Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны друг другу. Высотой трапеции называют линию, перпендикулярную основаниями, для удобства ее часто проводят из тупого угла трапеции на большее основание. Средняя линия трапеции – это линия, которая параллельна основаниям, и разделяет боковые стороны ровно пополам. Среднюю линию трапеции можно найти средним арифметическим оснований – сложив их и разделив на два.
Площадь трапеции в самом простом виде – это произведение средней линии на высоту, или если раскрыть формулу средней линии, то произведение полусуммы оснований на высоту.
Доказательством этой формулы будет служить представление площади трапеции, как суммы площадей двух треугольников полученных при проведении диагонали.
Площади этих треугольников будут равны соответственно и (для того, чтобы нарисовать высоту во втором треугольнике, необходимо будет продлить основание b ). Площадь трапеции будет равна сумме полученных выражений, где мы вынесем высоту за скобку, и получим искомую формулу:
Вывести формулу, для того чтобы вычислить площадь трапеции через стороны, можно с помощью метода подстановки.
Проведя две высоты в трапеции, получаем по бокам прямоугольные треугольники с известными гипотенузами и неизвестными катетами x и y . Таким образом x+y=d-b , y=d-b-x .
Одинаковый катет у обоих треугольников – высота, которую мы ищем. Через теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках выражаем высоту и . Приравнивая, получаем a 2 -x 2 =c 2 -y 2 или x 2 -y 2 =a 2 -c 2 .
x 2 -(d-b-x) 2 =a 2 -c 2 — Подставляем вместо х полученное выше выражение d-b-y .
x 2 -d 2 +bd+dx-b 2 +bd-bx-x 2 +dx-bx=a 2 -c 2 — Раскрываем скобки.
x 2 -d 2 +2bd+2dx-b 2 -2bx-x 2 =a 2 -c 2 — Приводим подобные слагаемые.
2dx-2bx=a 2 -c 2 +d 2 +b 2 -2bd — Переносим все вправо, оставляя слева только y .
2x(d-b)=a 2 -c 2 +(d-b) 2 — Выносим общие множители.
Подставляем обратно y в формулу высоты .
Формула площади трапеции через стороны будет выглядеть так:
Площадь трапеции через диагонали и угол между ними считается условным делением трапеции на четыре треугольника, точно также как и площадь любого произвольного четырехугольника.
Площадь равнобедренной трапеции можно найти еще одним способом, если даны угол при основании и радиус вписанной окружности. Дело в том, что центр вписанной окружности, откуда берет свое начало радиус, находится точно в центре трапеции, таким образом, приравнивая высоту и диаметр окружности (либо удвоенный радиус). Также одно из свойств трапеции, описанной вокруг окружности – это равенство суммы оснований и суммы боковых сторон, значит, мы сможем найти среднюю линию, зная боковые стороны. Проведя высоту, из прямоугольного треугольника получаем боковую сторону и среднюю линию
Тогда площадь трапеции равна
- Что такое площадь трапеции
- Способы нахождения площади
- Формулы для вычисления площади равнобедренной и неправильной трапеций
- По длине оснований и высоте
- Через длины всех сторон (Формула Герона)
- Через диагонали и угол между ними
- Через радиус вписанной окружности
- Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
- Примеры решения задач
Что такое площадь трапеции
Трапеция — четырехугольник, две стороны которого, называемые основаниями, параллельны друг другу, а две другие стороны — нет.
Вычисление площади трапеции входит в раздел геометрии, который называется планиметрия и занимается фигурами на плоскости.
Площадь трапеции, как и любой другой геометрической фигуры — это часть плоскости, ограниченная периметром и измеряемая в квадратных единицах.
В формулах основания обозначаются буквами a и b, боковые стороны — с и d.
Способы нахождения площади
Существует более двадцати способов вычисления площади трапеции. Выбор способа расчета зависит от известных данных, которые можно подставить в формулу, и от типа самой трапеции: она может быть равнобедренной (равнобокой) или прямоугольной, тогда задача упростится.
Например, если трапеция равнобедренная, вычислить длину ее сторон можно, разбив ее на прямоугольник и два прямоугольных треугольника.
Если трапеция прямоугольная, легко запомнить соотношение ее сторон, пользуясь формулами для усеченного конуса, который образуется при ее вращении вокруг ее боковой стороны, находящейся под прямым углом к основаниям:
Стороны такой трапеции, наглядно видные на схеме, связаны следующим соотношением:
Но большинство формул подходит и для разносторонних трапеций. Если задача практическая и трапеция имеет материальную форму, основания, боковые стороны, высоту и диагонали легко измерить с помощью линейки.
Формулы для вычисления площади равнобедренной и неправильной трапеций
По длине оснований и высоте
Площадь трапеции равна произведению половины суммы оснований на высоту:
Через длины всех сторон (Формула Герона)
Чтобы посчитать площадь через длины сторон, можно воспользоваться следующей формулой:
Существует более простая формула, известная, как формула Герона. Для облегчения ее запоминания вводится р, полусумма всех четырех сторон:
Через диагонали и угол между ними
(S = frac<1><2>times d_ <1>times d_ <2>times sinalpha.)
Здесь (d_<1>) и (d_<2>) — диагонали, а (alpha) — угол, образованный ими.
Через радиус вписанной окружности
Вписать окружность в трапецию можно только тогда, когда сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.
Площадь любой трапеции можно найти через радиус вписанной окружности, зная длину оснований:
(S = (a + b) times r.)
Площадь равнобокой трапеции также можно найти через круг, вписанный в нее. Для этого нужно знать радиус этого круга, а также угол (alpha) при основании.
Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
Такой способ нахождения площади подходит только для равнобоких трапеций. В этой формуле средняя линия обозначается буквой m, боковая сторона — буквой с, а угол при основании — (alpha) . Зная длину средней линии и боковой стороны, достаточно найти синус угла и умножить эти значения друг на друга:
(S = m times c times sinalpha.)
Примеры решения задач
Найти площадь трапеции, размер одной диагонали которой равен 6 см, второй — 9 см, а угол между ними — (30^circ.)
Подставим известные данные в формулу:
(S = frac<1><2>times d_ <1>times d_ <2>times sinalpha)
Получим: (S = frac<1><2>times 6 times 9 times sin30^circ = 13,5. )
Параллельные стороны плоской геометрической фигуры равны 9 и 5 см. Расстояние между ними — 7 см. Найти площадь фигуры.
Подставим известные данные в формулу:
(S = frac<1> <2>(a+b) times h)
(S = frac<1> <2>(9+5) times 7 = 49.)
Найти площадь трапеции, если известны длины непараллельных сторон — 13 и 15 см, а также разность длин оснований — 14 см. В трапецию вписана окружность.
Одно из основных свойств трапеции — в нее можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон. Следовательно, если представить две проведенные высоты, как на рисунке, АК + МD = АD — BC = 14.
Поскольку углы К и М являются прямыми, воспользуемся теоремой Пифагора:
(AB^ <2>= AK^ <2>+ BK^<2>.)
(BK^ <2>= AB^ <2>— AK^<2>.)
(CD^ <2>= CM^ <2>+ MD^<2>.)
(CM^ <2>= CD^ <2>— MD^<2>.)
(BK = CM.)
(AB^ <2>— AK^ <2>= CD^ <2>— MD^<2>.)
Подставим числовые значения:
(13^ <2>— (14 — MD)^ <2>= 15^ <2>— MD^<2>.)
MD = 9 см.
(CM^ <2>= CD^ <2>— MD^<2>.)
Теперь, вычислив высоту, мы можем воспользоваться формулой:
(S = frac<1> <2>(a+b) times h)
Подставим в нее известные значения, получив:
1. Формула площади трапеции через основания и высоту
a — нижнее основание
b — верхнее основание
m — средняя линия
h — высота трапеции
Формула площади трапеции, ( S ):
2. Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними
α , β — углы между диагоналями
Формула площади трапеции, ( S ):
3. Формула площади трапеции через четыре стороны
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c , d — боковые стороны
Формула площади трапеции, ( S ):
Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти площадь трапеции.
Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления площади трапеции, вы получите детальное пошаговое решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения таких задач и закрепить пройденный материал.
Найти площадь трапеции
Выберите известные величины:
Ввод данных в калькулятор для вычисления площади трапеции
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби 3, 0.4, 5/7. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Если у вас возникли трудности с преобразованием единиц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины и конвертером единиц площади.
Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади трапеции
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши и на клавиатуре.
Теория. Площадь трапеции
Формула для вычисления площади трапеции:
| S = | ( a + b ) · h |
| 2 |
где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
h — длина высоты трапеции.
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Трапеция — геометрическая фигура, две противоположных стороны которой параллельны, а две других не параллельны. На рисунке трапеция изображается таким способом, чтобы параллельными оказались нижняя и верхняя стороны, которые получили название «основания». Верхняя сторона короче нижней. Такой рисунок используется для наглядности, так легче понять, как выполнять дополнительные построения, необходимые для решения задач.
Боковые стороны могут быть расположены под произвольными углами к основаниям. Если одна из сторон перпендикулярна основанию, то трапецию называют прямоугольной. При равных боковых сторонах — равнобедренной.
Для решения задачи нахождения площади трапеции необходимо использовать ряд линий, так или иначе характеризующих трапецию. Это высота, диагональ и средняя линия.
Высота — перпендикулярный отрезок, соединяющий верхнее и нижнее основание. На рисунках принято проводить перпендикуляр из вершины угла, чтобы не загромождать схему. Но на практике высоту можно опускать с любой точки верхнего основания.
Диагональ — отрезок, соединяющий противоположные вершины трапеции. У каждой трапеции две диагонали, разбивающие фигуру на два равных треугольника.
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Длина линии равна половине суммы длин оснований.
Вторая средняя линия — отрезок, соединяющий середины оснований. У равнобедренной трапеции совпадает с высотой.
Названные линии используются при вычислении площади трапеции. Это одна из геометрических фигур, площадь которой можно найти разными способами. Почему нужно знать все формулы, как найти площадь трапеции? В условиях задач часто приведена только часть данных о фигуре, например, углы и диагонали, длина сторон, средняя линия и высота и т.д.
Для каждого, или почти каждого случая найдены готовые формулы, в которые остается только подставить числовые данные, чтобы найти площадь произвольной трапеции. Рассмотрим самые распространенные случаи.
Самый простой способ вычисления площади — по длине оснований и высоте. Зная эти величины, используем формулу S = 1/2(a + b)*h. Сначала найдем сумму длин оснований, затем разделим на два и умножим на высоту. Именно такой порядок действий даст желаемый результат. На практике, когда, например, нужно найти площадь трапециевидного земельного участка, используется чаще всего именно эта формула. Измерить длину оснований не сложно, как и высоту фигуры.
Вторая задача — как узнать площадь трапеции через длину средней линии. Вспомним, что длина этой линии равна половине суммы оснований. Фактически получаем ту же формулу, что и в предыдущем случае, только записываем ее по-другому S=mh, где m – длина средней линии.
Третья задача — как найти площадь трапеции через диагонали. Кроме длины диагоналей нужен еще и хотя бы один из углов между ними. Для определения площади достаточно умножить длины диагоналей между собой и затем на синус любого угла между ними. Эта задача не сложнее предыдущих, зная угол в градусах, найти синус можно по специальным таблицам.
Четвертая задача — как найти площадь трапеции, зная все стороны. Здесь все несколько труднее. Необходимо произвести ряд вычислений, не отличающихся большой сложностью, но занимающих некоторое время. Распишем процесс вычисления по алгоритму:
- Отнять длину меньшего основания от большего;
- Найти квадрат результата;
- Найти квадраты длин боковых сторон;
- Прибавить к квадрату разницы оснований квадрат одной стороны и отнять квадрат другой;
- Разделить полученное число на удвоенный результат первого действия;
- Найдите квадратный корень полученного числа;
- Умножьте корень на ½ суммы оснований.
Все выглядит достаточно громоздко, но если воспользоваться готовой формулой, то не так и страшно.
Для равнобедренной трапеции формула упрощается:
Пятая задача — формула Герона для трапеции. S = (a + b)/4|a — b| · √(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d). Здесь тоже задействовано все четыре стороны и Р – полупериметр. Наиболее распространенная ошибка, когда вместо полупериметра, то есть суммы длин сторон разделенной на 2, используют периметр.
Шестая задача — площадь трапеции через синус угла. Для решения этой задачи нужно знать длину оснований и синусы углов при нижнем основании. Формула выглядит так: S=2(b2−a2)⋅sin(α+β)sin(α)⋅sin(β). Для ее использование необходимы первичные знания по тригонометрии.
Седьмая задача — найти площадь трапеции, зная радиус вписанной окружности и длину оснований. Формула не представляет сложности S=r⋅(a+b)=1/2√a⋅b⋅(a+b), важно только не перепутать порядок действий.
Формул для трапеции значительно больше, но владея теми, которые названы выше, вы справитесь с любой задачей.
Скачать, сохранить результат
Выберите способ сохранения
Информация
В нашей жизни такая отрасль, как строительство, является одной из важнейших. Это связанно с тем, что именно строительство позволяет нам жить в комфортных условиях, когда тепло, сухо и тихо. Однако, строительство также является невероятно ответственной сферой деятельности. Это целый процесс, состоящий из проектирования, расчетов, технических работ и многих других нюансов. Специалисты, осуществляющие все работы (механические и теоретические) в процессе строительства, несут большую ответственность за жизни тех людей, которые в дальнейшем будут эксплуатировать здание.
Поэтому они обязаны внимательно проводить расчеты различных значений показателей, одним и которых является формула площади трапеции. Данная формула является одной из многих формул, которые обязаны знать специалисты определенных отраслей. Также стоит учитывать существующее разнообразие трапеций: прямоугольные, равнобедренные и произвольные. Всю подобную информацию обязаны учитывать сотрудники многих отраслей и знать, как найти площадь трапеции.
Онлайн калькулятор расчёта площади трапеции
Мы разработали калькулятор, который существенно упрощает работу людям как в сфере строительства, так и в многих других сферах деятельности. Наш калькулятор поможет просчитать площадь прямоугольной трапеции в кротчайшие сроки и избегая вероятности допущения какой-либо ошибки при расчетах. Помимо прямоугольной трапеции, калькулятор может рассчитать площадь равнобедренной трапеции, также просто. Для этого Вам нужно просто ввести исходные данные, которые запрашивает калькулятор.
Наш калькулятор запрограммирован таким образом, что он не только рассчитывает площадь любого вида трапеции, и сообщает чему она ровна, в одно мгновение, но и демонстрирует формулы расчета, а также дает Вам возможность выбрать по какой формуле рассчитать площадь трапеции.
Наш калькулятор онлайн дает большое количество преимуществ:
- Возможность расчета площади трапеции через любую формулу;
- Сэкономить много времени, благодаря отсутствию необходимости самостоятельного расчета;
- Исключить допущение ошибок при расчетах, поскольку программа не попадает под влияние человеческого фактора.
Таким образом, калькулятор онлайн является эффективным инструментом как для строителя, так и любого другого человека, который столкнулся с необходимостью расчета какого-либо показателя.
На данной странице вы можете ознакомиться со всеми формулами для нахождения площади трапеции, как обычной, так и равнобедренной или неправильной. Также здесь есть несколько примеров решения задач по данным формулам, что удобно для нахождения своих ошибок и недочетов. Для экономии времени воспользуйтесь соответствующим онлайн-калькулятором.
Площадь трапеции по высоте и двум основаниям
Формула нахождения площади трапеции по высоте и двум основаниям:
$S$ — площадь трапеции, где
$a$ — малое основание трапеции,
$b$ — большее основание трапеции,
$h$ — высота трапеции.
Площадь трапеции по высоте и средней линии
Формула нахождения площади трапеции по высоте и средней линии:
$S = m cdot h$, где
$S$ — площадь трапеции,
$m$ — средняя линия,
$h$ — высота трапеции.
Дано: высота $h = 7$ см, средняя линия $m = 8$ см.
Найти: площадь трапеции $S$.
Решение:
$S = 8 cdot 7 = 56$
Готовые работы на аналогичную тему
- Курсовая работа Площадь трапеции 400 руб.
- Реферат Площадь трапеции 280 руб.
- Контрольная работа Площадь трапеции 200 руб.
Площадь трапеции по четырём сторонам
Формула нахождения площади трапеции по четырём сторонам выглядит следующим образом:
$S$ — площадь трапеции,
$a$ — малое основание,
$b$ — большее основание,
$c, d$ — боковые стороны.
Площадь трапеции по диагонали и углу между диагоналями
Формула нахождения площади трапеции по диагонали и углу между диагоналями:
$S =frac12 cdot d1 cdot d2 cdot sin (α)$, где
$S$ — площадь трапеции,
$d1$ — первая диагональ,
$d2$ — вторая диагональ,
$α$ — угол между диагоналями.
Площадь трапеции через ее основание и углы
Формула нахождения площади трапеции через ее основание и углы при основании:
$S$ — площадь трапеции,
$b$ — большее основание,
$g$ — малое основание,
$α$ — первый угол при основании,
$γ$ — второй угол при основании.
Площадь равнобедренной трапеции через стороны
Формула нахождения площади равнобедренной трапеции через ее стороны:
$S$ — площадь трапеции,
$AB$ — малое основание,
$CD$ — большее основание,
$AC = DB$ — боковая сторона.
Площадь равнобедренной трапеции через малое основание
Формула нахождения площади равнобедренной трапеции через малое основание, боковую сторону и угол при большем основании
$S = c cdot sin (α) cdot (a + c cdot cos (α))$, где
$S$ — площадь трапеции,
$a$ — малое основание,
$c$ — боковая сторона
Площадь равнобедренной трапеции через большее основание, боковую сторону и угол
$S = c cdot sin (α) cdot (b — c cdot cos (α))$, где
$S$ — площадь трапеции,
$α$ — угол при большем основании,
$c$ — боковая сторона,
$b$ — большее основание.
Площадь равнобедренной трапеции через основания и угол при основании
Формула нахождения площади равнобедренной трапеции через основания и угол при основании:
$S$ — площадь трапеции,
$b$ — большее основание,
$a$ — малое основание,
$α$ — угол при основании.
Площадь равнобедренной трапеции через диагонали и угол между диагоналями
Формула нахождения площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между диагоналями:
$S = frac12 cdot D^2 cdot sin (α)$, где
$S$ — площадь трапеции,
$D$ — диагональ трапеции,
$α$ — угол между диагоналями.
Площадь равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
Формула нахождения площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:
$S = m cdot c cdot sin (α)$, где
$S$ — площадь трапеции,
$m$ — средняя линия трапеции,
$c$ — боковая сторона,
$α$ — угол при основании.
Чтобы проверить правильность своего решения и ответа или найти какие-либо ошибки в действиях необходимо решить пример данной задачи. Для наглядности выполним пример задачи на нахождение равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании.
Дано: средняя линия $m = 8$ см, боковая сторона $c = 10$ см, угол при основании $α = 30°$.
Найти: площадь трапеции $S$.
Решение:
$S = 8 cdot 10 cdot sin (30) = 80 cdot frac12 = 40$ см$^2$.