Как найти определитель матрицы 3х3

Данный онлайн калькулятор вычисляет определитель матрицы. Дается подробное решение. Для вычисления определителя матрицы выбирайте порядок (размер) квадратной матрицы. Введите данные в ячейки. Выберите метод решения и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите на странице определитель матрицы.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Примеры вычисления определителя матрицы

Пример 1. Найти определитель матрицы

.

Для вычисления определителя матрицы, приведем матрицу к верхнему треугольному виду.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 1. Для этого меняем местами строки 1 и 2. При этом меняется знак определителя на «−»:

.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/78,-2/78 соответственно:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -5928/9048:

.

Мы привели матрицу к верхнему треугольному виду. Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали (учитывая знак определителя):

.

Пример 2. Найти определитель матрицы A, разложением определителя по первой строке:

.

Для вычисления определителя матрицы методом разложения по первой строке, вычисляем произведение каждого элемента первой строки на соответствующее алгебраическое дополнение и суммируем полученные результаты:

Формула

Пусть задана матрица второго порядка $ A = begin a_<11>&a_<12>a_<21>&a_ <22>end $. Тогда её определитель находится по формуле:

Из произведения элементов, стоящих на главной диагонали $ a_<11>cdot a_ <22>$, вычитается произведение элементов, расположенных на побочной диагонали $ a_<12>cdot a_ <21>$. Это правило верно только (!) для определителя 2-го порядка.

Если дана матрица третьего порядка $ A = begin a_<11>&a_<12>&a_<13>a_<21>&a_<22>&a_<23>a_<31>&a_<32>&a_ <33>end $, то вычислить её определитель следует по формуле:

Примеры решений

Обратим внимание на то что матрица квадратная второго порядка, то есть количество столбцов равно количеству строк и они содержат по 2 элемента. Поэтому применим первую формулу. Перемножим элементы, стоящие на главной диагонали и вычтем из них произведение элементов, стоящих на побочной диагонали:

$$ Delta = begin 1&23&4 end = 1 cdot 4 — 2 cdot 3 = 4-6 = -2 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Так как в задаче квадратная матрица 3-го порядка, то найти определитель следует по второй формуле. Для простоты решения задачи достаточно подставить вместо $ a_ $ переменных, стоящих в формуле значения из матрицы нашей задачи:

$$ = 2cdot (-3) cdot (-2) + 2cdot (-1) cdot 3 + 1cdot 4cdot 1 — $$ $$ — 1cdot (-3)cdot 3 — (-1)cdot 4cdot 2 — 2cdot 1cdot (-2) = $$

$$ = 12 — 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$

Стоит отметить когда мы находим произведения элементов на побочной диагонали и подобных её, то перед произведениями ставится знак минус.

Определитель: det, , ||, детерминант.

Определитель — это не матрица, а число.

Как найти определитель матрицы?

Чтобы найти определитель матрицы вводят понятие «минор». Обозначение: Mij — минор, Mij 2 — минор второго порядка (определитель матрицы 2*2) и т.д.

Чтобы найти минор для элемента aij, вычеркиваем из матрицы A i-ю строку и j-й столбец. Получаем матрицу размерностью n-1*m-1, находим определитель этой матрицы.

Пример: найти минор второго порядка для элемента a12 матрицы A:

Вычеркиваем из матрицы A 1-ю строку и 2-й столбец. Получаем матрицу размерностью 2*2, находим определитель этой матрицы:

Таким образом, минор — это не матрица, а число.

Пример: найти определитель (в общем виде) матрицы 2*2 разложением по 1) строке; 2) столбцу:

Несложно увидеть, что получен одинаковый результат.

Таким образом, чтобы найти определитель матрицы 2*2 достаточно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной:

Как быстро вычислить определитель третьего порядка?

Для вычисления определителя третьего порядка используют правило треугольника (или «звездочки»).

1. Перемножаем элементы главной диагонали: det(A)=11*22*33.

2. К полученному произведению прибавляем произведение «треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали»: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32.

3. Все, что связано с побочной диагональю, берем со знаком «-«. Перемножаем элементы побочной диагонали и вычитаем: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31.

4. Аналогично «главным треугольникам» перемножаем побочные и вычитаем: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23*32-33*12*21.

Бесплатные решения задач онлайн

  • Школьная математика
    • Алгебра
    • Геометрия
    • Геометрия 10-11
    • Геометрия 7-9
    • Алгебра 9 класс
    • Алгебра 8 класс
  • Школьная физика
    • Физика 9 класс
    • Физика 10 класс
    • Физика 11 класс
  • Экзамены
    • ОГЭ (ГИА) по математике 2018
    • ОГЭ (ГИА) по физике 2018
    • ЕГЭ по математике 2018
    • ЕГЭ по физике 2018
  • Высшая математика
    • Математический анализ
    • Линейная алгебра
    • Дифференциальные уравнения
    • Теория вероятностей

Как найти определитель матрицы 2х2, 3х3 и 4х4

В ролике рассказывается про основные нюансы, которые важно помнить при нахождении детерминанта матриц, а также разбираются 3 примера, чтобы каждый способ был нагляден и понятен. Жду ваших комментариев к этому уроку и заявок на новые ролики.
Разобрались? Переходите к другим темам.
Не разобрались? Пишите свои вопросы в комментариях.

Ещё уроки по той же теме:

  • Операции с матрицами
  • Найти произведение матриц
  • Как привести матрицу к ступенчатому виду
  • Что такое ранг матрицы
  • Как находить обратную матрицу

29 Responses to Как найти определитель матрицы 2х2, 3х3 и 4х4

Молодец) Все понятно, доходчиво. За 10 мин вспомнил, что делал на линейной алгебре на 1 курсе. Сейчас учусь на 5 курсе — нужны были эти элементарные знания по вышке, а память то не безгранична. Поднимать тетрадки, которых нет — не вариант, разбирать по формулам — просто лень, ваше видео само то! Хорошее дело делаете))) Успехов!

Спасибо! Тебе тоже легкой защиты!

5:35 ошибка эсть

кажется, ее уже не раз обсуждали в комментариях на YouTube. К сожалению, аннотации, в которых я ее исправлял, не всегда (не знаю почему?!) отображаются на сайте. Так что спасибо за указание!

Спасибо тебе, все понятно, доходчиво, но ест ьу тебя ошибка, когда выполняешь матрицу 4х4, приступая к 3 столбцу ты неверно записал цифры. Просто пока я видеоурок смотрел , я пытался самостоятельно решить данный пример

Спасибо тебе, все понятно, доходчиво, но ест ьу тебя ошибка, когда выполняешь матрицу 4х4, приступая к 3 столбцу ты неверно записал цифры. Просто пока я видео урок смотрел , я пытался самостоятельно решить данный пример.

log⅓(x-5) + log₃7≥0
помогите с решением пожалуйста

Привет. Приводишь в первом логарифме основание к тройке. Затем переносишь первый логарифм в правую часть и избавляешься от логарифмов. Получаешь простое алгебраическое неравенство и ответ. Все это разбиралось в роликах про логарифмы. Посмотри их.

Почему ты называешь «детерминант» «дискриминантом»?

Потому что оговорился(.
На канале Ютуб в комментариях это указано, также стоит аннотация в видео, но на других сайтах она не всегда отображается. Такие дела.

А что делать когда строк 5, а столбцов 3? У меня задание Исследовать совместимость системы уравнений методом Кронекера-Капелли. Спасибо, если ответите!

Искать все, что относится к системам линейных уравнений и к теореме Кронекера-Капелли. Например, это видео.

Спасибо, очень оперативно) Но я не могу никак понять как сокращать матрицу, определитель можно найти когда кол-во столбцов равно строкам, но у меня они разные и как это сократить, я не могу найти объяснения(

Если переменных больше, чем строк (то есть уравнений 5, а переменных всего 3), то это означает, что два любых уравнения можно выкинуть. Но надо выкидывать те уравнения, которые не помешают найти все переменные. Если у вас есть переменные х, y, z, и переменная z есть только в одном из уравнений, то такое уравнение выкидывать нельзя. Напиши свой пример здесь или в группе ВКонтакте. И добавь свои попытки его решить, разберемся.

А как найти определитель матрицы 5х5? Исключать строки и столбцы такой матрицы и находить несколько определителей 4х4 будет несколько трудоёмко. Пожалуйста, поподробнее объясните определитель n-ого порядка.

Такую матрицу надо свести к ступенчатому виду, тогда все остальные определители зануляться, и надо будет находить только один. Такое видео тоже есть.

  • Определитель матрицы 3 порядка, описание
  • Правила для нахождения
  • Нахождение методом треугольника
  • Метод Саррюса
  • Свойства определителя

Определитель матрицы 3 порядка, описание

Детерминант или определитель матрицы третьего порядка вида (A=begina_<11>&a_<12>&a_<13>a_<21>&a_<22>&a_<23>a_<31>&a_<32>&a_<33>end) является сопоставляемое с ним число

Для обозначения данной величины используют символы: |А|, Δ, det A.

Правила для нахождения

Для вычисления детерминанта матрицы 3×3 не нужно заучивать формулу. Данное число можно найти с помощью двух способов:

  • правила треугольников;
  • правила Саррюса.

Нахождение методом треугольника

Правило основывается на том, что произведение диагональных составляющих и произведения вершин двух треугольников уменьшаемой матрицы суммируются. Произведение диагональных элементов и произведения вершин треугольников в вычитаемой матрице записываются со знаком минус.

Схематическое изображение рассматриваемого правила выглядит так:

По схеме можно восстановить формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка, которая приведена в определении детерминанта:

Пример

Найти определитель матрицы:

Решение

Метод Саррюса

Для нахождения определителя матрицы 3×3 необходимо соблюсти условия в следующей последовательности:

  • два первых столбца приписать по левую сторону от детерминанта;
  • произведения компонентов главной диагонали и ей параллельных записать с положительным знаком;
  • произведения элементов, расположенных на побочной и параллельных ей диагоналях, записать с отрицательным знаком.

Вычисление определителя матрицы по рассматриваемому правилу схематически можно изобразить так:

Пример

Рассчитать по методу Сюрраса детерминант матрицы

При решении сложных систем уравнения большую роль играет определитель матрицы или детерминант матрицы. Это — важнейшая численная характеристика квадратной матрицы, используемая при решении многих задач. На вычислении определителя матрицы основан метод Крамера решения систем уравнений, он позволяет определять наличие и единственность решения систем уравнений. Обозначается определитель матрицы: det (A), |A|, или ∆(A). Определителем квадратной матрицы А размера n х n является число:

det (A) = Σ (-1) N ( α 1, α 2. αn ) · a α 11· a α 22·. · a αnn
( α 1, α 2. αn )

В данном выражении а1,а2. аn — перестановка чисел от 1 до n, N (а1,а2. аn) — количество инверсий при перестановке. Суммирование производится по всем перестановкам порядка n.

Свойства определителей:

  • Определитель матрицы с двумя равными или пропорциональными строками (столбцами), с нулевой строкой (столбцом), с двумя или несколькими линейно зависимыми строками (столбцами) равняется нулю.
  • Определитель единичной матрицы равняется единице: det (E) = 1.
  • Определитель матрицы не меняется при транспонировании.

Способы вычисления определителя матрицы:

1. Значение определителя матрицы 1×1 равняется значению ее элемента:

∆ = |a11| = a11
2. Значение определителя матрицы 2×2 равняется разности между произведениями элементов главной диагонали и побочной.

3. Определитель матрицы 3×3 равен разности между суммой произведений элементов главной диагонали плюс произведение элементов лежащих на треугольниках, грань которых параллельна главной диагонали, и суммой произведений элементов побочной диагонали и элементов, лежащих на треугольниках с параллельной побочной диагонали гранью.

Значение определителя матрицы 3-го порядка (3×3) можно рассчитать, используя правило Саррюса.
4. Определитель матрицы произвольного размера рассчитывается как сумма произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения.

n
det (A) = Σ aij ·A ij — разложение по i -той строке
j = 1

5. Определитель матрицы произвольного размера можно расчитать как суииу произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

Matematikam.ru позволяет проводить вычисления с матрицами, в том числе находить определитель матрицы онлайн. Определение детерминанта матрицы выполняется мгновенно и бесплатно, ответ содержит подробное решение на каждом шагу вычислений.

Онлайн калькулятор. Определитель матрицы. Детерминант матрицы.

Этот онлайн калькулятор позволит вам определитель (детерминант) матрицы.

Для того чтобы вычислить определитель (детерминант) матрицы онлайн, выберите необходимый вам размер матрицы:

Введите значения Матрицы:

Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.

Определитель матрицы онлайн

Определитель матрицы

Нахождение определителя матрицы является очень частой задачей в высшей математике и алгебре. Как правило, без значения определителя матрицы не обойтись при решении сложных систем уравнений. На вычислении определителя матрицы построен метод Крамера решения систем уравнений. С помощью определения детермината определяют наличие и единственность решения систем уравнений. Поэтому сложно переоценить важность умения правильно и точно находить определитель матрицы в математике. Методы решения определителей являются теоретически довольно простыми, однако с увеличением размера матрицы вычисления становятся очень громоздкими и требуют огромной внимательности и много времени. Очень легко в таких сложных математических вычислениях допустить незначительную ошибку или описку, что приведет к ошибке в окончательном ответе. Поэтому даже если вы находите определитель матрицы самостоятельно, важно проверить полученный результат. Это позволяет сделать наш сервис Нахождение определителя матрицы онлайн. Наш сервис выдает всегда абсолютно точный результат, не содержащий ни ошибок, ни описок. Вы можете отказаться от самостоятельных вычислений, поскольку с прикладной точки зрения, нахождение определителя матрицы не имеет обучающего характера, а просто требует много времени и числовых вычислений. Поэтому если в вашей задачи определение детерминанта матрицы являются вспомогательными, побочными вычислениями, воспользуйтесь нашим сервисом и найдите определитель матрицы онлайн!

Все вычисления проводятся автоматически с высочайшей точностью и абсолютно бесплатны. У нас очень удобный интерфейс для ввода матричных элементов. Но главное отличие нашего сервиса от аналогичных — возможность получения подробного решения. Наш сервис при вычислении определителя матрицы онлайн всегда использует самый простой и короткий метод и подробно описывает каждый шаг преобразований и упрощений. Так что вы получаете не просто значение детерминанта матрицы, окончательный результат, но и целое подробное решение.