Как найти периметр прямоугольника

Вас ждут четыре простых способа.

Напомним, периметром называют суммарную длину всех сторон. Вычислить её можно по‑разному. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам данных.

Зная все или две соседние стороны

Для полноты упомянем простейшие классические формулы.

  1. Если известна длина всех сторон прямоугольника, просто посчитайте сумму этих величин.
  2. Если вы знаете только две соседние стороны, суммируйте их и умножьте результат на два.

  • P — искомый периметр;
  • a, b, c, d — стороны прямоугольника.

Сейчас читают 🔥

Зная любую сторону и площадь

  1. Поделите площадь на длину известной стороны.
  2. Прибавьте результат к известной стороне.
  3. Умножьте полученное число на два.

  • P — искомый периметр прямоугольника;
  • a — известная сторона;
  • S — площадь прямоугольника.

Зная любую сторону и диагональ

  1. Посчитайте разность квадратов диагонали и стороны.
  2. Найдите корень из результата.
  3. Прибавьте полученное число к известной стороне.
  4. Умножьте результат на два.

  • P — искомый периметр прямоугольника;
  • a — известная сторона;
  • d — диагональ прямоугольника.

Зная одну любую сторону и радиус описанной окружности

  1. Умножьте квадрат радиуса на четыре.
  2. Посчитайте разность полученного числа и квадрата известной стороны.
  3. Найдите корень из результата.
  4. Прибавьте полученное число к известной стороне.
  5. Умножьте результат на два.

  • P — искомый периметр прямоугольника;
  • a — известная сторона;
  • R — радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Началом пропедевтики изучения геометрии являются знания, которые учащиеся получают, переходя во 2 класс. Применяя правила умножения, здесь впервые вычисляют периметр прямоугольника.

Переходя в следующий, 3 класс, школьники на основе этой формулы начинают знакомиться с правилами раскрытия скобок.

Как вычислить периметр прямоугольника

Учитывая, что периметр любой фигуры есть сумма длин её сторон, выводят две формы записи для нахождения этой величины.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому, обозначив смежные стороны a и b, получают по определению:

откуда после приведения подобных слагаемых, вытекает формула

или, вынося двойку за скобки,

Рассматривая квадрат, как прямоугольник с равными сторонами, получают формулу его периметра:

Стандартный метод

В зависимости от сложности вычислений, применяют одну из формул, чтобы высчитать периметр. Учащиеся начальной школы знакомятся с понятием, сталкиваясь с практическими задачами.

Задача

Найти длину забора участка прямоугольной формы, который надо построить Сидору Карловичу, если общая граница с участком Ивана Петровича составляет 3 метра, а с плантацией Марии Ивановны – 5 метров.

Решение

Чтобы решить задачу и помочь незадачливому Сидору Карловичу, ученику приходится использовать формулу периметра прямоугольника. Учитывая, что a = 3, b = 5, дети легко находят, что длина забора равна

P = 2 (a + b) = 2 * (3 + 5) = 2 * 8 = 16 (метров)

Важные требования, предъявляемые к ученикам на данном этапе изучения материала, заключаются в правильном соизмерении длины и ширины, а также в умении начертить фигуру.

Работа выполняется только при одинаковых единицах измерения, все чертежи делаются строго с использованием инструментов!

Часто длина заданного отрезка измеряется непосредственно.

Нахождение периметра через площадь и одну сторону

При более близком знакомстве с прямоугольником, способы нахождения его периметра начинают варьироваться в зависимости от исходных данных в задаче.

Если известны одна из сторон и площадь, то, чтобы узнать, чему равен периметр, выражается неизвестная сторона, а затем она подставляется в формулу.

то есть, соотношение площади и периметра при известной стороне есть

Как найти периметр прямоугольной фигуры

В начальной школе для запоминания принципа детям часто предлагается понятие «неправильного четырёхугольника» (не прямоугольника).

Для нахождения его периметра предлагается рассчитать сумму длин сторон непосредственно, предварительно измерив каждую из них.

Для любой более сложной фигуры производят разбиение, если возможно, на небольшие прямоугольники, с которыми и работают.

Заключение

Современный онлайн калькулятор позволяет ввести значения сторон и задать необходимую точность вычислений, мгновенно производя расчёт и выдавая необходимый результат.

Основные определения

Прямоугольником принято называть четырехугольник, у которого равны все углы. Они также являются прямыми и составляют 90°.

Периметр — это длина всех сторон многоугольника. Общепринятое обозначение — заглавная латинская буква P. Под «P» удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах по ходу решения.

Если параметры переданы в разных единицах длины, мы не сможем узнать какая площадь фигуры получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

В чем измеряется периметр:

  • квадратный миллиметр (мм 2 );
  • квадратный сантиметр (см 2 );
  • квадратный дециметр (дм 2 );
  • квадратный метр (м 2 );
  • квадратный километр (км 2 );
  • гектар (га).

Формула нахождения периметра прямоугольника

Способ вычисления нужно выбрать, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим четыре классические формулы.

Когда известны все или две соседние стороны

P = a + b + c + d, где a, b, c, d — стороны.

Когда известна любая сторона и площадь

P = 2 * (a + S : a), где a — сторона, S — площадь.

Площадь — это плоскость внутри замкнутой геометрической фигуры.

Когда известна любая сторона и диагональ

P = 2 * (a + √(d 2 — а 2 )), где a — сторона, d — диагональ.

Диагональ — это отрезок, который соединяет противоположные стороны фигуры.

Когда известна одна любая сторона и радиус описанной окружности

P = 2 * (a + √(4 * R 2 — a 2 )), где a — сторона, R — радиус окружности.

Радиус — отрезок, соединяющий центр и любую точку окружности.

Решение задач

А теперь практиковаться!

1. Одна сторона прямоугольника 9 см, а другая на 11 см длиннее. Как узнать периметр?

  • Если a = 9, то b = 9 + 11;
  • Тогда b = 20 см;
  • Воспользуемся формулой P = 2 * (a + b);
  • P = 2 * (9 + 20);

2. Площадь прямоугольника составляет 60 м², ширина равна 15 м. Чему равен периметр фигуры?

  • Для использования формулы P = 2 * (a + b), нам нужно найти длину;
  • Так как S = a * b, для поиска одной стороны необходимо разделить площадь на известную сторону: 60 : 15 = 4;
  • Далее подставляем известные переменные в формулу: (15 + 4) * 2 = 38;

А еще можно вот так:

  • Воспользуемся формулой P = 2 * (a + S : a);
  • P = 2 * (15 + 60 : 15);

Ответ — такой же, 38 м.

3. Как найти периметр прямоугольника, если его диагональ в два раза больше длины равной 8 см?

  • Если a = 8, то d = 8 *2;
  • Тогда d = 16;
  • Воспользуемся формулой P = 2 * (a + √(d 2 — а 2 ));
  • P = 2 * (8 + √(16 2 — 8 2 ));

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в детскую школу Skysmart. Вместо скучных учебников ученики проходят интерактивные задания с автоматической проверкой, рисуют вместе с учителем на онлайн-доске и задают вопросы, которые бывает неловко спросить перед всем классом.

Консультации по выполнению всех типов работ

  • Периметр прямоугольника
  • Варианты нахождения периметра прямоугольника
    • По сторонам
    • По любой стороне и площади
    • По любой стороне и диагонали
    • По любой стороне и радиусу описанной окружности
  • Примеры решения задач
    • Задача 1
    • Задача 2
    • Задача 3
    • Задача 4
  • Периметр прямоугольника
  • Варианты нахождения периметра прямоугольника
    • По сторонам
    • По любой стороне и площади
    • По любой стороне и диагонали
    • По любой стороне и радиусу описанной окружности
  • Примеры решения задач
    • Задача 1
    • Задача 2
    • Задача 3
    • Задача 4

Периметр прямоугольника

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все четыре угла прямые, то есть, составляют 90 градусов. Частным случаем прямоугольника могут быть квадрат или ромб.

Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его ребер.

Основные свойства прямоугольника:

  • противоположные стороны фигуры равны и параллельны друг другу;
  • сумма всех углов равна 360 градусов;
  • диагонали прямоугольника равны по длине и точкой пересечения делятся пополам;
  • диагонали делят фигуру на два одинаковых прямоугольных треугольника;
  • по теореме Пифагора, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его соседних ребер;
  • стороны рассматриваемого четырехугольника также являются его высотами;
  • точка пересечения диагоналей — это центр прямоугольника и также центр вписанной окружности;
  • диагональ этого четырехугольника — это диаметр описанной окружности;
  • вокруг него всегда можно описать окружность.

Варианты нахождения периметра прямоугольника

По сторонам

Если нам известны все стороны прямоугольника (или две смежные), мы можем использовать следующую формулу для нахождения суммы длин всех ребер:

где (a) и (b) — это две соседние стороны фигуры.

По любой стороне и площади

Зная значение любого из ребер четырехугольника и его площадь, мы можем найти значение второго и периметр фигуры.

Так как площадь прямоугольника — это произведение двух его смежных сторон ((S=atimes b)) , чтобы найти неизвестную сторону, нужно поделить площадь на известную величину: (b=frac Sa) .

Получается, что формула для расчета (P) рассматриваемой фигуры будет выглядеть следующим образом:

По любой стороне и диагонали

В случае, если мы знаем длину одного из ребер и диагональ данного четырехугольника, мы можем найти вторую сторону с помощью теоремы Пифагора.

где (d) — диагональ прямоугольника, а (b) — неизвестная сторона.

Чтобы рассчитать сумму длин всех сторон, нужно воспользоваться формулой:

По любой стороне и радиусу описанной окружности

Когда нам известна одна из сторон и радиус описанной окружности вокруг прямоугольника, мы можем узнать его неизвестное ребро. Из свойств прямоугольника помним, что точка пересечения диагоналей фигуры — это центр описанной окружности. Это значит, что 1/2 диагонали — это радиус этой окружности. Таким образом, по теореме Пифагора мы можем узнать неизвестную сторону прямоугольника:

где (R) — радиус описанной окружности.

Тогда формула для расчета P будет выглядеть так:

Примеры решения задач

Задача 1

Известно, что стороны прямоугольника равны 5 см и 7 см. Найти его периметр.

Решение:

Применяем самую первую формулу для расчета:

Задача 2

Мы знаем, что площадь четырехугольника с прямыми углами составляет 24 (см^2) , одна из его сторон равна 6 см. Вычислить Р фигуры.

Решение:

Берем формулу (P=2(frac Sa+a)) и подставляем известные значения:

Задача 3

Дан прямоугольник со стороной 3 см и диагональю 5 см. Нужно высчитать P данной фигуры.

Решение:

Вспоминаем формулу для расчета (P=2(a+sqrt)) и вставляем известные величины:

Задача 4

Вокруг прямоугольника с ребром 3 см описали окружность с радиусом 5 см. Определить P заданной фигуры.

Решение:

В этом случае для расчета суммы длин всех сторон применяем формулу (P=2(a+sqrt<4R^2-a^2>)) . Используем известные значения и получаем:

Работы любой сложности

Квалифицированная помощь от опытных авторов

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого четыре прямых угла. Размеры прямоугольника задаются

длинами его сторон, обозначаемых обычно a и b. Прямоугольник, все стороны которого равны (a = b)

Периметр прямоугольника ABCD равен сумме

сторон умноженной на 2, прилежащих к одному углу.

где P — периметр прямоугольника,

a — длина первой стороны,

b — длина второй стороны.

Как найти периметр прямоугольника другими способами? Ниже приведены формулы, по которым можно

найти периметр прямоугольника, через разные данные.

Формула периметра прямоугольника через две стороны прямоугольника:

Формула периметра прямоугольника через площадь и любую сторону:

Формула периметра прямоугольника через диагональ и любую сторону:

Формула периметра прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

Формула периметра прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

Основные свойства прямоугольника.

  • Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:
  • Противоположные стороны прямоугольника параллельны:
  • Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

  • Все четыре угла прямоугольника прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

  • Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

  • Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:
  • Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

  • Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на
  • Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:

AO = BO = CO = DO = d/2

  • Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром
  • Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности.
  • Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов

равна 180 градусов:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

  • В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы

противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно посчитать периметр прямоугольника и разберем примеры решения задач.

  • Формула вычисления периметра
  • Примеры задач

Формула вычисления периметра

Периметр (P) прямоугольника равняется сумме длин всех его сторон.

P = a + b + a + b

Т.к. противоположные стороны данной фигуры равны, формулу можно представить в следующем виде:

  • Удвоенная сумма сторона: P = 2*(a+b)
  • Сумма двойных значений сторон: P = 2a+2b

Короткая сторона – это высота/ширина прямоугольника, более длинная сторона – его основание/длина.

Примеры задач

Задание 1
Найдите периметр прямоугольника, если его стороны равны: 5 и 8 см.

Решение:
Подставляем в формулу известные значения и получаем: P = 2 * (5 см + 8 см) = 26 см.

Задание 2
Периметр прямоугольника равен 20 см, а одна из его сторон – 4 см. Найдите вторую сторону фигуры.

Решение:
Как мы знаем, P=2a+2b. Допустим, 4 см – это сторона а. Значит неизвестная сторона b, умноженная на два, вычисляется так: 2b = P – 2a = 20 см – 2 * 4 см = 12 см.
Следовательно, сторона b = 12 см / 2 = 6 см.

Прямоугольник — одна из простейших геометрических фигур. Поэтому нахождение периметра и площади очень редко становится проблемой — достаточно запомнить несколько простых правил. Проходят тему на начальных уроках геометрии, и со временем информация может выветриваться из памяти. Освежить свои знания очень просто.

Периметр прямоугольника — по каким правилам его находят?

Для того, чтобы найти искомое значение, нужно вспомнить, что называют периметром — и какими особенностями обладают прямоугольники.

  • Определение периметра звучит так — это сумма длин всех сторон, сложенных между собой. Записывается показатель буквой Р.
  • При этом прямоугольник характерен именно тем, что те из его сторон, которые расположены параллельно друг другу, абсолютно равны.

Находить периметр треугольника — очень простая задача. Достаточно знать всего лишь показатели длины двух сторон, а оставшиеся две стороны будут обладать такими же значениями.

Существуют две формулы для вычисления периметра:

  • сложение всех сторон — в данном случае в абстрактном прямоугольнике ABCD стороны AB, BC, CD и AD последовательно складывают друг с другом и получают результат;
  • сложение длины и ширины и умножение суммы на 2 — здесь используется правило равенства параллельных сторон в прямоугольнике.

Кроме того, нужно помнить о частном случае квадрата, когда равны друг другу все четыре стороны. Тогда длину одной стороны достаточно просто умножить на 4.

Площадь прямоугольника — формула нахождения

Ненамного сложнее вычислить и площадь геометрической фигуры. Площадь принято обозначать буквой S, а измеряют ее в квадратных сантиметрах, миллиметрах или метрах — в отличие от периметра, где используются просто метры, миллиметры и сантиметры.

S = a*b, поэтому для нахождения площади нужно всего лишь знать длину прямоугольника и его ширину — то есть, показатели двух из сторон. Их необходимо умножить между собой и записать ответ в указанных единицах длины.

Еще проще выглядит формула для нахождения площади квадрата. Поскольку стороны геометрической фигуры равны друг другу, показатели длины и ширины будут совпадать. Необходимо взять показатель одной из сторон и возвести его в квадрат. Записывается это следующим образом — S = а2.

При записи решения задач на нахождение периметра или площади рядом с обозначениями Р или S принято ставить маленькие буквенные обозначения конкретной фигуры. Например, Pabcd, или Sabcd. Это позволяет помнить, для какого именно прямоугольника ищется площадь или периметр.