Как вычислить длину отрезка по координатам ~ Инструкции на все случаи жизни

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле:

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле:

Примечание: соответствующие координаты можно переставить местами: и , но это нестандартный вариант.

Задача 3

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ: (единицы)

Обратите внимание на вынесение множителя из-под корня: (см. Приложение Школьные материалы). Это крайне желательное действие, если оно возможно. Ибо будет придирка со стороны преподавателя. С высокой вероятностью.

И для наглядности снова выполню чертёж, тут есть что сказать:

Отрезок – это не вектор, а обычный ненаправленный отрезок. И перемещать его куда-либо, конечно, нельзя.

Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка . Но проще, конечно, использовать Калькулятор (приложен к книге).

Кстати, в ответе не забываем указать размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это – миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Взаимосвязь координат векторов и его начала и конца

На координатной плоскости любые две точки можно соединить друг с другом. В результате получается отрезок. Если же дополнительно указано, какая из этих точек – начало отрезка, а какая – конец, то в итоге мы уже имеем вектор. Попробуем определить, есть ли связь между координатами вектора и координатами (можно использовать сокращение коор-ты) его граничных точек.

Пусть в прямоугольной системе координат отмечены точки А (х_А;у_А) и В(х_B;у_B).Тогда можно задать вектор АВ. Также построим ещё два вспомогательных вектора ОА и ОВ, начинающиеся в точке О – начале коор-т:

Вектора ОВ и ОА – это радиус-векторы (так как их начало находится в начале координат), поэтому их коор-ты ОВ и ОА совпадают с коор-тами их концов (В и А соответственно):

Итак, зная коор-ты граничных точек вектора, можно найти и координаты данного вектора:

Например, если вектор начинается в точке А (2; 1), а заканчивается в точке В (6; 3), то коор-ты вектора АВ можно определить так:

Задание. Начало вектора находится в точке М, а конец – в точке К. Определите его коор-ты, если:

Решение. Из коор-т К мы просто вычитаем соответствующие коор-ты М, и в итоге определяем коор-ты вектора:

Задание. От точки H (8; 15) отложили вектор m<5; – 6>. Каковы координаты конца этого вектора?

Решение. Обозначим интересующие нас коор-ты как (х_к; у_к). Для вектора, начинающегося в точке (8; 15) и заканчивающегося в точке (х_к; у_к), коор-ты можно вычислить так:

Однако нам даны координаты вектора, то есть величины х и у, поэтому мы можем записать:

Оба равенства представляет собой уравнения, которые можно решить:

В итоге получили, что конец вектора находится в точке (13; 9).

Введение прямоугольной системы координат

Даже если в формулировке задачи коор-ты и вектора прямо не упоминаются, может быть полезным самостоятельно добавить в нее прямоугольную систему координат. Это позволит использовать формулы, используемые в методе коор-т, для решения задачи.

Задание. Докажите, что если в параллелограмме сложить квадраты всех его сторон, то получится то же число, что и при сложении квадратов диагоналей этого параллелограмма.

Решение. Расположим систему коор-т таким образом, одна из сторон параллелограмма находилась на оси Ох, причем одна ее вершина совпадала с началом коор-т, а другая имела положительную коор-ту х:

Пусть вершина А находится в начале коор-т, и тогда она имеет коор-ты (0; 0). Вершина D лежит на Ох, тогда ее ордината равна нулю, а абсциссу обозначим буквой а. Точка В имеет произвольные коор-ты (b; с), коор-ты же точки С можно рассчитать. Сначала заметим, что вектор коор-ты вектора АВ совпадают с коор-тами точки В, так как он является радиус-вектором:

Вектора АВ и DC равны, потому что они лежат на параллельных прямых и имеют одинаковую длину:

Итак, коор-ты С – это (а + b; с).

Теперь мы должны длину каждой стороны параллелограмма и возвести ее в квадрат. Обратите внимание, что если расстояние между точками рассчитывается по формуле

Задание. В равнобедренном треугольнике длина основания составляет 80 см, а опущенная на нее медиана имеет длину 160 см. Вычислите длины двух других медиан.

Решение. Пусть АВС – рассматриваемый в задаче треугольник, причем АВ – его основание. Расположим систему коор-т так, чтобы ее начало совпадало с точкой, в которой медиана пересекается с основанием:

В этом случае вершина, из которой опущена медиана, будет иметь коор-ты (0; 160), а две другие вершины будут иметь коор-ты (– 40; 0) и (40; 0).

Нам надо найти длину двух других медиан АM и BN. Они одинаковы по длине, поэтому достаточно найти длину только одной из них, например, АМ. Для этого сначала найдем коор-ты М, которая является серединой ВС:

Сегодня мы познакомились с важнейшими формулами, используемыми в методе коор-т, и научились решать некоторые простейшие задачи. В будущем мы узнаем о более сложных задачах, в которых будут фигурировать не только отрезки и многоугольники, но и окружности.

Метод координат — это подход к изучению свойств геометрических фигур, используя методы алгебры.

Задачи

1. Координаты середины отрезка.

Дано: система координат , А(₁; ₁), В(₂; ₂), С середина отрезка АВ.

Выразить: координаты С(; ) через координаты концов отрезка АВ.

Решение:

С — середина отрезка АВ, поэтому . (1)

(Доказательство утверждения (1) приведено в разделе «Применение векторов к решению задач»).

Координаты векторов , и равны соответствующим координатам точек С, А и В:

, и .

Записывая равенство (1) в координатах, получим:

, следовательно, и .

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

2. Вычисление длины вектора по его координатам.

Дано: .

Доказать: .

Доказательство:

1. и .

Отложим от начала координат вектор и проведем через точку А перпендикуляры АА₁ и АА₂ к осям и .

Координаты точки А равны координатам вектора , т.е. (; ). Поэтому . По теореме Пифагора: .

Но , следовательно, . Что и требовалось доказать.

2. и .

Отложим от начала координат вектор , учитывая то, что .

Но , следовательно, . Что и требовалось доказать.

3. и .

Отложим от начала координат вектор , учитывая то, что .

Но , следовательно, . Что и требовалось доказать.

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат данного вектора.

3. Расстояние между двумя точками.

Дано: М₁(₁; ₁), М₂(₂; ₂), — расстояние между М₁ и М₂.

Выразить: через координаты М₁ и М₂.

Решение:

Рассмотрим вектор , каждая его координата равна разности соответствующих координат его конца и начала, т.е. . Следовательно, длина этого вектора: .

Но , значит, расстояние между точками М₁(₁; ₁) и М₂(₂; ₂) выражается формулой:

Прямолинейный отрезок называется направленным, если указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, какая — концом. Направленный отрезок, имеющий точку А своим началом и точку В концом (см. рис.), обозначается символом (то есть так же, как отрезок оси). Длина направленного отрезка (при заданном масштабе) обозначается символом (или АВ).

Проекцией отрезка на ось u называется число, равное величине отрезка оси u , где точка является проекцией точки А на ось u , а точка — проекцией точки В на эту же ось.

Проекция отрезка на ось u обозначается символом . Если на плоскости задана система декартовых прямоугольных координат, то проекция отрезка на ось Ох обозначается символом Х, его проекция на ось Оу — символом Y.

Если известны координаты точек (, ) и (, ), то проекции X и Y направленного отрезка на координатные оси могут быть вычислены по формулам

, .

Таким образом, чтобы найти проекции направленого отрезка на координатные оси, нужно от координат его конца отнять соответствующие координаты начала.

Угол , на который нужно повернуть положительную полуось Ох так, чтобы ее направление совпало с направлением отрезка , называется полярным углом отрезка .

Угол понимается как в тригонометрии. Соответственно этому имеет бесконечно много возможных значений, которые отличаются друг от друга на величину ида (где n — целое положительное число). Главным значением полярного угла называется то из его значений, которое удовлетворяет неравенствам .

Формулы

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Отсюда же вытекают формулы

, , ,

которые выражают длину и полярный угол отрезка через его проекции на координатные оси.

Если на плоскости даны две точки (, ) и (, ),, то расстояние d между ними определяется формулой

Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой .

Калькуляторы по геометрии

Советы

Не путайте эту формулу с другими, например, с формулой для вычисления углового коэффициента или с линейным уравнением.
Помните о порядке выполнения математических операций. Сначала вычтите, затем возведите в квадрат, затем сложите, а затем извлеките квадратный корень.

Расстояние между точками онлайн

Для нахождения длины отрезка по координатам существует формула. Для отрезка AB в трехмерном пространстве она имеет вид:

Советуем посмотреть:

Точки, прямые, отрезки

Провешивание прямой на местности

Равенство геометрических фигур

Единицы измерения длины, расстояний

Градусная мера угла

Измерение углов на местности

Построение прямых углов на местности

Начальные геометрические сведения

Калькулятор для вычисления расстояния между двумя точками

Выберите необходимую вам размерность:

Введите координаты точек.

Ввод данных в калькулятор для вычисления расстояния между точками

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления расстояния между точками

Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Расстояние между точками.

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.

В зависимости от размерности задачи расстояние между двумя точками можно найти используя следующие формулы:

Формула вычисления расстояния от точки

AB = √ ( xb – xa )2 + ( yb – ya )2

AB = √ ( xb – xa )2 + ( yb – ya )2 + ( zb – za )2

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Длина отрезка

Длина отрезка — это расстояние между концами отрезка. Любой отрезок имеет длину, бо́льшую нуля:

Измерение длины отрезка осуществляется путём сравнения данного отрезка с длиной единичного отрезка. Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принимается за единицу. Следовательно:

длина отрезка – это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Чаще всего используются единичные отрезки равные 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м или 1 км. Измерить длину отрезка можно линейкой или любым другим прибором для измерения длины:

Свойства длин отрезков:

Правило встречается в следующих упражнениях:

Задание 30, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 34, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 36, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 37, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 38, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 40, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 75, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1276, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1279, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Сравнение отрезков

Сравнить два отрезка — это значит определить, равны они, или один больше другого.

Сравнить два отрезка можно, отложив на прямой оба отрезка из одной точки в одну и туже сторону. Для этого можно воспользоваться циркулем.

Чтобы отложить на прямой отрезок равный данному, сначала помещают ножки циркуля так, чтобы острия их концов упирались в концы отрезка, а затем, не изменяя раствора циркуля, переносят его так, чтобы оба его конца находились на прямой.

При сравнении двух отрезков возможно получение одного из представленных результатов: отрезки будут равны, первый отрезок будет больше второго или первый отрезок будет меньше второго.

Пример. Если отложить на прямой от любой точки, например C, в одну сторону два отрезка CA и CB и точка A окажется между точками C и B, то отрезок CA меньше отрезка CB (или CB больше отрезка CA):

CA < CB или CB > CA.

Если точка B окажется между точками C и A, то отрезок CA больше отрезка CB (или CB меньше отрезка CA):

CA > CB или CB < CA.

Если точки A и B совпадут, то отрезки CA и CB равны:

CA = CB.

Если при наложении отрезков оба их конца совмещаются, значит отрезки равны.

При сравнении отрезков путём измерения их длин больше будет тот отрезок, у которого больше длина.

Пример. Сравнить длину отрезков AB и AC.

Так как отрезок AB имеет большую длину, чем отрезок AC, то

AB > AC.

Так как отрезки AB и AC имеют одинаковую длину, то

AB = AC.

Если при измерении отрезков их длины равны, то и отрезки равны.

Середина отрезка

Середина отрезка — это точка, делящая отрезок на две равные части.

d = √((x2-x1)²+(y2-y1)²), где d – расчитываемый отрезок, x1,x2 – абсциссы начала и конца отрезка, y1,y2 – ординаты начала и конца отрезка.

Подставляя в эту формулу абсциисы и ординаты точек из условия, последовательно нахожу каждую сторону:

Тогда периметр равен √5 + √17 + √10

2)Далее, найду медиану AM. Можно пойти разными путями, но найду её длину методом координат.

Мы знаем, что в этом случае M – середина BC. Нам надо найти координаты точки M, иначе говоря, нам надо найти координаты середины отрезка. Далее, координаты точки A нам известны, значит, можно под первую формулу подогнать. Итак, как же вычислить координаты середины отрезка? Это можно сделать по формуле

x = (x1+x2)/2; y = (y1+y2)/2, где x,y – координаты середины отрезка, x1,x2 – абсциссы концов отрезка, y1,y2 – ординаты концов отрезка. Подставляем исходные координаты в формулу и получаем

x = (3-1)/2 = 2/2 = 1; y = (3+4)/2 = 7/2 = 3.5

Значит, M(1;3.5), A(2;5)

Теперь найдём длину AM по нашей старой формуле:

3)Теперь вычислю углы треугольника. Давайте подумаем, как их найти. Я вижу, что нам даны три стороны треугольника(точнее, мы их нашли). Так что, вполне вероятно, что здесь надо воспользоваться теоремой косинусов.(квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними). математически её можно записать так:

Рассмотрим первый пример. Пусть в плоскости координат задан двумя точками некий отрезок. В данном случае его длину мы можем найти, применяя теорему Пифагора.

Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов (x1; y1) и (x2; y2) . На оси X и Y из концов отрезка опустим перпендикуляры. Отметим красным цветом отрезки, которые являются на оси координат проекциями от исходного отрезка. После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции.

Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y длина проекции равна y2-y1, а на ось Х длина проекции равна x2-x1. Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1)². В данном случае |AB| является длиной отрезка.

Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5). Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 – 1)² + (5 – 3)² = 1 + 4 = 5. А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2.

Рассмотрим следующий способ нахождения длины отрезка. Для этого нам необходимо знать координаты двух точек в какой-либо системе. Рассмотрим данный вариант, применяя двухмерную Декартову систему координат.

Итак, в двухмерной системе координат даны координаты крайних точек отрезка. Если проведем прямые лини через эти точки, они должны быть перпендикулярными к оси координат, то получим прямоугольный треугольник. Исходный отрезок будет гипотенузой полученного треугольника. Катеты треугольника образуют отрезки, их длина равна проекции гипотенузы на оси координат. Исходя из теоремы Пифагора, делаем вывод: для того чтобы найти длину данного отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат.

Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1.

Рассчитаем длину отрезка А, для этого найдем квадратный корень:

Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4 и 4;1, то его длина, соответственно, равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.

Даны координаты вершин треугольника .

1) Вычислить длину стороны .

2) Составить уравнение линии .

3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.

4) Найти точку пересечения медиан.

5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.

6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.

1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .

2. Уравнение прямой ВС: ; ; .

3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .

4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:

Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .

Используем формулы деления отрезка в данном отношении :

5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;

6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:

Точка К является серединой отрезка АМ.

Контрольные варианты к задаче 2

Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение линии ВС;

3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;

4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

5) найти точку пересечения медиан;

6) вычислить внутренний угол при вершине В;

7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8447 – | 7339 – или читать все.

Этот калькулятор онлайн вычисляет расстояние между двумя точками A и B (вычисляет длину отрезка AB).

Онлайн калькулятор для вычисления расстояния между двумя точками A и B (вычисления длины отрезка AB) не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: \( -\frac<2> <3>\)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: \( -1\frac<5> <7>\)

Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y длина проекции равна y2-y1, а на ось Х длина проекции равна x2-x1. Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 — y1)² + (x2 — x1)². В данном случае |AB| является длиной отрезка.

Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5). Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 — 1)² + (5 — 3)² = 1 + 4 = 5. А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2.

Рассчитаем длину отрезка А, для этого найдем квадратный корень:

Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой. Точки – концы отрезка.

Общеизвестный факт, что каждая точка А плоскости имеет свои координаты (х, у).

В данном примере вектор AB задан координатами (х₂— х₁, y₂— y₁). Квадрат длины вектора будет равен сумме квадратов его координат. Следовательно, расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, вычисляется согласно формуле:

Эта формула длины отрезка предоставляет возможность рассчитывать расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек

Вышеуказанную формулу длины отрезка можно доказать и другим способом. В системе координат заданы координаты крайних точек отрезка координатами его концов(х₁y₁) и (х₂,у₂).

Прочертим прямые лини через эти точки перпендикулярно к осям координат, в результате имеем прямоугольный треугольник. Первоначальный отрезок является гипотенузой образовавшегося треугольника. Катеты треугольника сформированы отрезками, их длиной будет проекция гипотенузы на оси координат.

Установим длину этих проекций.

На ось у длина проекции равна y₂ — y₁, а на ось х длина проекции равна х₂ — х₁. На основании теоремы Пифагора видим, что |AB|² = (y₂ – y₁)² + (x₂ – x₁)².

В рассмотренном случае |AB| выступает длиной отрезка.

Вычислим длину отрезка АВ, для этого извлечем квадратный корень. Результатом является все та же формула длины отрезков по известным координатам конца и начала.

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором для вычисления расстояния между точками.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление расстояния между точками и закрепить пройденный материал.

Калькулятор для вычисления расстояния между двумя точками

Выберите необходимую вам размерность:

Введите координаты точек.

Ввод данных в калькулятор для вычисления расстояния между точками

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления расстояния между точками

Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Расстояние между точками.

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.

В зависимости от размерности задачи расстояние между двумя точками можно найти используя следующие формулы:

Формула вычисления расстояния от точки

Формула вычисления расстояния от точки A( x_a , y_a , z_a ) до точки B( x_b , y_b , z_b ) в пространстве:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Существуют три основных системы координат, используемых в геометрии, теоретической механике, других разделах физики: декартова, полярная и сферическая. В этих системах координат каждая точка имеет три координаты. Зная координаты двух точек, можно определить расстояние между этими двумя точками.Вам понадобится

Рассмотрите для начала прямоугольную декартову систему координат. Положение точки в пространстве в этой системе координат определяется координатами x,y и z. Из начала координат к точке проводится радиус-вектор. Проекции этого радиус-вектора на координатные оси и будут координатами этой точки.
Пусть у вас теперь есть две точки с координатами x1,y1,z1 и x2,y2 и z2 соответственно. Обозначьте за r1 и r2, соответственно, радиус-векторы первой и второй точки. Очевидно, что расстояние между этими двумя точками будет равно модулю вектора r = r1-r2, где (r1-r2) — векторная разность.
Координаты вектора r, очевидно, будут следующими: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Тогда модуль вектора r или расстояние между двумя точками будет равно: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)).

Рассмотрите теперь полярную систему координат, в которой координата точки будет задаваться радиальной координатой r (радиус-вектор в плоскости XY), угловой координатой ? (углом между вектором r и осью X) и координатой z, аналогичной координате z в декартовой системе.Полярные координаты точки можно перевести в декартовы следующим образом: x = r*cos?, y = r*sin?, z = z. Тогда расстояние между двумя точками с координатами r1, ?1 ,z1 и r2, ?2, z2 будет равно R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2)^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+((z1-z2)^2))

Теперь рассмотрите сферическую систему координат. В ней положение точки задается тремя координатами r, ? и ?. r — расстояние от начала координат до точки, ? и ? — азимутальные и зенитный угол соответственно. Угол ? аналогичен углу с таким же обозначением в полярной системе координат, а ? — угол между радиус-вектором r и осью Z, причем 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с координатами r1, ?1, ?1 и r2, ?2 и ?2 будет равно R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+((r1*sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin?1)^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2))

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.