| cos α = | a · b | a |·| b |
Примеры задач на вычисление угла между векторамиПримеры вычисления угла между векторами для плоских задачиРешение: Найдем скалярное произведение векторов: a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24. Найдем модули векторов: | a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 Найдем угол между векторами: | cos α = | a · b | = | 24 | = | 24 | = 0.96 | | a | · | b | | 5 · 5 | 25
Решение: Найдем скалярное произведение векторов: a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40. Найдем модули векторов: | a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2 Найдем угол между векторами: | cos α = | a · b | = | 40 | = | 40 | = | 4 | = 0.8 | | a | · | b | | 5√ 2 · 5√ 2 | 50 | 5
Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задачРешение: Найдем скалярное произведение векторов: a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28. Найдем модули векторов: | a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 Найдем угол между векторами: | cos α = | a · b | = | 28 | = | 14 | | a | · | b | | 5 · 6 | 15
Решение: Найдем скалярное произведение векторов: a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5. Найдем модули векторов: | a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10 Найдем угол между векторами: cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5 Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список! Добро пожаловать на OnlineMSchool. Содержание:Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах. Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b → Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В . Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^ Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов. a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены. Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан. Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен. Нахождение угла между векторамиКосинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов. Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами: cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b → Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение. Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол. Решение Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 , Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4 Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4 Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме. Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2 Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними. Решение
cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70
cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → , но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70 Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70 Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора. Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → . Решение Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 ) Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13 Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13 Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство: A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) , b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^ и отсюда выведем формулу косинуса угла: cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b → Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам. Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу: Консультации по выполнению всех типов работ
Угол между векторамиУгол между векторами — это угол между отрезками, которые изображают эти две направляющие и которые отложены от одной точки пространства. Другими словами — это кратчайший путь, на который можно повернуть один из векторов вокруг его начала до положения общей направленности со вторым. На изображении это α, который также можно обозначить следующим образом: Как и любой другой угол, векторный может быть представлен в нескольких вариациях. Острый: Тупой: Прямой: С величиной (0^circ) (то есть, векторы сонаправлены): С величиной (180^circ) (векторы направлены в противоположные стороны): Нахождение угла между векторамиКак правило, угол между ( overrightarrow a) и (overrightarrow b) можно найти с помощью скалярного произведения или теоремы косинусов для треугольника, который был построен на основе двух этих направляющих. Скалярное произведение — это число, которое равно произведению двух направляющих на косинус угла между ними. Формула скалярного произведения: (left(overrightarrow a;overrightarrow bright)=left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|timescosleft(widehat
В случае, если overrightarrow a и overrightarrow b не нулевые, можно найти косинус α между ними, опираясь на формулу: Расчет угла, если вектор задан координатамиВ случае, когда направляющие расположены на двухмерной плоскости с заданными координатами в виде (overrightarrow a=left(a_x;a_yright)) и (overrightarrow b=left(b_x;b_yright)) , то угол между ними можно найти следующим образом: Если же координаты находятся в трехмерном пространстве и заданы в виде: то формула принимает такой вид: Расчет угла, если заданы три точки в прямоугольной системе координатВ этом случае проще будет разобраться с объяснениями сразу на примере. Допустим, нам известны три точки и их координаты: A(3,-2), B(2,1), C (6,-1). Нужно найти косинус угла между (overrightarrow Решение Для начала найдем их координаты по известным координатам заданных точек: После этого уже можем применить формулу для определения косинуса угла на плоскости и подставить известные значения: Примеры решения задачДля наглядности, взглянем на примеры решения задач по данной теме. Задача 1Известно, что (overrightarrow a) и (overrightarrow b) . Их длины равны 3 и 6 соответственно, а скалярное произведение равно -9. Нужно найти cos угла между векторами и его величину. Решение Подставим известные значения: Далее найдем угол между данными векторами: Задача 2В пространстве даны координаты (overrightarrow a=(8; -11; 7)) и (overrightarrow b=(-2; -7; 8)) . Вычислить угол α между ними. Решение Используем формулу для нахождения косинуса угла между направляющими в трехмерной системе координат: Подставляем значения и получаем: Теперь находим угол α: Задача 3Известны (overrightarrow a=(3; 4)) и (overrightarrow b=(2; 5)) . Найти угол между ними. Решение Для расчета используем формулу: Подставим известные значения и получим: Нужно подобрать материалы для студенческой работы? Угол между двумя векторамиРассмотрим понятие угла между двумя направлениями в пространстве. Как и на плоскости, в пространстве направлением называется множество всех лучей, каждый из которых сонаправлен с данным. Таким образом, любой луч из данного множества сонаправленных лучей вполне определяет это направление (подобно тому, как любой направленный отрезок вполне определяет вектор, который он изображает). Поэтому направление в пространстве обычно задают при помощи только одного луча. Углом между двумя направлениями называется величина наименьшего угла между любыми лучами этих направлений с общим началом. Угол между лучами l1 и l2 обозначается (widehat Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов. Угол между векторами а и b (рис. 21) обозначается (widehat Если угол между векторами а и b равен 90°, то эти векторы называют перпендикулярными (или ортогональными) и пишут: а ⊥ b. Отметим, что если а(upuparrows)b, то (widehat Рассмотрим некоторую прямую l, на которой выбрана единица измерения длины. Пусть А и В — некоторые точки прямой l такие, что |АВ| = 1. Тогда векторы (overrightarrow Единичные векторы прямой задают на ней два направления. Одно из них называется положительным, другое — отрицательным. Прямая, на которой выбрана точка О (начало отсчета), задано положительное направление и задана единица измерения длины, называется осью. Вектор е (|е| = 1), задающий направление оси, называется единичным вектором оси (рис. 23). Углом между вектором и осью, называется величина угла между направлением оси и направлением вектора (рис. 24). Вычисление угла между двумя векторами.По определению скалярного произведения а • b = | а | • | b | cos(widehat<(a; b)>). Следовательно, если а =/= 0 и b =/= 0, то т. е. косинус угла между ненулевыми векторами а и b равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин. Пусть в пространстве имеется прямоугольная декартова система координат, и пусть заданы векторы а = (x1 ; y1 ; z1) и b = (x2 ; y2; z2). Тогда, как известно, $$ acdot b = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2, |a|=sqrt< и поэтому, используя равенство (1), получим формулу Эта формула позволяет вычислить косинус угла между векторами а и b по координатам этих векторов. Если векторы а = (x1 ; y1 ) и b = (x2 ; y2) заданы в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости, то косинус угла между ними вычисляется по формуле Задача 1. Даны два вектора а = (3; 4) и b = (4; 3). Найти угол между ними. Подставив координаты векторов в формулу (3), получим откуда (по таблице) (widehat<(a; b)>) ≈ 16°. Задача 2. Найти косинус угла между векторами а = 2i + 2j — k, b = i — 2j + 2k . Этот калькулятор онлайн вычисляет угол между векторами в двух- или трехмерном пространстве. Онлайн калькулятор для вычисления угла между векторами не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре. Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением. Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается. Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться. Числа можно вводить целые или дробные. Правила ввода десятичных дробей. Правила ввода обыкновенных дробей. Знаменатель не может быть отрицательным. При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: / Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: & Нахождение координат и длин вектора. Решение задач с доказательством. Для того, чтобы успешно решать задачи методом координат, полезно помнить: Чтобы задать вектор, проходящий черерз 2 точки, нужно из координат второй точки вычесть координаты первой точки. Чтобы найти длину вектора, нужно извлечь корень квадратный из суммы квадратов его координат. Задача. Найти координаты и длины векторов AB, BC, AC, если точки имееют координаты А = (5; 8; 3), B = (1; 0; −3), C = (−2; 5; −1). AB = (1−5; 0-8; −3−3) = (−4; −8; −6) AC = (−2−5; 5−8; −1−3) = (−7; −3; −4) BC = (1−(−2); 0−5; −1−3) = (3; −5; −4)
Для нахождения угла между двумя векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2): Задача. Найдите площадь треугольника, ограниченную точками A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6).
AB = (3−(−4); 1−4; 0−4) = (7; −3; −4) AC = (−1−(−4); 0−4; 6−4) = (3; −4; 2) Задача. Задайте уравнение плоскости, проходящей через точки A = ( − 4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = ( − 1; 0; 6).
AB = (3−(−4); 1−4; 0−4) = (7; −3; −4) Первая строчка заполняется переменными x, y, z, и из них вычитаются координаты любой точки плоскости. В данном случае вычитается точка С = ( − 1; 0; 6). Тогда получится такая строка: (x−(−1); y − 0; z−6). Вторая строчка — координаты первого вектора. Третья строчка — координаты второго вектора (нет разницы какой из векторов задавать во второй строчке, а какой в третьей). Четвертая заполняется аналогично первой. Пятая — аналогично второй.
Теперь перемножаем все значения на одном синем отрезке и складываем с другими значениями на других отрезках:
Аналогично делаем с зелеными отрезками:
Осталось из значений синих отрезков вычесть значения зеленых отрезков: = −22х −26y − 19z + 92 −22х −26y −19z + 92 — искомое уравнение плоскости, проходящей через точки A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6). P.s. Если вам кажется, что это сложно, то огорчу вас. Одна из первых тем (самых простых), которые вы будите проходить на первом курсе любого университета — это матрицы, так что можно немного облегчить себе жизнь и разобраться заранее. Задача. Найдите угол между плоскостью, проходящей через точки A = ( − 4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = ( − 1; 0; 6), и плоскостью, заданную уравнением 14x + 6y − 27z + 51 = 0.
( (qquad blacktriangleright) разность этих векторов (vec-vec= (bullet) Справедливы следующие утверждения: I. Скалярное произведение ненулевых векторов (их длины не равны нулю) равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны: [(vec, vec)=0 quadLeftrightarrowquad vecperp vec] II. Длина вектора равна квадратному корню из скалярного произведения вектора на себя: [|vec|=sqrt<(vec, vec)>] III. Переместительный закон: [(vec, vec)=(vec, vec)] ( ( |