Как решать уравнения с корнем ~ Инструкции на все случаи жизни

Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее переменную (x) под знаком корня любой степени.

Стандартное иррациональное уравнение:

(blacktriangleright) Если (n) – четное, то данное уравнение имеет решения только при (g(x)geqslant 0) и (f(x)geqslant 0) ввиду определения корня четной степени. Значит:

(условие (f(x)geqslant 0) автоматически выполняется в данной системе)

(blacktriangleright) Если (n) – нечетное, то данное уравнение имеет решения при любых (f(x)) и (g(x)) . Значит:

Найдите корень уравнения (sqrt = 6) .

ОДЗ: (x geq -12) . Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: (x + 12 = 36) , что равносильно (x = 24) .

Подставим в исходное уравнение: (sqrt <24 + 12>= 6) – верное равенство, таким образом, ответ (x = 24) .

Найдите корень уравнения (sqrt <4x + 5>= 6) .

ОДЗ: (4x + 5 geq 0) , что равносильно (x geq -1,25) . Решим на ОДЗ:

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: (4x + 5 = 36) , что равносильно (x = 7,75) .

Подставим в исходное уравнение: (sqrt <4 cdot 7,75 + 5>= 6) – верное равенство, таким образом, ответ (x = 7,75) .

Найдите корень уравнения (sqrt <6 - x>= 3) .

ОДЗ: (6 — x geq 0) , что равносильно (x leq 6) . Решим на ОДЗ:

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: (6 — x = 9) , что равносильно (x = -3) .

Подставим в исходное уравнение: (sqrt <6 - (-3)>= 9) – верное равенство, таким образом, ответ (x = -3) .

Найдите корень уравнения (sqrt<5>> = dfrac<2><5>) .

ОДЗ: (dfrac<2x - 9> <5>geq 0) , что равносильно (x geq 4,5) . Решим на ОДЗ:

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: [dfrac<2x - 9> <5>= dfrac<4><25>qquadLeftrightarrowqquad 2x — 9 = dfrac<4><5>qquadLeftrightarrowqquad x = 4,9.] Подставим в исходное уравнение: [sqrt<5>> = dfrac<2><5>] – верное равенство, таким образом, ответ (x = 4,9) .

Найдите корень уравнения (sqrt<10>> = dfrac<4><25>) .

ОДЗ: (dfrac<13 - 2x> <10>geq 0) , что равносильно (x leq 6,5) . Решим на ОДЗ:

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: [dfrac<13 - 2x> <10>= dfrac<16><625>qquadLeftrightarrowqquad 13 — 2x = dfrac<256><1000>qquadLeftrightarrowqquad x = 6,372.] Подставим в исходное уравнение: [sqrt<10>> = dfrac<4><25>] – верное равенство, таким образом, ответ (x = 6,372) .

Найдите корень уравнения [sqrt<2x+31>=9]

ОДЗ уравнения: (2x+31geqslant 0) . Так как правая часть уравнения неотрицательна, то данное уравнение имеет решения и преобразуется в: [2x+31=81quadRightarrowquad x=25] Данный корень подходит под ОДЗ.

ОДЗ: (dfrac <6>geq 0) , что равносильно (x geq -23) . Решим на ОДЗ:

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: [dfrac <6>= dfrac<25><3>qquadLeftrightarrowqquad x + 23 = 50qquadLeftrightarrowqquad x = 27.] Подставим в исходное уравнение: [sqrt<6>> = dfrac<5>>] – верное равенство, таким образом, ответ (x = 27) .

При подготовке к ЕГЭ по математике у многих выпускников вызывает трудности решение иррациональных уравнений и неравенств. Вывод переменных из-под знака корня и возведение в степени часто сопровождаются ошибками в вычислениях, поэтому стоит обратить внимание на подобные задания. Мы предлагаем школьникам изучить теоретические материалы, рассмотреть типовые примеры с решениями иррациональных уравнений. Также ученики могут попробовать свои силы в выполнении более сложных задач с неизвестными.

Подготовка к ЕГЭ по математике со «Школково» — залог успеха!

Чтобы легко решать иррациональные уравнения со знаком корня, советуем регулярно заниматься на нашем портале. С помощью «Школково» вы сможете получить всю необходимую теоретическую информацию по теме, а также попрактиковаться в решении типовых задач, которые обязательно будут включены в итоговое тестирование.

Наши преподаватели собрали все полезные материалы, систематизировали и изложили их таким образом, чтобы школьникам было проще вспомнить и усвоить информацию даже по сложным темам. База постоянно обновляется и дополняется новыми упражнениями, поэтому выпускники будут получать и решать задания без повторений.

Мы предлагаем начать с легких уравнений и постепенно переходить к более сложным. Так ученикам проще определить свои слабые стороны и сделать упор на те темы, которые даются сложнее всего.

Если простые примеры не вызывают трудностей, пропускайте несколько упражнений и переходите к уравнениям профильного уровня. При необходимости повторите правила и вернитесь к заданию.

Обратите внимание, что занятия на нашем портале доступны не только старшеклассникам из Москвы, но и учащимся из других городов России.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Довольно часто в уравнениях встречается знак корня и многие ошибочно считают, что такие уравнения сложные в решении. Для таких уравнений в математике существует специальный термин, которым и именуют уравнения с корнем — иррациональные уравнения.

Главным отличием в решении уравнений с корнем от других уравнений, например, квадратных, логарифмических, линейных, является то, что они не имеют стандартного алгоритма решения. Поэтому чтобы решить иррациональное уравнение необходимо проанализировать исходные данные и выбрать более подходящий вариант решения.

В большинстве случаев для решения данного рода уравнений используют метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Допустим, дано следующее уравнение:

Возводим обе части уравнения в квадрат:

[sqrt<(5х-16))>^2 =(x-2)^2], откуда последовательно получаем:

Получив квадратное уравнение, находим его корни:

Если выполнить подстановку данных значений в уравнение, то получим верное равенство, что говорит о правильности полученных данных.

Где можно решить уравнение с корнями онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Таблица основных тождеств для квадратных корней

$$ (sqrt a)^2=a, quad a ge 0 $$

$$ sqrt = |a|, quad a in Bbb R $$

$$ sqrt = |a^k |, quad a in Bbb R, k in Bbb N $$

$$sqrt = sqrt a cdot sqrt b cdot sqrt c …, quad a ge 0, b ge 0, c ge 0, …$$

$$ sqrt a cdot sqrt b cdot sqrt c … = sqrt, quad a ge 0, b ge 0, c ge 0, …$$

Алгоритм решения уравнений с квадратным корнем

Решаем уравнение вида $ sqrt = c, a neq 0$

Шаг 1. Если $c ge 0$, возвести в квадрат левую и правую части.

Если $c lt 0$, решений нет, $x in varnothing$, перейти на шаг 3.

Шаг 2. $ax+b = c^2 Rightarrow x = frac $

Шаг 3. Конец работы.

Примеры

Пример 1. Вычислите:

д)$$ sqrt <250>cdot sqrt <90>= sqrt <25 cdot 10 cdot 9 cdot 10>= sqrt <25>cdot sqrt <9>9 cdot sqrt <10^2>= 5 cdot 3 cdot 10 = 150 $$

е)$$ sqrt <33>cdot sqrt <21>cdot sqrt <77>= sqrt <3 cdot 11 cdot 3 cdot 7 cdot 7 cdot 11>= sqrt <3^2>cdot sqrt <7^2>cdot sqrt <11^2>= 3 cdot 7 cdot 11 = 231 $$

Пример 2. Найдите значение выражения, если x = 1,14:

Пример 3. Решите уравнение:

$ (sqrt)^2 = 5^2 Rightarrow x-3 = 25 Rightarrow x = 28 $

$sqrt <5+x>= -1 lt 0$ – значение квадратного корня не может быть отрицательным $x in varnothing$, решений нет

$ ( sqrt)^2 = 4^2 Rightarrow x^2+7 = 16 Rightarrow x^2 = 9 Rightarrow x_1,2 = pm 3 $

$ (sqrt+1>)^2 = 3^2 Rightarrow sqrt+1 = 9 Rightarrow sqrt = 8 Rightarrow x+7 = 64 Rightarrow x = 57 $

Пример 4*. Сократите дробь:

Пример 5. В Древнем Вавилоне уже умели находить не только квадратные корни в натуральных числах, но и вывели формулу для приблизительных вычислений.

Если число можно представить в виде $k = a^2 pm b$, где $a^2$ – ближайший к a по значению квадрат натурального числа, b — «остаток», то

$$ sqrt = sqrt approx a pm frac <2a>$$

$ sqrt <65>= sqrt <8^2+1>approx 8+ frac<1> <2 cdot 8>approx 8,06 $

$ sqrt <65>= sqrt <8^2-1>approx 8 — frac<1> <2 cdot 8>approx 7,94 $

Найдите с точностью до сотых квадратные корни из следующих чисел:

$ sqrt <125>= sqrt <121+4>= sqrt <11^2+4>approx 11+ frac<4> <2 cdot 11>approx 11,18 $

$ sqrt <138>= sqrt <144-6>= sqrt <12^2-6>approx 12 — frac<6> <2 cdot 12>approx 11,75 $

$ sqrt <83>= sqrt <81+2>= sqrt <9^2+2>approx 9 + frac<2> <2 cdot 9>approx 9,11 $

$ sqrt <175>= sqrt <169+6>= sqrt <13^2+6>approx 13 + frac<6> <2 cdot 13>approx 13,23 $

Как решить уравнение, где есть корни поэтапно?

Какой принцип решения уравнений с корнями?

Для наглядности вот такие уравнения

Главное при решении уравнений с корнями следить за ОДЗ, а также не забывать, что из подкоренного выражения извлекается только арифметический корень,

т.е. √(любое выражение)>=0. (Для краткости вместо откуда или из чего следует, буду применять символ ==>. Не путайте со знаком равно или больше =>).

№ 475.

Первым делом нужно отследить, чтобы под корнями были неотрицательные выражения. Поскольку есть выражение √(х-3), то должно быть х-3>=0, ==> х>=3.

Далее, должно быть 7-√(х-3)>=0, ==> 7>=√(х-3), ==> х-3 х =0; ==> 1>=3х; х =0 ==> х>=-3. Итак, ОДЗ -3 =0; ==> 2х>=7 ==> х>=3,5;

х-21>=0; ==> х>=21; Итак, ОДЗ х>=21.

Решаем. Возводим в квадрат:

x(1)=16, x(2)=28. В ОДЗ входит только х=28.

№ 478.

ОДЗ 4-х>=0 ==> x =0 ==> x>=-5; Итак ОДЗ: -5 ))+(5+х)=9;

Сразу получаем: х(1)=4, х(2)=-5. Оба корня входят в ОДЗ и являются решениями уравнения.

№ 479.

Для ОДЗ сразу 3 условия: (2x+1)>=0 ==> x>=-1/2, x>=0, (x-3)>=0 ==> x>=3. Итак ОДЗ x>=3.

Возводим в квадрат:

Ещё раз возводим в квадрат:

D=24^2+4*7*16*=576+4 48=1024, x(1)=(24-32)/14=-8/1 4=-4/7, x(2)=(24+32)/14=4.

В ОДЗ входит только х=4.

№ 480.

ОДЗ: Вычисление ОДЗ здесь достаточно сложно, оставим это на потом (если потребуется).

Решаем: возводим в квадрат

Один корень х=0. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что он подходит. Проверим, есть ли ещё корни.

x=5. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что он подходит.

№ 481.

Возводим в квадрат:

Чтобы проще было писать, обозначим свободный член буквой a.

Возводим в квадрат:

Ещё раз возводим в квадрат:

Подставляя обратно вместо а его значение (2-√10), получим, что х=7. Это единственный корень, и непосредственной подстановкой убеждаемся, что он подходит.

Иррациональными называются уравнения, содержащие знак корня – квадратного, кубического или n-ной степени.

Мы помним из школьной программы: как только в уравнении или неравенстве встретились корни, дроби или логарифмы – пора вспомнить про область допустимых значений (ОДЗ) уравнения или неравенства.

По определению, ОДЗ уравнения (или неравенства) – это пересечение областей определения всех функций, входящих в уравнение или неравенство,

Например, в уравнении присутствует арифметический квадратный корень . Он определен
при .

В 2018-2019 году среди учителей появилось такое мнение, что писать слова «область допустимых значений» уже не модно. И что за это даже могут снизить оценку на экзамене.

Нет, оценку не снизят. И основных понятий школьной математики никто не отменял. Однако есть еще лучший способ оформления решения – в виде цепочки равносильных переходов. Смотрите, как решать и оформлять иррациональные уравнения:

1.Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень – величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Повторим, что решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Если вы не очень хорошо понимаете, что такое система уравнений и совокупность уравнений, — повторите эту тему.

В ответ запишем меньший из корней: — 9.

Теперь уравнение, в котором есть ловушка.

2.Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Что получилось у вас? Правильный ответ: . Если у вас получилось – это был посторонний корень. Запишите решение в виде цепочки равносильных переходов, как в задаче 1, и вы поймете, что
не может быть корнем этого уравнения.

3.Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных преобразований. Учитесь читать такую запись и применять ее.

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысла.

4.Решите уравнение:

А теперь сложное уравнение. Как это часто бывает, нас выручит замена переменной.

Причем новая переменная будет не одна, а целых две.

5.Решите уравнение

Мы можем, как в задаче 10, возвести обе части уравнения в квадрат. Но после этого придется еще раз возводить в квадрат, а это долгий способ.

Есть короткий путь!

Выразим через и :

и . Это выражения можно приравнять друг к другу.

Решим одно из уравнений. Все равно, какое, — ведь нам надо найти .

Ответ: . Заметим, что является также и корнем уравнения

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 66. Примеры решения иррациональных уравнений

Обычный способ решения иррациональных уравнений состоит в освобождении их от радикалов и сведении к уже изученным нами типам алгебраических уравнений (например, к линейным или квадратным). Добиться этого иногда удается путем почленного возведения иррационального уравнения в степень. Поясним это на ряде частных примеров.

Пример 1. Решить уравнение

x = √ 2 — x .

Множество допустимых значений величины х определяется неравенством х 2 = 2 — х,

x 2 + х — 2 = 0,

x₁ = — 2, x₂ = 1.

Каждое из двух полученных чисел попадает в множество допустимых значений величины х. Но это еще не означает, что — 2 и 1 — корни данного уравнения. Ведь к уравнению x 2 = 2 — х мы пришли путем почленного возведения в квадрат исходного уравнения

x = √ 2 — x

Но к такому же результату мы пришли бы, если бы почленно возвели в квадрат не это, а другое уравнение

x = —√ 2 — x

отличное от данного. Следовательно, в результате выполненных преобразований мы можем получить новые, посторонние корни — корни уравнения x = —√ 2 — x , которые нас в данном случае не интересуют. Вот почему, прежде чем дать ответ к данной задаче, необходимо сделать проверку полученных корней.

При х = — 2 левая часть данного уравнения принимает значение —2, а правая √ 4 = 2. Поскольку —2 =/= 2, число —2 не есть корень данного уравнения. При х = 1 обе части нашего уравнения принимают значения, равные 1. Поэтому 1 — корень этого уравнения.

Итак, данное уравнение имеет один корень х = 1. Чтo же касается числа —2, полученного нами выше, то оно, как и следовало ожидать, является корнем уравнения
x = —√ 2 — x .

Пример 2. Решить уравнение

х = 1 + √ x + 5 .

Множество допустимых значений неизвестной величины в данном случае определяется неравенством х > — 5.

Перенося 1 из правой части в левую и возводя обе части полученного уравнения в квадрат, мы приходим к уравнению

( x — 1 ) 2 = ( √ x + 5 ) 2 ,

x 2 — 2x + 1 = x + 5, x 2 — 3x — 4 = 0,

x₁ = 4, x₂ = —1.

Проверка показывает, что из этих двух чисел корнем данного уравнения является лишь число 4. Число —1 является посторонним корнем.

Ответ. Данное уравнение имеет единственный корень х = 4.

Пример 3. Решить уравнение

√ x — 5 + √ 10 — x = 3.

Множество допустимых значений х определяется, очевидно, неравенством

5 (x — 5) (10 — х) + 10 — х = 9,

2√ (x — 5) (10 — х) = 4, √ (x — 5) (10 — х) = 2.

С последним уравнением мы поступим так же, как и с исходным: возведем его почленно в квадрат. В результате получим:

(х — 5) (10 — х) = 4, —x 2 + 15x — 50 = 4, x 2 — 15x + 54 = 0.

Итак, в результате двукратного почленного возведения данного уравнения в квадрат в сочетании с другими элементарными преобразованиями мы пришли к простому квадратному уравнению, корни которого равны:

x₁ = 6, x₂ = 9.

Проверка показывает, что оба эти числа являются корнями данного уравнения.

Ответ. x₁ = 6, x₂ = 9.

Пример 4. Решить уравнение

√ x + 7 + √ x — 1 = 4 .

Множество допустимых значений неизвестной величины х определяется в данном случае неравенством х > 1. Это уравнение можно было бы решить тем же способом, которым мы решали предыдущее уравнение. Для этого нам пришлось бы дважды применять метод почленного возведения в квадрат.

В данном случае можно предложить и другой прием. Умножим почленно данное уравнение на выражение √ x + 7 — √ x — 1 , сопряженное* выражению √ x + 7 + √ x — 1 :

(√ x + 7 + √ x — 1 )(√ x + 7 — √ x — 1 ) = 4 (√ x + 7 — √ x — 1 ).

В результате, используя формулу для произведения суммы двух чисел на их разность, получим:

(х + 7) — (х — 1) = 4 (√ x + 7 — √ x — 1 ).

4 (√ x + 7 — √ x — 1 ) = 8, √ x + 7 — √ x — 1 = 2.

Теперь мы имеем:

√ x + 7 + √ x — 1 = 4,

√ x + 7 — √ x — 1 = 2.

Складывая почленно эти уравнения, получаем:

2 √ x + 7 = 6,

√ x + 7 = 3, х + 7 = 9, х = 2.

В процессе решения данного уравнения нам пришлось обе его части умножить на √ x + 7 — √ x — 1 . Но в результате такого преобразования могли получиться посторонние корни. Вот почему теперь необходимо проверить, является ли полученное число 2 корнем исходного уравнения.

При х = 2 левая часть данного уравнения принимает значение

Следовательно, х = 2 — корень данного уравнения.

Ответ. Данное уравнение имеет единственный корень х = 2.

* Одно выражение, содержащее знак радикала, называется сопряженным другому выражению, содержащему знак радикала, если произведение втих выражений можно записать уже без знака радикала. Так, выражение √ x + 7 — √ x — 1 является сопряженным выражению √ x + 7 + √ x — 1 , поскольку

(√ x + 7 + √ x — 1 )(√ x + 7 — √ x — 1 ) = (х + 7) — (х — 1) = 8;

выражение √ a + 1 будет сопряженным выражению √ a — 1, так как

(√ a — 1) (√ a + 1) = а — 1, и т. д.

Рассмотренные методы решения иррациональных уравнений таковы, что, используя их, мы не можем потерять никаких корней. Зато, как показывают примеры 1 и 2, мы можем получить посторонние корни. Поэтому еще раз подчеркнем, что проверка полученных корней путем их подстановки в исходные уравнения является важной составной частью решения иррациональных уравнений.

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 66. Примеры решения иррациональных уравнений

Обычный способ решения иррациональных уравнений состоит в освобождении их от радикалов и сведении к уже изученным нами типам алгебраических уравнений (например, к линейным или квадратным). Добиться этого иногда удается путем почленного возведения иррационального уравнения в степень. Поясним это на ряде частных примеров.

Пример 1. Решить уравнение

x = √ 2 — x .

Множество допустимых значений величины х определяется неравенством х 2 = 2 — х,

x 2 + х — 2 = 0,

x₁ = — 2, x₂ = 1.

Каждое из двух полученных чисел попадает в множество допустимых значений величины х. Но это еще не означает, что — 2 и 1 — корни данного уравнения. Ведь к уравнению x 2 = 2 — х мы пришли путем почленного возведения в квадрат исходного уравнения

x = √ 2 — x

Но к такому же результату мы пришли бы, если бы почленно возвели в квадрат не это, а другое уравнение

x = —√ 2 — x

отличное от данного. Следовательно, в результате выполненных преобразований мы можем получить новые, посторонние корни — корни уравнения x = —√ 2 — x , которые нас в данном случае не интересуют. Вот почему, прежде чем дать ответ к данной задаче, необходимо сделать проверку полученных корней.

При х = — 2 левая часть данного уравнения принимает значение —2, а правая √ 4 = 2. Поскольку —2 =/= 2, число —2 не есть корень данного уравнения. При х = 1 обе части нашего уравнения принимают значения, равные 1. Поэтому 1 — корень этого уравнения.

Итак, данное уравнение имеет один корень х = 1. Чтo же касается числа —2, полученного нами выше, то оно, как и следовало ожидать, является корнем уравнения
x = —√ 2 — x .

Пример 2. Решить уравнение

х = 1 + √ x + 5 .

Множество допустимых значений неизвестной величины в данном случае определяется неравенством х > — 5.

Перенося 1 из правой части в левую и возводя обе части полученного уравнения в квадрат, мы приходим к уравнению

( x — 1 ) 2 = ( √ x + 5 ) 2 ,

x 2 — 2x + 1 = x + 5, x 2 — 3x — 4 = 0,

x₁ = 4, x₂ = —1.

Проверка показывает, что из этих двух чисел корнем данного уравнения является лишь число 4. Число —1 является посторонним корнем.

Ответ. Данное уравнение имеет единственный корень х = 4.

Пример 3. Решить уравнение

√ x — 5 + √ 10 — x = 3.

Множество допустимых значений х определяется, очевидно, неравенством

5 (x — 5) (10 — х) + 10 — х = 9,

2√ (x — 5) (10 — х) = 4, √ (x — 5) (10 — х) = 2.

С последним уравнением мы поступим так же, как и с исходным: возведем его почленно в квадрат. В результате получим:

(х — 5) (10 — х) = 4, —x 2 + 15x — 50 = 4, x 2 — 15x + 54 = 0.

Итак, в результате двукратного почленного возведения данного уравнения в квадрат в сочетании с другими элементарными преобразованиями мы пришли к простому квадратному уравнению, корни которого равны:

x₁ = 6, x₂ = 9.

Проверка показывает, что оба эти числа являются корнями данного уравнения.

Ответ. x₁ = 6, x₂ = 9.

Пример 4. Решить уравнение

√ x + 7 + √ x — 1 = 4 .

Множество допустимых значений неизвестной величины х определяется в данном случае неравенством х > 1. Это уравнение можно было бы решить тем же способом, которым мы решали предыдущее уравнение. Для этого нам пришлось бы дважды применять метод почленного возведения в квадрат.

В данном случае можно предложить и другой прием. Умножим почленно данное уравнение на выражение √ x + 7 — √ x — 1 , сопряженное* выражению √ x + 7 + √ x — 1 :

(√ x + 7 + √ x — 1 )(√ x + 7 — √ x — 1 ) = 4 (√ x + 7 — √ x — 1 ).

В результате, используя формулу для произведения суммы двух чисел на их разность, получим:

(х + 7) — (х — 1) = 4 (√ x + 7 — √ x — 1 ).

4 (√ x + 7 — √ x — 1 ) = 8, √ x + 7 — √ x — 1 = 2.

Теперь мы имеем:

√ x + 7 + √ x — 1 = 4,

√ x + 7 — √ x — 1 = 2.

Складывая почленно эти уравнения, получаем:

2 √ x + 7 = 6,

√ x + 7 = 3, х + 7 = 9, х = 2.

В процессе решения данного уравнения нам пришлось обе его части умножить на √ x + 7 — √ x — 1 . Но в результате такого преобразования могли получиться посторонние корни. Вот почему теперь необходимо проверить, является ли полученное число 2 корнем исходного уравнения.

При х = 2 левая часть данного уравнения принимает значение

Следовательно, х = 2 — корень данного уравнения.

Ответ. Данное уравнение имеет единственный корень х = 2.

* Одно выражение, содержащее знак радикала, называется сопряженным другому выражению, содержащему знак радикала, если произведение втих выражений можно записать уже без знака радикала. Так, выражение √ x + 7 — √ x — 1 является сопряженным выражению √ x + 7 + √ x — 1 , поскольку

(√ x + 7 + √ x — 1 )(√ x + 7 — √ x — 1 ) = (х + 7) — (х — 1) = 8;

выражение √ a + 1 будет сопряженным выражению √ a — 1, так как

(√ a — 1) (√ a + 1) = а — 1, и т. д.

Рассмотренные методы решения иррациональных уравнений таковы, что, используя их, мы не можем потерять никаких корней. Зато, как показывают примеры 1 и 2, мы можем получить посторонние корни. Поэтому еще раз подчеркнем, что проверка полученных корней путем их подстановки в исходные уравнения является важной составной частью решения иррациональных уравнений.