Как найти площадь четырехугольника ~ Инструкции на все случаи жизни

Как найти площадь любого четырехугольника, квадрата ромба, трапеции и т.д.? Есть ли универсальная формула для расчета площади четырехугольника?

Универсальной формулы для расчета площади любого четырёхугольника нет. Формулы зависят от исходных данных для расчета. Проще всего рассчитать площадь прямоугольного четырёхугольника, она равна произведению длин сторон пересекающихся в одной вершине, а для квадрата равна квадрату стороны. Для четырёхугольника с разными внутренними углами его площадь S = d1*d2*SinA, где d1 и d2 — диагонали четырёхугольника, А — угол между диагоналями в градусах. Как водно из этой формулы, для расчета площади требуется знать длины диагоналей, величину ушла и таблица синусов или калькулятор.

Диагонали любого четырёхугольника делят этот четырёхугольник на 4 треугольника.Пусть даны две диагонали произвольного четырёхугольника — d1 и d2 и острый угол между диагоналями А.Точка пересечения диагоналей делит их на 2 части.Пусть каждая диагональ состоит из двух частей , на которые делит их точка пересечения. Тогда : d1 = d11 + d12 , d2 = d21 + d22 ,

тогда площадь четырёхугольника состоит из 4-х треугольников .

S1 = d11 * d12 * sin A , S2 = d12 * d21 * sin (180 — A ) , S3 = d21 * d22 *sin A , S4 = d22 * d11 * sin (180 — A ) ,

S0 = S1 + S2 + S3 + S4 ,

Компануя части диагоналей придём к формуле :

S0 = d1 * d2 * sin A ,

общая формула для четырёхугольника.

Рассмотрим частные случаи нахождения площади четырёхугольника:

Квадрат со стороной а: S = a * a = a^2
Ромб со стороной а и острым углом А: S = a * a * sin A = a^2 * sin A
Прямоугольник со сторонами a и b: S = a * b
Трапеция с основаниями a, b и высотой h: S = h * (a + b) / 2
Параллелограмм со сторонами a, b и углом между ними А: S = a * b * sin A

Кроме того, существует формула нахождения площади, общая для всех видов четырехугольников:

S = d1 * d2 * sin A

В этой формуле d1 и d2 — диагонали четырёхугольника, а sin A — синус угла между ними.

В статье собраны несколько калькуляторов, вычисляющих площади неправильных четырехугольников.

Есть несколько способов найти площадь неправильного четырехугольника.

Вы знаете длины диагоналей и размер угла между ними. Тогда площадь четырехугольника можно найти по формуле

Площадь выпуклого четырехугольника

Вы знаете длины четырех сторон и размеры двух противолежащих углов. Тогда площадь четырехугольника можно найти по формуле Бретшнайдера.

,
где s — полупериметр.

Площадь четырехугольника по четырем сторонам и двум противолежащим углам

Вы знаете длины четырех сторон и длины диагоналей. Тогда площадь четырехугольника тоже можно найти по формуле Бретшнайдера.

,
где s — полупериметр

Площадь четырехугольника по четырем сторонам и двум диагоналям

Вы знаете длины четырех сторон и то, что четырехугольник является вписанным в окружность. Тогда вы имеете дело с частным случаем формулы Бретшнайдера (сумма двух противолежащих углов известна и равна 180), известным как формула Брахмагупты.

,
где s — полупериметр

Для вычисления можно использовать калькулятор выше, введя произвольно два угла так, чтобы их сумма составляла 180.

Вывод самих формул Бретшнайдера можно посмотреть здесь.

Ну и напоследок еще раз упомяну, что зная только длины четырех сторон вычислить площадь четырехугольника нельзя, так как нельзя однозначно определить его вид — нужно еще какое-нибудь ограничивающее условие. Так как у нас на сайте довольно часто просили посчитать площадь четырехугольника только по четырем сторонам, то еще есть вот такой вот шуточный калькулятор: Площадь неправильного четырехугольника с заданными сторонами, который бесконечно рассчитывает такие площади.

Пусть имеется четырёхугольник с шарнирными соединениями сторон между собою. Основание его равно 6. Другие стороны: 1) 3, 4 и 5 (5, 4 и 3); 2) 4, 3 и 5 (5, 3 и 4); 3) 4, 5 и 3 (3, 5 и 4). При некотором положении сторон дружка относительно дружки, каждый из трёх четырёхугольников имеет максимальную площадь. У какого из трёх четырёхугольников максимум площади наибольший? Существуют ли какие-то критерии определения максимальности площади четырёхугольника?

задан 16 Апр ’13 9:37

1 ответ

Порядок следования сторон не влияет на площадь. Допустим, у нас имеется выпуклый четырёхугольник $%ABCD$% с основанием $%AD$%. Отрежем от него треугольник $%ABC$%, а потом приставим его к $%AC$% с разворотом. При этом порядок следования длин изменится — например, с $%3,4,5$% на $%4,3,5$%. Легко видеть, что при помощи таких действий можно получить любую из шести перестановок.

Максимум площади четырёхугольника с заданными длинами наблюдается у вписанного четырёхугольника. Эта задача встречается во многих сборниках. Сама максимальная площадь $%S$% может быть вычислена по формуле $$S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d),$$ где $%p$% — полупериметр. Для случая длин $%3,4,5,6$% имеем $%p=9$%, а площадь равна $%S=6sqrt<10>$%.

отвечен 16 Апр ’13 12:13

falcao
259k ● 2 ● 37 ● 50

Итак, чтобы четырёхугольник при заданных: a,b,c,d — имел максимальную площадь, должно выполняться условие: ac + bd = ef, где: e и f — диагонали четырёхугольника. Так?

Это один из критериев вписанности четырёхугольника. С равным успехом можно было бы говорить о том, что суммы противоположных углов равны 180 градусам. Некоторая проблема состоит в том, что когда нам даны только длины, мы не знаем ни диагоналей, ни углов. Поэтому здесь некоторый интерес может представлять построение вписанного четырёхугольника по заданным длинам сторон, но эта задача так или иначе известна.

Если четырёхугольник не является вписанным (что наиболее вероятно!), то его площадь может быть найдена путём разбиения на треугольники, а нахождение экстремальности этой величины производится способами, выходящими за рамки элементарной математики. Одним словом, вопрос о критериях нахождения максимальности площади четырёхугольника остаётся — по крайней мере, для автора вопроса — сложным и почти неприкасаемым, хотя для математика это не проблема или, по крайней мере, — при необходимости — она не очень сложна. Функциональная зависимость площади от взаимного расположения сторон всё-таки не ясна.

У Вас ведь в задаче даны длины сторон четырёхугольника, а не он сам. Вписанный чертырёхугольник с заданными длинами существует всегда, то есть при удачном вращении шарниров такой конфигурации можно достичь. И именно у него площадь будет максимально возможной. Порядок следования сторон никак не влияет: это доказывается очень простым рассуждением, которое я привёл.

Та-а-ак. Если повращать шарниры, то четырёхугольник с любым набором длин сторон можно вписать в окружность? Зачем же тогда вписанные четырёхугольники выделяют в особую совокупность — как вписанные! А каковы же тогда не вписанные (которые в принципе невозможно вписать в окружность), что они собою представляют? Или таковых вообще не существует? «Любой плоский шарнирный четырёхугольник можно вписать в окружность» — такой теоремы я ещё не встречал, к сожалению. Удивительно. Значит формула максимальной площади с полупериметрами верна всегда и на все случаи жизни. Забрезжил свет. Спасибо!

Да, всё именно так. Если Вам нужно доказательство, то я могу его привести. Как Вы понимаете, четырёхугольник не определяется длинами сторон, и среди таких фигур с заданными длинами и их порядком следования будет один вписанный и куча не вписанных. Просто начните со вписанного, и пусть он будет на шарнирах. Потом Вы его «сдавили», и он перестал быть вписанным. Типа, был прямоугольник, а из него сделали параллелограмм. Это разные четырёхугольники, и первый из них будет вписанным, а второй — нет.

Спасибо Вам. Доказательство приводить не след. Но из рассуждений явствует, что для всякого шарнирного плоского четырёхзвенника с заданными сторонами существует только одна окружность, в которую он может быть вписан. Таким образом, набор длин четырёх сторон (звеньев), максимальная площадь, охватываемая ими, и радиус описанной окружности есть нечто, функционально или логически связуемое. Одному заданному 4-звеннику соответствует одна окружность, однако заданной окружности соответствует множество 4-звенников, которые могут быть вписаны в неё.

Площадь четырёхугольника — это действительное число, характеризующее четырёхугольник в единицах измерения площади.

Рассмотрим плоские выпуклые четырёхугольники, то есть такие, у которых все четыре точки лежат в одной плоскости и для любых его (четырёхугольника) двух точек все точки отрезка принадлежат четырёхугольнику.

Содержание

[править] Обозначения

a — первая сторона;

b — вторая сторона;

c — третья сторона;

d — четвёртая сторона;

α — угол между сторонами a и b;

β — угол между сторонами b и c;

γ — угол между сторонами c и d;

η — угол между сторонами a и d;

d₁ — диагональ, соединяющая вершины углов α и γ;

d₂ — диагональ, соединяющая вершины углов β и η;

l₁ — средняя линия, соединяющая середины сторон a и c;

l₂ — средняя линия, соединяющая середины сторон b и d;

φ — угол (острый) между диагоналями;

ψ — угол (острый) между средними линиями;

p — полупериметр четырёхугольника;

S_четыр — площадь четырёхугольника.

[править] Формулы

[править] Формулы в векторной и координатной форме

[math]bar r_1=(x_1,y_1,z_1)[/math] — радиус-вектор первой точки;

[math]bar r_2=(x_2,y_2,z_2)[/math] — радиус-вектор второй точки;

[math]bar r_3=(x_3,y_3,z_3)[/math] — радиус-вектор третьей точки;

[math]bar r_4=(x_4,y_4,z_4)[/math] — радиус-вектор четвёртой точки;

[math]bar n=(A,B,C)[/math] — нормаль к плоскости, проходящей через три заданные точки;

S_Δ — площадь треугольника, построенного по трём заданным точкам;

S_четыр — площадь четырёхугольника, построенного по четырём заданным точкам.

[править] Формула Брахмагупты

Рассмотрим четырёхугольники, вокруг которых можно описать окружность и у которых порядок следования вершин 1, 2, 3, 4. Для нахождения их площади можно использовать формулу Брахмагупты.

a — длина стороны четырёхугольника, расположенной между первой и второй точками;

b — длина стороны четырёхугольника, расположенной между второй и третьей точками;

c — длина стороны четырёхугольника, расположенной между третьей и четвёртой точками;

d — длина стороны четырёхугольника, расположенной между первой и четвёртой точками;

p — полупериметр четырёхугольника, построенного по четырём заданным точкам.

Когда одна из сторон четырёхугольника стремится к нулю, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу Герона для площади треугольника.
Когда четырёхугольник является прямоугольником и a≠b, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу площади прямоугольника, S_{прямоуг}=ab, где c=a, d=b, p=a+b.
Когда четырёхугольник является равнобедренной трапецией и b=d, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу площади трапеции, S_{равн.трап}=h(a+c)/2, где h 2 =(p-a)(p-c), p-b=(a+c)/2.

Один из методов определения площади четырехугольника состоит в разбиении фигуры на два треугольника с помощью диагонали и в вычислении суммы площадей образовавшихся треугольников.

I. Предисловие

Вот ведь незадача: проболев две недели, вы пришли в школу и узнали, что пропустили очень важную тему, задачи по которой будут на экзаменах в 9 классе — «Треугольники, четырехугольники и их площадь». Вот тут бы кинуться к учителю геометрии с вопросами: «Как найти площадь четырехугольника?» Но половина учеников боится подходить к учителям, чтобы их не сочли отстающими, а вторая половина встречает от учителей «помощь», похожую на «Посмотри в учебник, там все написано!» или «Не надо было пропускать уроки!» Но в учебнике вообще нет никакой информации по поводу правил нахождения площади треугольников и четырехугольников. А уроки были пропущены по уважительной причине, есть справка от врача. Но многие учителя только махнут на эти доводы рукой. Конечно, их можно понять: им не платят за дополнительное вбивание материала урока в головы ничего не понимающих учеников. Многие ученики бросают это бесполезное дело и через год проваливаются на экзамене, не добрав десяток баллов за задачу по нахождению площади треугольников и четырехугольников. И только некоторые ходят в библиотеки и к знакомым с вопросом: «Как найти площадь четырехугольника?» А разные люди и книги дают разные ответы, и получается большая путаница правил. Ниже я назову основные способы нахождения площадей треугольников и четырехугольников.

II. Четырехугольники

Начнем с четырехугольников. В школах и на экзаменах рассматриваются только выпуклые четырехугольники, так что поговорим о них. На среднем уровне образования изучают площади параллелограммов и трапеции. Параллелограммы бывают нескольких видов: прямоугольник, квадрат, ромб и произвольный параллелограмм, в котором соблюдаются только основные его признаки: стороны попарно параллельны и равны, сумма соседних углов 180 о . Но способы нахождения площадей у всех этих фигур разные. Рассмотрим каждую по отдельности.

1. Прямоугольник

S прямоугольника находится по формуле: S = а * b, где а — горизонтальная сторона, b — вертикальная сторона.*

2. Площадь квадратов

S квадрата находится по формуле: S = а * а, где a — сторона квадрата.

3. Площадь ромбов

S ромба находится по формуле: S = 0,5 * (d_{1 *} d₂), где d₁ — большая дианогональ,** d₂ — меньшая диагональ.

4. Площадь произвольного параллелограмма

S произвольного параллелограмма находится по формуле: S = a * h_a, a — сторона параллелограмма, h_a — высота, проведенная к этой стороне.

Еще не все?

С параллелограммами мы закончили. «Надо выучить всего лишь это?» — облегченно спросите вы. Отвечаю: из параллелограммов — да, всего лишь это. Но еще остались трапеция и треугольники. Так что продолжаем.

III. Трапеция

Площадь трапеции

S трапеции можно находить одной формулой, будь она обычной или равнобедренной: S = ((а + b) : 2) * h, где a, b — ee основания, h — ee высота. Это все, что касается трапеции. Теперь на вопрос: «Как найти площадь четырехугольника?» — вы можете не только ответить сами, но и просветить других. А теперь переходим к треугольникам.

IV. Треугольник

В геометрии для нахождения их площади выделили три формулы: для прямоугольного, равностороннего и произвольного треугольников.

1. Площадь треугольника

S произвольного треугольника вычисляется по формуле: S = 0,5а * h_a,a — сторона треугольника, h_a — высота, проведенная к этой стороне.

2. Площадь равносторонних треугольников

S равностороннего треугольника можно найти по формуле: S = 0,5a * h, где a — основание треугольника, h — высота этого треугольника.

3. Площадь прямоугольных треугольников

Площадь прямоугольных треугольников находится по формуле: S = (а * b) : 2, где а — 1-й катет, b — 2-й катет.

Заключение

Ну вот, это, по-моему, все. Про треугольники тоже немного учить надо, не правда ли? А теперь обозрите все, что я здесь написала. «Елки-палки, чтобы это выучить, месяц понадобится!» — наверное, восклицаете вы. А кто говорил, что всё учится быстро? Но зато, когда вы все это выучите, вам не будут страшны вопросы по теме «Как найти площадь четырехугольника» или «Площадь произвольного треугольника» на аттестации в 9 классе. Так что, если вы хотите вообще хоть куда-нибудь поступить, учите, учитесь и будьте учеными!

Примечание

* — a и b не обязательно должны быть на поставленных мною местах. При решении задач можно вертикальную сторону назвать a, а горизонтальную — b;

** — диагонали можно поменять местами и изменить их названия так же, как и в примечании. *

Как найти площадь любого четырехугольника, квадрата ромба, трапеции и т.д.? Есть ли универсальная формула для расчета площади четырехугольника?

Диагонали любого четырёхугольника делят этот четырёхугольник на 4 треугольника.Пусть даны две диагонали произвольного четырёхугольника — d1 и d2 и острый угол между диагоналями А.Точка пересечения диагоналей делит их на 2 части.Пусть каждая диагональ состоит из двух частей , на которые делит их точка пересечения. Тогда : d1 = d11 + d12 , d2 = d21 + d22 ,

тогда площадь четырёхугольника состоит из 4-х треугольников .

S1 = d11 * d12 * sin A , S2 = d12 * d21 * sin (180 — A ) , S3 = d21 * d22 *sin A , S4 = d22 * d11 * sin (180 — A ) ,

S0 = S1 + S2 + S3 + S4 ,

Компануя части диагоналей придём к формуле :

S0 = d1 * d2 * sin A ,

общая формула для четырёхугольника.

Универсальной формулы для расчета площади любого четырёхугольника нет. Формулы зависят от исходных данных для расчета. Проще всего рассчитать площадь прямоугольного четырёхугольника, она равна произведению длин сторон пересекающихся в одной вершине, а для квадрата равна квадрату стороны. Для четырёхугольника с разными внутренними углами его площадь S = d1*d2*SinA, где d1 и d2 — диагонали четырёхугольника, А — угол между диагоналями в градусах. Как водно из этой формулы, для расчета площади требуется знать длины диагоналей, величину ушла и таблица синусов или калькулятор.

Например, площадь произвольного четырехугольника можно найти с помощью формулы полупериметра. А именно, S=корень из(p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d), где р — это полупериметр, a, b, c, d — стороны четырехугольника. Также формулы можно посмотреть на данном сайте http://school-collection.edu.ru/catalog/res/ac64dc47-1aa5-41e5-8045-d195ca6649c f/view/

Рассмотрим частные случаи нахождения площади четырёхугольника:

Квадрат со стороной а: S = a * a = a^2

Ромб со стороной а и острым углом А: S = a * a * sin A = a^2 * sin A

Прямоугольник со сторонами a и b: S = a * b

Трапеция с основаниями a, b и высотой h: S = h * (a + b) / 2

Параллелограмм со сторонами a, b и углом между ними А: S = a * b * sin A

Кроме того, существует формула нахождения площади, общая для всех видов четырехугольников:

S = d1 * d2 * sin A

В этой формуле d1 и d2 — диагонали четырёхугольника, а sin A — синус угла между ними.

Площадь четырехугольника довольно легко найти если знать две прилежащих сторон. Допусти сторона первая равняется 15 а вторая 10. Чтобы найти площадь нужно лишь перемножить числа. В данном случае будет 15*10=150. Надеюсь вы усвоили

Используем самую знаменитую формулу для вычисления площади треугольника :

S = 2 * a * 2 * b * sin ( угла между 2a , 2b) /2 .

Дано: 2 * a, 2 * b — стороны треугольника, (a * b) — значение площади треугольника.

Найти : угол (2a , 2b) .(угол между сторонами) .

Решение : S = 2 * a * 2 * b * sin(2a , 2b) / 2 = a * b ,

А это возможно только при значении синуса угла равном 0,5, то есть при синусе угла 30 градусов.

Значит угол между сторонами в треугольнике со сторонами 2a , 2b равен 30 градусам.

Что касается дополнительного угла равном 150 градусов, то равенство выполняется и приэтом значении угла.(sin 30 = sin 150 = 1/2.

Ответ: угол в треугольнике при исходных данных равен 30 градусам. .

Предположим треугольник ABC имеет стороны a, b и c. Если соединить центр вписанной окружности D с вершинами этого треугольника, то этот треугольник разбивается на 3 треугольника ABD, BCD, ACD. Теперь, если из центра этой вписанной окружности опустить перпендикуляры к сторонам треугольника ABC, то они будут являтся высотами составляющих треугольников ABD, BCD, ACD. Все эти высоты являются радиусами вписанной окружности и равны r. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей составляющих его треугольников ABD, BCD, ACD, а площадь каждого из них равна половине произведения основания на высоту. То есть S=ar/2 + br/2 + cr/2=r(a/2 + b/2 + c/2) = r(a + b + c)/2=rp, где p=(a + b + c)/2 — полупериметр. Что и требовалось доказать.

Но уж коли он любитель геометрии, то тут нужен такой подход. Если допустить, что окно у него было квадратное и его границы были вертикальны и горизонтальны, то тогда можно уменьшить окно по площади, повернув его на 90 градусов. Тогда высота окна в 2 метра будет лишь его диагональю, а площадь уменьшится при этом в два раза.

При перемещении круга вдоль одной из сторон правильного шестиугольника, наиболее удалённые от стороны шестиугольника точки круга начертят прямые, параллельные стороне шестиугольника. В итоге получится прямоугольник 4х8 см, к большим сторонам которого примкнуты полукруги. Так произойдёт при перемещении круга по каждой стороне шестиугольника. Внутренние части получившихся фигур перекрывают друг друга и площадь шестиугольника. Поскольку в задаче не требуется учесть перекрывание, то нам достаточно знать, что исходный шестиугольник полностью входит в результирующую фигуру. Его площадь 6*4*4*√(3)/4=24*√(3) см^2.

На каждой стороне шестиугольника с наружной стороны получились квадраты со стороной 4 см. Площадь каждого 4*4=16 см^2, а всех вместе 6*16=96 см^2. В оставшихся между квадратами промежутках получатся секторы кругов, всего 6 секторов, каждый по 1/6 части полного круга (по 60°). Площадь каждого из секторов равна Пи*4*4/6, а всех вместе 16*Пи см^2. Осталось всё сложить: Искомая площадь равна (24*√(3)+96+16*Пи) см^2.

На рисунке три прямоугольника: №1, №3 и №4. У этих прямоугольников разные пропорции, т. е. разное соотношение сторон. У прямоугольника №1 (голубого, на рисунке он в верхнем левом углу) длина почти в два раза больше ширины. Прямоугольник №3 (сиреневый) — сильно вытянут, его длина в три раза больше ширины. У прямоугольника №4 (зелёного) длинная сторона (длина) лишь чуточку больше высоты (ширины), он даже на первый взгляд обманчиво кажется квадратом.

Площадь прямоугольника равна произведению двух смежных (соседних, прилегающих к одному углу) сторон — длинной и короткой.

Это можно выразить следующей формулой:

S =a х b,

где S — площадь, а — длина, b — ширина прямоугольника.

Возьмём для примера прямоугольник №3 сиреневого цвета. На мониторе моего ноутбука короткая его сторона равняется 1 см, а длинная сторона равняется 3 см.

Перемножаем длины этих сторон: 1 х 3 = 3. Полученная цифра и есть площадь данного прямоугольника, равная 3 кв. см.

Если на плоскости последовательно начертить несколько отрезков так, чтобы каждый следующий начинался в том месте, где закончился предыдущий, то получится ломаная линия. Эти отрезки называют звеньями, а места их пересечения — вершинами. Когда конец последнего отрезка пересечется с начальной точкой первого, то получится замкнутая ломаная линия, делящая плоскость на две части. Одна из них является конечной, а вторая бесконечной.

Простая замкнутая линия вместе с заключенной в ней частью плоскости (той, которая конечна) называют многоугольником. Отрезки являются сторонами, а образованные ими углы — вершинами. Количество сторон любого многоугольника равно числу его вершин. Фигура, которая имеет три стороны, называется треугольником, а четыре — четырехугольником. Многоугольник численно характеризуется такой величиной, как площадь, которая показывает размер фигуры. Как найти площадь четырехугольника? Этому учит раздел математики — геометрия.

Чтобы найти площадь четырехугольника, нужно знать к какому типу он относится — выпуклому или невыпуклому? Выпуклый многоугольник весь лежит относительно прямой (а она обязательно содержит какую-либо из его сторон) по одну сторону. Кроме того, есть и такие виды четырехугольников, как параллелограмм с попарно равными и параллельными противоположными сторонами (разновидности его: прямоугольник с прямыми углами, ромб с равными сторонами, квадрат со всеми прямыми углами и четырьмя равными сторонами), трапеция с двумя параллельными противоположными сторонами и дельтоид с двумя парами смежных сторон, которые равны.

Площади любого многоугольника находят, применяя общий метод, который заключается в том, чтобы разбить его на треугольники, для каждого вычислить площадь произвольного треугольника и сложить полученные результаты. Любой выпуклый четырехугольник делится на два треугольника, невыпуклый — на два или три треугольника, площадь его в этом случае может складываться из суммы и разности результатов. Площадь любого треугольника вычисляют как половину произведения основания (a) на высоту (ħ), проведенную к основанию. Формула, которая применяется в этом случае для вычисления, записывается как: S = ½ • a • ħ.

Как найти площадь четырехугольника, например, параллелограмма? Нужно знать длину основания (a), длину боковой стороны (ƀ) и найти синус угла α, образованного основанием и боковой стороной (sinα), формула для расчета будет выглядеть: S = a • ƀ • sinα. Так как синус угла α есть произведение основания параллелограмма на его высоту (ħ = ƀ) — линию перпендикулярная основанию, то его площадь вычисляют, умножив на высоту его основание: S = a • ħ. Для расчета площади ромба и прямоугольника также подходит эта формула. Так как у прямоугольника боковая сторона ƀ совпадает с высотой ħ, то его площадь вычисляют по формуле S = a • ƀ. Площадь квадрата, потому что a = ƀ, будет равняться квадрату его стороны: S = a • a = a². Площадь трапеции вычисляется как половина суммы его сторон, умноженная на высоту (она проводится к основанию трапеции перпендикулярно): S = ½ • (a + ƀ) • ħ.

Как найти площадь четырехугольника, если неизвестны длины его сторон, но известны его диагонали (e) и (f), а также синус угла α? В этом случай площадь вычисляют, как половину произведения его диагоналей (линии, которые соединяют вершины многоугольника), умноженное на синус угла α. Формула может быть записана в таком виде: S = ½ • (e • f) • sinα. В частности площадь ромба в этом случае будет равняться половине произведения диагоналей (линии, соединяющие противоположные углы ромба): S = ½ • (e • f).

Как найти площадь четырехугольника, который не является параллелограммом или трапецией, его обычно принято называть произвольный четырехугольник. Площадь такой фигуры выражают через его полупериметр (Ρ — сумма двух сторон с общей вершиной), стороны a, ƀ, c, d и сумму двух противоположных углов (α + β): S = √[( Ρ – a) • (Ρ – ƀ) • (Ρ – c) • (Ρ – d) – a • ƀ • c • d • cos² ½ (α + β)].

Если четырехугольник вписан в окружность, а φ = 180о, то для расчета его площади используют формулу Брахмагупты (индийский астроном и математик, живший в 6—7 веках нашей эры): S = √[( Ρ – a) • (Ρ – ƀ) • (Ρ – c) • (Ρ – d)]. Если четырехугольник описан окружностью, то (a + c = ƀ + d), а его площадь вычисляют: S = √[ a • ƀ • c • d] • sin ½ (α + β). Если четырехугольник одновременно является описанным одной окружностью и вписанным в другую окружность, то для вычисления площади используют следующую формулу: S = √[a • ƀ • c • d].