На сайте собраны инструкции и руководства для всего
Как переводить десятичные дроби в обыкновенные
В данной публикации мы рассмотрим, каким образом конечную или бесконечную десятичную дробь можно перевести в обыкновенную (простую). Также разберем решение примеров для лучшего понимания изложенного материала.
Правило перевода десятичной дроби в обыкновенную
Примеры
Конечные дроби
Бесконечные дроби
Правило перевода десятичной дроби в обыкновенную
Чтобы перевести десятичную дробь в простую, придерживаемся следующих правил:
1. Целая часть десятичной дроби – это то же самое, что и целая часть обыкновенной дроби, которая в данном случае будет являться смешанной. Примечание: если целая часть десятичной дроби равняется нулю, значит мы имеем дело с правильной простой дробью (числитель меньше знаменателя).
2. Цифры после запятой (дробная часть) в десятичной дроби пишем в числителе дробной части обыкновенной дроби. При этом, отбрасываем все нули.
3. В знаменателе дробной части простой дроби пишем единицу и количество нулей, равное количеству цифр после запятой в десятичной дроби. Примечание: Нули, которые иногда могут встречаться после цифр в дробной части десятичной дроби, не считаются (согласно основному свойству) и их можно отбросить.
Чтобы превратить бесконечную десятичную дробь в обыкновенную сначала ее следует округлить и только после этого выполнить перевод.
Для перевода бесконечных периодических десятичных дробей в простые дроби есть отдельная инструкция.
Примеры
Конечные дроби
Пример 1
Т.к. после запятой всего одна цифра, значит пишем один ноль после единицы в знаменателе, а в числитель переносим цифру 2.
Пример 2
Т.к. после запятой две цифры, значит пишем два нуля после единицы в знаменателе. А в числитель переносим только цифры, отличные от нуля.
Пример 3
Т.к. нули после цифр в дробной части десятичной дроби можно отбросить, следовательно, остаются только две цифры, а значит – всего два нуля с единицей в знаменателе. Числитель, как и в примере выше, будет содержать только одну цифру 2.
Пример 4
Целую часть десятичной дроби переписываем в целую часть простой смешанной дроби, а дробную часть представляем в виде числителя и знаменателя. Полученную дробь, также, можно записать как неправильную.
Любую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Для этого надо просто записать её со знаменателем.
Главное правило в переводе десятичной дроби в обыкновенную — как читается десятичная дробь, так и пишется обыкновенная. Например:
2,3 — две целых три десятых.
Так как дробь имеет целую часть, то перевести её мы можем или в смешанное число или в неправильную дробь:
2,3
=
23
= 23
.
10
10
Если у десятичной дроби нет целой части, например:
0,75 — ноль целых семьдесят пять сотых,
то её можно сразу перевести в правильную обыкновенную дробь и, если нужно (по необходимости), сократить:
0,75
= 75
= 3
.
100
4
Перевод обыкновенной дроби в десятичную
Не любую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную, так как чтобы записать обыкновенную дробь в виде десятичной, надо привести её к знаменателю, представляющему собой единицу с одним или несколькими нулями, например: 10, 100, 1000 и т. д. Если разложить такой знаменатель на простые множители, то получится одинаковое количество двоек и пятёрок:
100 = 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5;
1000 = 10 · 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5.
Никаких других простых множителей эти разложения не содержат, следовательно:
Обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной только в том случае, если её знаменатель не содержит никаких других множителей, кроме 2 и 5.
При разложении её знаменателя на простые множители получается произведение 2 · 2:
3
= 3
.
4
2 · 2
Если домножить его на две пятёрки, чтобы уравнять количество пятёрок с двойками, то получится один из нужных знаменателей — 100. Чтобы получить дробь равную данной, то числитель тоже надо будет умножить на произведение двух пятёрок:
3
= 3 · 5 · 5
= 75
=
0,75.
4
2 · 2 · 5 · 5
100
Рассмотрим ещё одну дробь:
5
.
14
При разложении её знаменателя на простые множители получается произведение 2 · 7, содержащее число 7:
5
= 5
.
14
2 · 7
Множитель 7 будет присутствовать в знаменателе, на какие бы целые числа его ни умножали, поэтому произведение, содержащее только двойки и пятёрки никогда не получится. Значит данную дробь нельзя привести ни к одному из нужных знаменателей: 10, 100, 1000 и так далее. То есть её нельзя представить в виде десятичной.
Обыкновенную несократимую дробь нельзя представить в виде десятичной, если её знаменатель содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.
Обратите внимание, что в правиле написано только о несократимых дробях, потому что некоторые дроби после сокращения, можно представить в виде десятичных. Рассмотрим две дроби:
5
и 7
.
14
14
Первая дробь является несократимой и, как мы уже выяснили, её нельзя представить в виде десятичной. Во второй дроби числитель и знаменатель можно сократить на 7, то есть на тот простой множитель, который мешает в первой дроби:
7
= 7 : 7
= 1
.
14
14 : 7
2
Теперь осталось только умножить оба члена дроби на 5, чтобы получить 10 в знаменателе, и можно будет переводить дробь в десятичную:
Десятичные дроби — это дробные числа, которые представлены в десятичной записи.
Десятичные дроби используются для более компактной записи правильных обыкновенных дробей, знаменателями которых являются числа 10, 100, 1000 и т.д. и смешанные числа, знаменателями дробной части которых являются числа 10, 100, 1000 и т.д.
Например, обыкновенную дробь 8 10 можно записать в виде десятичной дроби 0,8, а смешанное число 405 8 100 — в виде десятичной дроби 405,08.
Онлайн калькулятор для преобразование десятичных дробей в обыкновенные дроби позволяет быстро перевести десятичные дроби в обыкновенные дроби.
Чтобы получить обычную дробь из десятичной, нужно выполнить следующее:
1. Посчитать, сколько цифр стоит после запятой. Например, у дроби 1,75 таких цифр две, а у 0,0025 — четыре. Обозначим это количество буквой n.
2. Переписать исходное число в виде дроби вида a 10 n , где a — это все цифры исходной дроби (без «стартовых» нулей слева, если они есть), а n — то самое количество цифр после запятой, которое мы посчитали на первом шаге. Другими словами, необходимо разделить цифры исходной дроби на единицу с n нулями.
3. По возможности сократить полученную дробь.
0,64 = 64 100 = 16 25
Как видим, в дроби 0,64 после запятой стоит две цифры — 6 и 4. Поэтому n = 2. Если убрать запятую и нули слева (в данном случае — всего один ноль), то получим число 64.
Переходим ко второму шагу: 10 n = 10 2 = 100, поэтому в знаменателе стоит именно сто.
Затем остаётся лишь сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. НОД (64, 100) = 4.
Что вы узнаете
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?
Как перевести обыкновенную дробь в десятичную?
Преобразование десятичной дроби в обыкновенную
Если вам нужно сложить или умножить обыкновенную дробь и десятичную, обязательно преобразуйте десятичную дробь в обыкновенную. Сделать это очень просто.
Если получившийся числитель делится на 2 2 2 или 5 5 5 , то дробь можно сократить.
Соответствие некоторых десятичных дробей обыкновенным нужно просто помнить:
Преобразование обыкновенной дроби в десятичную
Можно выполнить и обратное преобразование. Правда, далеко не любую обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную дробь.
В задачах первой части ЕГЭ ответ необходимо записать в виде десятичной дроби. Поэтому важно научиться быстро и без ошибок преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные.
Самый бесхитростный способ получить из обыкновенной дроби десятичную — поделить в столбик.
Такой способ, тем не менее, не позволит быстро выяснить, можно ли вообще представить дробь в виде конечной десятичной дроби. Например, можно безуспешно делить в столбик 7 7 7 на 2 4 24 2 4 и получать все новые цифры (а может быть, где-то раньше была ошибка и на самом деле вы делили зря, а правильный ответ — 7 2 5 = 2 8 1 0 0 = 0 , 2 8 frac<7><25>=frac<28><100>=0,28 2 5 7 = 1 0 0 2 8 = 0 , 2 8 ).
Поэтому мы опишем способ, на первый взгляд более сложный, который сэкономит вам кучу времени на экзамене или контрольной.
Итак, какие дроби можно представить в виде конечной десятичной? Дробь a 1 0 k frac <10^k>1 0 k a , где a a a — любое целое число, — можно.
Сформулируем критерий того, что обыкновенную дробь можно преобразовать в конечную десятичную.
Чтобы пользоваться этим свойством, запомните наизусть первые несколько степеней двойки и пятерки:
Отметьте теперь все дроби, которые можно преобразовать в конечную десятичную:
Как правило, во взрослой жизни мы не сталкиваемся с обыкновенными дробями, а пользуемся лишь десятичными. Поэтому с годами знания, приобретенные в школе, даже такие простые, немного забываются.
Но потом, когда наши дети приходят со школы и просят нас помочь с домашним заданием, нам приходится заново вспоминать, как перевести десятичную дробь в обычную.
Я расскажу о двух способах перевода одного вида дроби в другой. Эти способы имеют один и тот же смысл, но:
первый намного проще для ребенка, который только-только начинает знакомиться с дробями,
второй – намного быстрее.
Способ 1.
Выберем для примера две десятичные дроби: 2,18 и 4,125.
В числитель (то, что сверху) записываем полностью десятичную дробь. В знаменатель (снизу) – 1.
Теперь умножаем и числитель, и знаменатель на 10 до тех пор, пока не избавимся от всех знаков после запятой.
Главное не забывать умножать и числитель, и знаменатель. Иначе получится неверный ответ.
Полученные дроби сокращаем насколько это возможно. То есть делим и числитель, и знаменатель на общий делитель.
Теперь выделяем целую часть.
Способ 2.
Я выберу три десятичные дроби: 3,86, 5,5 и 1,7, и сразу на их примере простыми словами расскажу, как из них получить обыкновенные.
Для начала мы смотрим, сколько знаков стоит после запятой.
3,86 – два знака; 5,5 – один знак; 1,007 – три знака.
Целую часть из дроби просто переписываем.
В числитель записываем дробную часть, а в знаменатель – 10 n , где n – количество знаков после запятой. То есть если один знак после запятой, то делим на 10 1 = 10, если два – на 10 2 = 100, если три – на 10 3 = 1000 и так далее.
Теперь сокращаем дробь насколько это возможно – делим и числитель, и знаменатель на одно и то же число столько раз, пока у них не останется общих делителей.
Во втором способе уже есть подсказка, когда мы десятичную дробь произносим вслух. Например, дробь 3,86 мы произнесем как «три целых восемьдесят шесть сотых», 5,5 – «пять целых пять десятых», а 1,007 – «одна целая семь тысячных». Вот и подсказка: сотых – значит, делить надо на 100, десятых – на 10, тысячных – на 1000.
Второй способ гораздо быстрее первого, потому что мы сразу считаем количество знаков после запятой и делим на число 10, возведенное в такую же степень, как и количество знаков.
Заключение
В этой статье я подробно описала алгоритм перевода десятичной дроби в обыкновенную. Как видите, все очень просто и теперь не будет вызывать у вас трудности в решении подобных задач.
Что такое дробь?
Для начала вспомним, что такое обыкновенная дробь. Это число, которое обозначает часть единицы, чего-то целого. Для того, чтобы использовать подобные числа в расчетах, нам нужно знать, на сколько частей поделили единицу и сколько частей мы взяли для расчета.
Например, вы решаете задачу, где сказано, что папа съел одну четвертую часть пирога. Нужно посчитать, сколько калорий употребил папа. В этом случае, для расчета нам потребуется дробь, которая обозначит часть пирога. Значит, пирог – это целое. На сколько частей поделили пирог?
Дробь записывается в виде двух чисел, разделенных чертой. Верхнее число зовется числителем. Как раз оно и отображает количество съеденных кусков. Тогда как знаменатель, это общее количество кусочков, на которое разделили целое.
Если числитель и знаменатель равны, то никакой дроби не получится. Получится число: 1. Так же, если числитель является кратным для знаменателя, то дробь сразу сокращают до целого числа.
Десятичная дробь
Десятичная дробь всегда считалась особым подвидом дробей. Это дробь, которая записана в строку с использованием запятой. Количество знаков после запятой обозначает степень 10, которая находится в знаменателе дроби. Но так как знаменатель можно определить, не записывая его, то число можно записать в строку.
Десятичная дробь благодаря упрощенным правилам счета и быстрой записи довольно быстро завоевала мир математики. Сегодня ни один расчет не обходится без использования подобных чисел.
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?
Выполним поэтапный перевод:
Для начала вспомним, что у десятичной дроби есть знаменатель, его просто не пишут. Но зато на знаменатель указывает количество знаков после запятой. Первым шагом мы просто считаем знаки. После чего возводим 10 в получившееся число. Так мы узнали знаменатель будущей обыкновенной дроби.
0,0025 – 4 знака после запятой, значит в знаменателе будет число 10000
Второй шаг – узнать числитель. Для этого нужно убрать все нули и запятые слева от числа. То есть в нашем случае:
25 – такую процедуру называют отбрасыванием запятой.
Третий шаг это запись и сокращение получившейся дроби.
Что мы узнали?
Мы вспомнили, что такое обыкновенная и десятичная дробь. Поговорили о различиях между десятичными и обыкновенными дробями. Рассказали, как перевести десятичную дробь в обыкновенную. Привели пример такого перевода.
Говоря сухим математическим языком, дробь — это число, которое представляется в виде части от единицы. Дроби широко используются в жизни человека: при помощи дробных чисел мы указываем пропорции в кулинарных рецептах, выставляем десятичные оценки на соревнованиях или используем их для подсчета скидок в магазинах.
Представление дробей
Существует минимум две формы записи одного дробного числа: в десятичной форме или в виде обыкновенной дроби. В десятичной форме числа выглядят как 0,5; 0,25 или 1,375. Любое из этих значений мы может представить в виде обыкновенной дроби:
0,5 = 1/2;
0,25 = 1/4;
1,375 = 11/8.
И если 0,5 и 0,25 мы без проблем конвертируем из обыкновенной дроби в десятичную и обратно, то в случае с числом 1,375 все неочевидно. Как быстро преобразовать любое десятичное число в дробь? Существует три простых способа.
Избавляемся от запятой
Самый простой алгоритм подразумевает умножение числа на 10 до тех пор, пока из числителя не исчезнет запятая. Такое преобразование осуществляется в три шага:
Шаг 1: Для начала десятичное число запишем в виде дроби «число/1», то есть мы получим 0,5/1; 0,25/1 и 1,375/1.
Шаг 2: После этого умножим числитель и знаменатель новых дробей до тех пор, пока из числителей не исчезнет запятая:
0,5/1 = 5/10;
0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.
Шаг 3: Сокращаем полученные дроби до удобоваримого вида:
5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.
Число 1,375 пришлось три раза умножать на 10, что уже не очень удобно, а что нам придется делать в случае, если понадобится преобразовать число 0,000625? В этой ситуации используем следующий способ преобразования дробей.
Избавляемся от запятой еще проще
Первый способ детально описывает алгоритм «удаления» запятой из десятичной дроби, однако мы можем упростить этот процесс. И вновь мы выполняем три шага.
Шаг 1: Считаем, сколько цифр стоит после запятой. К примеру, у числа 1,375 таких цифр три, а у 0,000625 — шесть. Это количество мы обозначим буквой n.
Шаг 2: Теперь нам достаточно представить дробь в виде C/10 n , где C – это значимые цифры дроби (без нулей, если они есть), а n – количество цифр после запятой. К примеру:
для числа 1,375 C = 1375, n = 3, итоговая дробь согласно формуле 1375/10 3 = 1375/1000;
для числа 0,000625 C = 625, n = 6, итоговая дробь согласно формуле 625/10 6 = 625/1000000.
По сути, 10 n – это 1 с количеством нулей, равным n, поэтому вам не нужно заморачиваться с возведением десятки в степень — достаточно указать 1 с n нулей. После этого столь богатую на нули дробь желательно сократить.
Шаг 3: Сокращаем нули и получаем итоговый результат:
1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.
Дробь 11/8 — это неправильная дробь, так как числитель у нее больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. В этой ситуации мы вычитаем из 11/8 целую часть 8/8 и получаем остаток 3/8, следовательно, дробь выглядит как 1 и 3/8.
Преобразование на слух
Для тех, кто умеет правильно читать десятичные дроби, проще всего их преобразовать на слух. Если вы читаете 0,025 не как «ноль, ноль, двадцать пять», а как «25 тысячных», то у вас не будет никаких проблем с конвертацией десятичных чисел в обыкновенные дроби.
0,025 = 25/1000 = 1/40
Таким образом, правильное прочтение десятичного числа позволяет сразу же записать ее как обыкновенную дробь и сократить в случае необходимости.
Примеры использования дробей в повседневной жизни
На первый взгляд обыкновенные дроби практически не используются в быту или на работе и трудно представить ситуацию, когда вам понадобится перевести десятичную дробь в обычную за пределами школьных задач. Рассмотрим пару примеров.
Работа
Итак, вы работаете в кондитерском магазине и продаете халву на развес. Для простоты реализации продукта вы разделяете халву на килограммовые брикеты, однако мало кто из покупателей готов приобрести целый килограмм. Поэтому вам приходится каждый раз разделять лакомство на кусочки. И если очередной покупатель попросит у вас 0,4 кг халвы, вы без проблем продадите ему нужную порцию.
К примеру, необходимо сделать 12 % раствор для покраски модели в нужный вам оттенок. Для этого нужно смешать краску и растворитель, но как правильно это сделать? 12 % — это десятичная дробь 0,12. Преобразовываем число в обыкновенную дробь и получаем:
0,12 = 12/100 = 3/25
Зная дроби, вы сможете правильно смешать компоненты и получить нужный цвет.
Заключение
Дроби широко используются в повседневной жизни, поэтому если вам часто необходимо преобразовывать десятичные значения в обыкновенные дроби, вам пригодится онлайн-калькулятор, при помощи которого можно мгновенно получить результат в виде уже сокращенной дроби.