Данный калькулятор позволит найти область определения функции онлайн.
Область определения функции y=f(x) – это множество всех значений аргумента x, на котором задана функция. Другими словами, это все x, для которых могут существовать значения y. На графике областью определения функции является промежуток, на котором есть график функции.
Область определения функции f(x), как правило, обозначается как D(f). Принадлежность к определенному множеству обозначается символом ∈, а X – область определения функции. Таким образом, формула x∈X означает, что множество всех значений x принадлежит к области определения функции f(x).
Приведем примеры определения основных элементарных функций. Областью определения постоянной функции y=f(x)=C является множество всех действительных чисел. Когда речь идет о степенной функции y=f(x)=xa, область определения зависит от показателя степени данной функции. При нахождении области определения функции y=f(x)= √(n&x) (корень n-ой степени) следует обращать внимание на четность или нечетность n.
Областью определения логарифмической функции являются все положительные действительные числа, и она не зависит от основания логарифма. Областью определения показательной функции, также как и у постоянной функции, является множество всех действительных чисел.
Областью определения сложных функций y=f1(f2(x)) является пересечение двух множеств: x∈D(f2) и множества всех x, для которых f2(x) ∈ D(f1). Следовательно, для того чтобы найти область определения сложной функции, необходимо решить систему неравенства.
Преимуществом онлайн калькулятора является то, что Вам нет необходимости знать и понимать, как находить область определения функции. Чтобы получить ответ, укажите функцию, для которой Вы хотите найти область определения. Основные примеры ввода функций и переменных для данного калькулятора указаны ниже.
Примеры функций: sqrt(16-ln(x^2))/sin(x)) или (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)
- : x^a
Как найти область определения функции?
Рассмотрим область определения функции в математике на примерах.
Найти область определения функции примеры решений
Рассмотрим простые примеры, как находить область определения функции.
Пример нахождения области определения функции.
Найти область определения функции
Область определения функции – это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл.
В данном примере область определения функции составляют все числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Ведь на ноль делить нельзя.
Значит мы должны найти значения икс, при которых знаменатель обратится в ноль и исключить их из области определения функции.
Для решения этой задачи приравняем знаменатель к нулю:
Решим это уравнение:
Итак, при x = -2 знаменатель будет равен нулю. На ноль делить нельзя, а значит при этом значении икс функция теряет смысл. Теперь мы можем найти область определения функции
Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме числа -2.
Пример нахождения области определения функции.
Найти область определения функции
Мы уже знаем, как находить область определения функции: надо указать значения аргумента, при которых она имеет смысл.
Здесь перед нами дробное выражение. Знаменатель не должен быть равен нулю.
Значит, область определения функции в данном случае – это все числа, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль.
Как найти такие числа? Приравнять знаменатель нулю:
и решить это квадратное уравнение.
Решаем и находим, что корень уравнения x = 0,5.
Теперь можно указать область определения функции – это вся числовая прямая, кроме числа 0,5.
А что значит указать область определения функции? Это значит указать все значения аргумента (т.е. икса), при которых функция имеет смысл.
На рисунке изображен график функции . Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:
- область определения функции
- область значений функции
- нули функции
- промежутки возрастания и убывания
- точки максимума и минимума
- наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
Ордината — координата по вертикали.
Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .
Ось ординат — вертикальная ось, или ось .
Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .
Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
Обозначается: или .
На нашем рисунке область определения функции — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.
Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок — от самого нижнего до самого верхнего значения .
Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .
Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .
Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.
Функция возрастает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .
Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.
Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .
Для убывающей функции большему значению соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.
На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .
Определим, что такое точки максимума и минимума функции.
Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.
На нашем рисунке — точка максимума.
Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».
На нашем рисунке — точка минимума.
Точка — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и на нашем графике не может быть точкой минимума.
Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это и .
А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.
Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .
Можно сказать, что экстремумы функции равны и .
Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.
В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.
В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.
| (1)
Решая второе неравенство системы с помощью метода интервалов,
Таким образом, система (1) эквивалентна системе Решением этой системы является интервал Ответ . . Задача 4 . Найти множество значений функции Поскольку множеством значений функции y = sin (x + φ) является отрезок [–1, 1], то множеством значений функции y = 5 sin (x +φ) будет отрезок [–5, 5]. Ответ . . Задача 5 . Найти множество значений функции
и для каждого числа существуют решения уравнения то множеством значений функции y = x 2 + 6x + 8 будет множество . Ответ . . При решении многих задач приходится искать область определения функции. Особенно это нужно знать при построении графика и исследовании функции. Именно поэтому я решил рассмотреть основные варианты, которые могут быть при нахождении области определения функции. Их не так много, наверняка, многие это знают и сами, но думаю, напомнить не будет лишним. И так, область определения функции – это множество всех тех значений переменной х, при каких функция f(x) имеет смысл. То есть значения переменной х, при которых функция от этой переменной существует, а могут быть и такие, при каких она не существует, нам нужны, только те, при которых – существует. Рассмотрим конкретные варианты, в каких случаях функция может существовать не при всех значениях переменной:
Во-вторых, когда есть корень чётной степени, думаю, вы знаете, что в поле вещественных чисел, корень чётной степени может быть только с положительного числа. То есть если в вас есть функция с корнем чётной степени, то что бы найти те числа, которые не будут попадать в область определения, вам надо решить неравенство, где выражение, что под корнем будет меньше нуля.
В-третьих, когда есть логарифм. Здесь понятно, что область определения логарифма все числа, которые больше ноля. То есть что бы найти те значения переменной, которые надо исключить с области определения, вам надо составить и решить неравенство, где выражение, которое будет под логарифмом должно быть меньше нуля.
Я постарался собрать самые основные случаи, когда область определения функции – это не все вещественные числа. Конечно, примеры могут быть на много сложнее, потому что даже эти четыре варианты можно так скомбинировать, что на то что бы разобраться, что там и от чего зависит, пойдёт не мало времени. И ещё, я даже не все перечислил.
Описание презентации по отдельным слайдам: ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Новосибирской области «Маслянинский межрайонный аграрный лицей» Преподаватель: Земцова Л.Г. Уметь: находить область определения функции, т.е. значение аргумента по значению функции, заданной формулой Область определения и область значений функции, заданной на отрезке [-1; 4] 4 у = f (x) Область определения функции: Область значений (множество значений) функции: у х 0 1 2 4 3 -1 1 2 3 Какова область определения функции? Какова область значений функции? D(f) = [-5;5] E(f) = [-2;4] Ответ: у = f(x) Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у(х). Функция – это зависимость переменной у от переменной х такая, что для любого значения х существует единственное значение у. у = f(х) у – зависимая переменная (функция) х – независимая переменная (аргумент) ФУНКЦИЯ Область определения функции – множество всех значений, которые может принимать её аргумент (х). Обозначается D(y) или D(f). Например: у = 5х + 1 х – любое число Ответ: D(y) =(-∞; + ∞) х – любое число Ответ: D(y) =(-∞; + ∞) х – любое число, кроме 0. Ответ: D(y) =(-∞; 0)U (0; +∞) х – любое не отрицательное число х ≥ 0 Ответ: D(y) =[0; + ∞) ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ НАЙТИ ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ у = 10х − 3 х – любое число. Ответ: D(y) =(-∞; + ∞) х – любое число, кроме−4. Ответ: D(y) =(-∞;-4)U(-4; + ∞) х + 4 ≠ 0 х ≠ −4 х – любое число Ответ: D(y) =(-∞; + ∞) х – любое число Ответ: D(y) =(-∞; + ∞) х – любое число Ответ: D(y) =(-∞; + ∞) НАЙТИ ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ х – любое число, кроме −2,4 Ответ: D(y) =(-∞;-2,4)U(-2,4; + ∞) 5х + 12 ≠ 0 5х ≠ −12 х ≠ −12 : 5 х ≠ −2,4 х – любое число Ответ:D(y) =(-∞; + ∞) НАЙТИ ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ −3х + 4 ≥ 0 −3х ≥ −4 2х + 14 ≥ 0 2х ≥ −14 х ≥ −14 : 2 [−7;+∞) х ≤ −4 : (−3) х ≥ −7 х ≤ 1 1/3 Ответ: D(y)= Ответ: D(y)= НАЙТИ ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ х – любое число, кроме 4 и -2 Ответ:D(y)=(-∞;-2)U(-2;4)U(4;+ ∞) (х − 4)(х+2) ≠ 0 х ≠ 4 х(2х − 6) ≠ 0 х – любое число, кроме 0 и 3 Ответ:D(y)=(-∞;0)U(0;3)U(3;+ ∞) х ≠ −2 х ≠ 0 2х−6 ≠0 2х ≠ 6 х ≠ 6 : 2 х ≠ 3 НАЙТИ ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ 5х ≥ 13 [2,6;+∞) 17 − 2х > 0 −2х > −17 (−∞; 8,5) х ≥ 13:5 х 0 10х > 6 (0,6;+∞) х > 6 : 10 х > 0,6 х ≥ 2,6 Ответ:D(y)= Ответ:D(y)= Ответ:D(y)= 2,6 8,5 0,6 НАЙТИ ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ х – любое число, кроме −0,5 и 3,5 (4х+2)(2х−7)≠0 4х+2 ≠0 2х−7≠0 4х ≠ −2 2х ≠ 7 х ≠ −2 : 4 х ≠ 7 : 2 х −10 ≠0 х +10 ≠0 х ≠ 10 х ≠ −10 (х −10)(х+10) ≠0 Ответ: D(y)=(-∞;-0,5)U(-0,5;3,5)U(3,5;+ ∞) Ответ:D(y)=(-∞;-10)U(-10;10)U(10;+ ∞) НАЙТИ ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ 14 − 7х ≥ 0 −7х ≥ −14 Ответ: D(y)=(−∞; 2] х ≤ −14 : (−7) х ≤ 2 − + + Ответ: D(y)=(−∞; −1) U (3; +∞) 2 3 −1 НАЙТИ ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ = −0,5 + + − + + −0,5 −1 Работа с графиком -4 4 [-4; 4] Укажите область определения функции y=f(x), заданной графиком [-2; 4] Укажите область определения функции y=f(x), заданной графиком [-5; 7) -5 7 Укажите область определения функции y=f(x), заданной графиком [-5; 2) и (2; 7) -5 7 2 ПРИ КАКОМ ЗНАЧЕНИИ Х ФУНКЦИЯ ИМЕЕТ СМЫСЛ? Ответ: D(y) =(-∞; + ∞) Ответ: D(y)=(−∞; 0) U (0; +∞) Ответ:D(y)=[0;+∞) Ответ:D(y)=(0;+∞) Дома №5 №4 №1 Найти область определения функции: №2 Решить уравнение х(х + 2) = 3
Номер материала: ДБ-382778
Не нашли то что искали? Вам будут интересны эти курсы: Оставьте свой комментарий✅ На балансе занятий — 1 Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи. Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов. Урок 1. Алгебра 9 класс ФГОС Конспект урока «Функция. Область определения и область значений функции»Зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение y, называют функцией.
В определении сказано, что только та зависимость является функцией, у которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Рассмотрим первый график. Видим, что одному значению x может соответствовать несколько значений y. Значит, данная зависимость не является функцией. Обратимся ко второму случаю. Какие бы значения аргумента мы не брали, каждому из них соответствует только одно значение функции. Можно сказать, что эта зависимость является функцией. В общем виде любую функцию можно записать так: Понятно, что функция может принимать различные значения в зависимости от значения аргумента. Найдём значение каждой функции при заданном значении аргумента.
Вы заметили, что в этом задании функции названы разными буквами. Действительно, функцию можно называть любой буквой латинского алфавита. Ранее вами были изучены несколько важных функций. Вспомним их.
Сейчас попробуем выяснить, как же получается график функции, и дадим определение этому понятию. Можно записать её в таком виде: Это линейная функция, графиком как вы помните, является прямая. Для изображения прямой достаточно двух точек. Получаем точки с координатами (1;3) и (-1;-11). Проведём прямую через полученные точки.
Мы изобразили график функции. Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — значениям функции, называют графиком функции. Все значения аргумента, т.е. переменной x образуют область определения функции, а все значения зависимой переменной, т.е. y, — область значений функции.
В данном случае x и y могут быть любыми числами, т.е. областью определения и областью значений является множество всех действительных чисел. Потренируемся находить область определения и область значений функции по её графику.
Область определения можно находить не только по графику функции, но и по формуле, с помощью которой задана функция. |
