Используя эту пропорцию можно получить формулы для решения основных типов задач на проценты.
Для дошкольников и учеников 1-11 классов
Рекордно низкий оргвзнос 25 Р.
Статья на тему: «Как решать задачи на проценты».
Киселева Наталья Николаевна
Учитель высшей категории
Решение задач на проценты является неотъемлемой частью школьного курса математики. Знакомство с процентами происходит в 5 классе. В 6 классе рассматриваются различные способы и приемы их решения. В 7,8,9 классах на их решения отводится очень мало времени. Эти задачи встречаются единичным образом в разделе «повторение». Однако, в ОГЭ они встречаются в задачах №7, №22. В ЕГЭ – это задача №1, №11. Решение этих задач не представляет трудности , если обучающийся знает основные подходы к решению задач на проценты. Ученики должны знать следующее:
Чтобы найти 7% от х , необходимо процент перевести в части (7%=0,07), а затем 0.07 умножить на х. Имеем : 7% от х, т.е. 0.07х.
Твердое вещество всегда остается постоянной величиной, испаряется только вода, поэтому необходимо следить за твердым веществом.
За 100% берем величину, с которой сравниваем (надо прочитать условие , поставив в конце предложения слово «чем»), тем самым мы определяем , с чем сравниваем(это и будет 100%) .
Чтобы узнать, сколько процентов составляет х от у, надо найти , какую часть составляет х от у, т.е. х/у, а затем часть перевести в проценты, умножив ее на 100.
Рассмотрим, как решить задачи на проценты:
Товар подорожал на 10%, а затем подешевел на 10%. Какова стала цена товара по сравнению с первоначальной?
Сравним первоначальную стоимость товара с конечной стоимостью:
Видим, что товар подешевел на 1%.
Ответ : цена товара уменьшилась на 1%.
Следующая задача имеет неожиданный для детей ответ, поэтому запоминается надолго.
На склад привезли 1 тонну огурцов. За время хранения огурцы потеряли 1% влаги. Сколько огурцов стало, если первоначально содержание воды в огурцах было 99%.