Как найти площадь равнобедренного треугольника

1. Площадь равнобедренного треугольника можно найти, зная его сторону и основание.

2. Вторая формула позволяет найти его площадь через боковые стороны и угол между ними — это половина квадрата боковой стороны, умноженная на синус угла между боковыми сторонами

3. Третья формула показывает нахождение площади через боковую сторону, основание и угол при вершине.

4. Площадь равнобедренного треугольника можно также найти через сторону основания и угол при основании (углы при основании равны)

5. Площадь равнобедренного треугольника можно найти, опустив высоту из вершины на основание, в результате чего получится два прямоугольных треугольника. Далее — все очевидно. Половина произведения высоты на основание и есть искомая площадь.

6. Шестая формула получается, если попытаться найти площадь равнобедренного треугольника с помощью теоремы Пифагора.

Получите помощь лучших авторов по вашей теме

• Параметры для расчета
• Особенности вычислений, зная длину основания и высоту
• Площадь равнобедренного треугольника по трём сторонам
• Как посчитать, зная длину двух равных сторон и угол между ними
• Формула для расчета, зная длину основания и угол при основании
• Как посчитать площадь равнобедренного треугольника через одну сторону и прилежащие к ней углы

• Параметры для расчета
• Особенности вычислений, зная длину основания и высоту
• Площадь равнобедренного треугольника по трём сторонам
• Как посчитать, зная длину двух равных сторон и угол между ними
• Формула для расчета, зная длину основания и угол при основании
• Как посчитать площадь равнобедренного треугольника через одну сторону и прилежащие к ней углы

Площадь равнобедренного треугольника — это часть плоскости, заключенной внутри данной геометрической фигуры.

Параметры для расчета

Рассчитать площадь можно с помощью нескольких способов. Для начала приведем обозначения, которые будут использоваться в последующих формулах.

• а — длина одной из двух равных сторон треугольника;
• b — длина основания;
• (alpha) — величина одного из двух равных углов при основании;
• (beta) — величина угла между равными сторонами треугольника и противолежащего его основанию;
• h — длина высоты, опущенная из вершины равнобедренного треугольника на его основание.

Особенности вычислений, зная длину основания и высоту

Рассмотрим треугольник ABC. Если опустить из вершины В высоту, то мы получим два прямоугольных треугольника. Тогда (S=frac2.)

Задача

Боковая сторона равнобедренного треугольника ABC равна 13 см, а основание равно 10 см.

Найти: площадь равнобедренного треугольника.

Решение

Применим теорему Пифагора. Опустим из вершины B на основание AC высоту BK. Поскольку высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам, то длина половины основания будет равна:

Высота с половиной основания и стороной образует прямоугольный ΔABK. В нем нам известна гипотенуза AB и катет AK. Выразим длину второго катета через теорему Пифагора.

Тогда можно узнать высоту:

Площадь исходного ΔABC будет равна площади ΔABK и ΔCBK, образованных боковыми сторонами, высотой и половинами основания равнобедренного треугольника. Оба треугольника равны между собой. Гипотенузы — это стороны равнобедренного треугольника, поэтому они равны, один из катетов — общий, а поскольку BK одновременно является и биссектрисой, и высотой, то соответствующие углы тоже равны. Поэтому нам будет достаточно измерить площадь одного из них и умножить полученное число на два.

Применив формулу площади прямоугольного треугольника, получим:

Поскольку в составе ΔABC два равных ΔABK и ΔCBK, то общая площадь равнобедренного треугольника ABC составит:

Площадь равнобедренного треугольника по трём сторонам

Для нахождения S с помощью сторон, нужно воспользоваться формулой Герона:

Для этого равенства важно знать полупериметр:

Задача

Вычислить S ΔOMN, если OM=3 MN=3 NO=3.

Решение

Как посчитать, зная длину двух равных сторон и угол между ними

В таком случае S будет находиться, как половина квадрата боковой стороны, умноженная на синус угла между боковыми сторонами.

Если мысленно опустить высоту на боковую сторону равнобедренного треугольника, заметим, что ее длина будет равна (alphatimessin;beta) . Поскольку длина боковой стороны нам известна, высота, опущенная на нее теперь известна, половина их произведения и будет равна площади данного равнобедренного треугольника.

Полное произведение дает площадь прямоугольника, что очевидно. Высота делит этот прямоугольник на два малых прямоугольника, при этом стороны треугольника являются их диагоналями, которые делят их ровно пополам. Таким образом, площадь равнобедренного треугольника и будет равна половине произведения боковой стороны на высоту.

То есть формула будет такая же, как и в первом способе:

Задача

Стороны треугольника равны (2sqrt2) и (3) , S=3.

Найти: третью сторону.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними, то есть:

Отсюда находим, что6

Возможны два случая: (alpha=45^circ) или (alpha=135^circ.)

В каждом из них найдём третью сторону по теореме косинусов:

Следовательно, (a=sqrt<29>) или (a=sqrt5.)

Ответ: (a=sqrt<29>) или (a=sqrt5.)

Формула для расчета, зная длину основания и угол при основании

Тогда S рассчитывается как квадрат основания, деленный на четыре тангенса половины угла, образованного его боковыми сторонами.

Если присмотреться, то станет очевидно, что половина основания, умноженная на tg, даст нам высоту треугольника. Поскольку высота в равнобедренном треугольнике является одновременно биссектрисой и медианой, то tg — это отношение половины основания к высоте (frac<b>h.)

В итоге формула снова будет сведена к более простой:

Задача

В ΔABC AC=2, а (anglealpha=45^circ.)

Решение

Подставим данные значения в формулу и получим:

Как посчитать площадь равнобедренного треугольника через одну сторону и прилежащие к ней углы

Если известна одна сторона треугольника и два прилежащих к ней угла, то площадь данного треугольника вычисляется, как половина квадрата данной стороны умноженная на дробь, в числителе которой, произведение синусов прилежащих углов, а в знаменателе синус угла, который лежит напротив.

Противолежащий угол можно сосчитать по формуле:

Тогда площадь будет равна:

Задача

В ΔCDE CE=4, (anglealpha=45^circ,;anglegamma=45^circ.)

Решение

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то чтобы найти оставшийся угол, нужно из 180° вычесть 45° и 45°.

Получим 90°. Следует вписать данные значения в формулу, и тогда мы получим:

Консультации по выполнению всех типов работ

Равнобедренным треугольником называется фигура с двумя равными сторонами. В этом случае третья сторона считается основанием, а равные стороны – боковыми.

Если все стороны треугольника равны, то он считается правильным. Правильный треугольник также является равнобедренным.
Равнобедренный треугольник отличается следующими свойствами:

• Углы (α) при основании равны;
• Биссектрисы, медианы и высоты, исходящие из этих углов также равны между собой;
• Центры описанной и вписанной окружности лежат на одной прямой;
• Биссектриса, медиана и высота, проведенные из угла β к основанию b , равны между собой.

Существует множество способов нахождения площади равнобедренного треугольника. Для начала рассмотрим классический метод, для которого потребуется высота и основание. Зная эти параметры можно применить формулу площади равнобедренного треугольника:

То есть площадь равнобедренного треугольника равняется произведению высоты на половину длины основания.

Калькулятор нахождения площади равнобедренного треугольника: Высота треугольника = Основание треугольника =

Также найти площадь можно по формуле площади через три стороны, или как еще говорят – формуле Герона. Во многих случаях это значение находится через радиус вписанной окружности.
Найти площадь фигуры через стороны, применив метод Герона, можно по этой формуле.

Это выражение можно преобразовать в сокращенную формулу:

Для вычислений можно использовать две равные стороны и угол между ними.

Площадь равнобедренного треугольника важна для вычисления многих геометрических и математических задач. Например, определение площади любого многоугольника связано с его разделением на ряд треугольников и расчетом площади каждого из них.

Геометрическое тело, обладающее двумя равными сторонами и углами – есть частный случай простого разностороннего многоугольника.

Каждая из идентичных линий называется боковой, а третья – основанием.

Если в таком треугольнике опустить среднюю линию из его вершины на 3-ю сторону, то образовавшиеся два плоских тела будут идентичны (так как имеют все признаки подобия).

Площадь (S) фигуры с тремя углами возможно установить:

по двум сторонам и высоте;

через угол между двумя сторонами и величину одной из них;

по двум сторонам;

через синус противолежащего основанию угла;

зная синус прилежащего угла и др.

Площадь равнобедренного треугольника через высоту

Вычисление площади треугольника с использованием его высоты и параметров основания – самый актуальный вариант, на базе которого строятся многие другие методы решения.

У планиметрической фигуры с двумя тождественными углами и боковыми отрезками высота может рассматриваться, как медиана и биссектриса. То есть линия, проведенная из вершины, делит планиметрический объект на два эквивалентных прямоугольных треугольника.

И общая их площадь сводится к:

b — размер основания;

Требуется рассчитать S тупоугольного равнобедренного многоугольника. Его h=3 см, а длина b = 8 см.

Вычисления выглядят следующим образом:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Найти S планиметрического тела с двумя одинаковыми чертами, зная их параметры, возможно.

Для этого необходима теорема Пифагора, формулы которой видны на картинке,

и формула для отыскания S через биссектрису S = ½ * b * h.

После проведения медианы к середине 3-его отрезка, в равнобедренном треугольнике образуются 2 единообразных плоских тела с h между 2-мя катетами.

Таким образом, используя свойство сторон прямоугольного треугольника, выводим формулу, которая показана на картинке:

При высчитывание S равностороннего треугольника это выражение примет другой вид. Сравнить формулы нахождения площади равностороннего и равнобедренного треугольников можно, взглянув на картинку:

У остроугольного равнобедренного треугольника даны габариты боковины b = 3 см и базиса a = 2 см. Надлежит найти его S:

Площадь равнобедренного треугольника через синус угла

В геометрии встречаются задания по отысканию площади многоугольника с тремя схожими краями через данный угол и длину прилегающей стороны.

В этой ситуации определение размера h будет осуществляться с использованием угла, прилегающего к измеренной грани. Таким образом выводится выражение, которое хорошо иллюстрирует следующая картинка:

Посмотрим на рисунок, приведенный выше. Известно, что ∠ACB фигуры 30 градусов, а величина его боковой стороны AC = AB равняется 4 см. Требуется вычислить её S.

Формула площади равнобедренного треугольника через тангенс угла

Как правило, в планиметрии нередко встречаются задания по нахождению S треугольника, в котором определено значение стороны и угол.

Рисунок 1

Разнообразные равенства для решения задач, в том числе и нахождения S через тангенс угла, можно увидеть ниже:

Дан равнобедренный треугольник OPQ (см. рис. 1). Известны величины: основание OQ = 5 см и угол QOP = 45 0 . Требуется найти площадь треугольника OPQ.

Прежде всего посмотрим, как найти нам требуемую величину и какую применить формулу. Остановим свой выбор на формуле нахождения площади S по тангенсу угла.

Зная, что у нас равнобедренный треугольник, у которого углы у основания равны, найдем третий угол:

180 — 45 — 45 = 90 0 — угол OPQ.

S_OPQ = 5 2 /4 * tg 45° = 25/4 * 1 = 6, 25 см 2

Вот так, используя прежде всего знания о свойствах фигур, можно получать самые разнообразные способы вычисления той величины, какая требуется в задаче.

Формула

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника (рис. 1), необходимо вычислить произведение половины основания этого треугольника на его высоту:

Напомним, что треугольник называется равнобедренным, если его две стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами рассматриваемого треугольника, а третья сторона — основанием.

Примеры вычисления площади равнобедренного треугольника

Задание. Найти площадь равнобедренного треугольника $ABC$, если известно, что его основание равно 4 м, а высота, проведенная к этому основанию — 6 м.

Решение. Искомая площадь равна произведению высоты на основание, деленному на два:

Как найти площадь равнобедренного треугольника не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. Найти площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 5 см, а основание 8 см.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 2).

Проведем высоту $BH$. По свойству равнобедренного треугольника она является и медианой. Поэтому

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем его катет $BH$ :

Площадь равнобедренного треугольника ABC (рис 1) с боковой стороной a и основанием b можно вычислить, используя следующие формулы:

1. Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

2. Площадь равна квадрату боковой стороны на синус угла при вершине:

3. Так как полупериметр равнобедренного треугольника равен

то в этом случае формула Герона примет вид:

4. Через радиус описанной окружности:

где (R) – радиус описанной окружности.

5. Через радиус вписанной окружности и полупериметр:

[ S_ = left( a + frac <2>right) r ]