Присоединяйтесь!
Регистрация займет несколько секунд
Мало кто знает, что .
Тем не менее предприму еще одну попытку.
Всем известно, что при черчении используется два основных инструмента: циркуль и линейка, а давайте представим, что циркуля у нас нету и попробуем почертить используя одну безразмерную притом бесконечную линейку.
На данный момент времени накопился целый раздел задачек на эту тему. Если найду тут тех кто заинтересуется буду выкладывать.
Начну с самого простого, так сказать, с основ.
1. Дан отрезок и параллельная ему прямая.
а) определить центр отрезка (поделить его на 2 части).
б) удвоить отрезок.
Выкладывайте!
3. Даны две пересекающихся (в точке А) прямых и произвольная точка В, не принадлежащая прямым.
Построить отрезок принадлежащий прямой соединяющей А и В, при условии, что точка пересечения заданных прямых недоступна.
4. Даны 3 пересекающихся в 1 точке прямых a, b, c, известно что а перпендикулярна к с.
Удвоить угол между а и b (a^b).
Ладно, даю подсказку по 3ьей:
Любой способ при помощи которого возможно построить прямую параллельную двум другим параллельным прямым, подходит для построения прямой принадлежащей тому же пучку прямых (обзовем прямые имеющие общую точку пересечения — пучком) что и 2 произвольных прямых, можно применять и в обратном направлении, любой способ позволяющий построить прямую принадлежащую пучку, позволяет построить прямую параллельную 2 параллельным прямым.
Это обусловлено тем, что параллельные прямые можно рассматривать как пересекающиеся, но точка их пересечения бесконечно удалена. При таком допущении, все иные законы Эвклидовой геометрии продолжают выполняться.
Берете и применяете Ваш способ трапеции для параллельных, решаете задачу №3.
Самих решений, при применении одной линейки достаточно много.
Альтернативная формула:
Прямая, проходящая через точку M1(x1; y1) и параллельная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением
назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения параллельной прямой (см. также как составить уравнение перпендикулярной прямой).
Пример №2 . Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 5y = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.
Решение. Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой 2x + 5y + C = 0. Площадь прямоугольного треугольника , где a и b его катеты. Найдем точки пересечения искомой прямой с осями координат:
;
.
Итак, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Подставим в формулу для площади: . Получаем два решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y – 10 = 0 .
Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 5) и параллельной прямой 5x-7y-4=0 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 5 /7x – 4 /7 (здесь a = 5 /7). Уравнение искомой прямой есть y – 5 = 5 / 7(x – (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0 .
Пример №4 . Решив пример 3 (A=5, B=-7) по формуле (2), найдем 5(x+2)-7(y-5)=0.
Пример №5 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2;5) и параллельной прямой 7x+10=0.
Решение. Здесь A=7, B=0. Формула (2) дает 7(x+2)=0, т.е. x+2=0. Формула (1) неприменима, так как данное уравнение нельзя разрешить относительно y (данная прямая параллельна оси ординат).
«Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе?» (Платон)
28 апреля 2012 г.
Параллельная прямая через заданную точку
Как известно, через точку, лежащую вне прямой, можно провести прямую, параллельную данной. Вопрос о том, сколько именно их можно провести — это вопрос выбора конкретной геометрии. У Эвклида на плоскости такая прямая единственна…
Речь не о том. Речь о том, как школьники и студенты воспринимают задачу построения такой прямой классическим способом — циркулем и линейкой. Бóльшая часть сначала построит через указанную точку перпендикуляр к данной прямой (этому построению в школе вроде бы учат!), а затем перпендикуляр к только что построенному перпендикуляру через ту же точку.
Это работает, но очень нерационально. Между тем существует гораздо более простой и изящный способ провести параллель к данной прямой через данную точку, и доказательство его правильности является отличной геометрической задачей.
Итак, пусть дана точка А и прямая ВС, не проходящая через эту точку. (Точки В и С можно выбрать на прямой произвольно.) Требуется построить прямую AD, параллельную ВС.
Это делается следующим образом.
- Провести окружность радиусом АВ с центром в точке С.
- Провести окружность радиусом ВС с центром в точке А.
- Окружности пересекутся в двух точках, одна из которых — точка D — лежит по ту же сторону от прямой, что и точка А.
Прямая, соединяющая точки А и D, параллельна исходной прямой ВС.
среда, 14 января 2015 г.
Урок 3. Параллельные и перпендикулярные прямые
В жизни Вы не раз встречались с четырьмя неразвёрнутыми углами, которые образуются при пересечении прямых. Выясним, какими углами окажутся все эти углы, если один из них будет прямым. Как называют в этом случае пересекающиеся прямые ?
Построим прямой угол АОВ . Проведём лучи ОС и О D , как продолжение лучам ОА и ОВ .
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.
Чтобы отрезки назывались перпендикулярными должно выполняться два условия: отрезки должны пересекаться, а угол пересечения между ними должен равняться 90 ° .
На чертеже прямой угол отмечают квадратом.
Для проведения перпендикулярных прямых используют чертёжный угольник
Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра. Перпендикулярность прямых обозначают знаком ⊥ . Запись а ⊥ b читается так:
«Прямая а перпендикулярна прямой b ».
Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную к ней прямую и только одну. С любой точки, которая не лежит на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр и только один.
Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.
Если две прямые перпендикулярны к третьей прямой, то они между собой параллельны. Расстояние между параллельными прямыми – это длина перпендикуляра, опущенного из выбранной точки на одной прямой к другой.
Свойства перпендикулярных прямых.
– если каждая из двух прямых перпендикулярна третьей, то эти прямые параллельны ;
– перпендикулярный отрезок от точки до прямой или отрезка будет называться расстоянием от точки до прямой ;
– расстояние от прямой до прямой так же является перпендикуляром, опущенным из любой точки одной прямой на другую прямую.
Рассмотрим прямую a и точку M, не лежащую на этой прямой (Рис.1). Докажем, что через точку M можно провести прямую, параллельную прямой a.
Проведем через точку M прямую c, перпендикулярно прямой a, и прямую b, перпендикулярно прямой c (Рис.2).
Поскольку a и b перпендикулярны прямой с, то они параллельны (статья Перпендикулярные прямые Теорема 1 и статья Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых Определение 1). Таким образом через точку M проходит прямая, параллельная прямой a.
Возникает вопрос, существует ли другая прямая, проходящая через точку M параллельно прямой a. Интуитивно ясно, что если немного повернуть прямую b вокруг оси M, то прямые b и a пересекутся. Но доказать это утверждение до сих пор не удалось. основываясь на стальных аксиомах геометрии.
Таким образом имеем это утверждение в виде аксиомы:
Аксиома 1. Через точку, не лежащую на данной прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствие 1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Доказательство. Пусть заданы параллельные прямые a и b и пусть прямая c пересекает a в точке M (Рис.3). Докажем, что прямая c пересекает и прямую b.
Предположим обратное, т.е. c не пересекает b. Тогда получается, что через точку M проходят две прямые a и c параллельно прямой b, что невозможно (Аксиома 1). Следовательно прямая с пересекает и прямую b.
Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Действительно. Предположим, что прямые a и b параллельны прямой c. Докажем, что прямая a параллельна прямой b. Предположим обратное, т.е. прямые a и b пересекаются в точке M (Рис.4). Тогда получается, что через точку M проходят две прямые, параллельные прямой c. Но это невозможно (Аксиома 1). Значит прямые a и b параллельны.
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.
Через точку А(2;5) провести прямую параллельной прямой 2x+3y-1=0
Через точку А(2;5) провести прямую параллельной прямой 2x+3y-1=0
Составить уравнение прямой, проходящей через точку под углом к данной прямой
Ребятки, помогите решить задание, стоит вопрос об исключении из института, сижу не могу помочь.
Найти каНоническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данной прямой
Найти кагоническое уравнение прямой проходящей через точку A параллельно прямой l A(2;-5;9).
Провести прямую через точку перпендикулярно другой прямой
Провести прямую через точку A(0,-2,1) перпендикулярно другой прямой ссылка удалена вот часть моего.
Вложения
| трапеция.rar (235.4 Кб, 35 просмотров) |
С помощью циркуля и линейки было бы слишком просто.
И условий куча лишних — с помощью циркуля достаточно иметь только прямую и точку.
Здесь существенно то, что на прямой имеется отрезок с серединой.
А это уже построение с помощью одной линейки.
Итак. Пусть дана прямая, на ней три точки A, B, C
Дана точка D вне прямой. [AB] = [BC]
Проводим прямые (DA), (DC)
Проводим прямую (D,B). На ней выбираем произвольную точку K.
Через точки А и К проводим прямую, получаем пересечение (AK) и (DC) в точке L.
Через точки C и К проводим прямую, получаем пересечение (CK) и (DA) в точке M.
Прямая ML параллельна AC (доказательство — в качестве домашнего задания).
Мы пришли к условию известной олимпиадной задачи — построить прямую, проходящую через точку и параллельную двум другим прямым.
Отрезки [ML] и [DB] пересекаются в точке N.
Проводим две прямые — (AN) и (BL)
Эти прямые пересекутся в точке P.
Прямая (DP) — искомая
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.
Провести прямую параллельную данной через точку
Дана точка М(2;-5;3) необходимо провести прямую параллельную begin
Провести через точку пересечения плоскости с прямой прямую, лежащую
Провести через точку пересечения плоскости x+y+z-1=0 с прямой
Через прямую построить плоскость, параллельную второй прямой
Уважаемые посетители форума, помогите пожалуйста с решением задачи: Через прямую x=2t+1, y=-2+2.
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно.
Его называют общим уравнением. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 < By + C = 0>— параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 < Ax + C = 0>– параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – совпадает с осью Ох
Уравнение прямой на плоскости может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой Ах + Ву + С = 0.
Пример 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору n(3, -1).
Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно, С = -1. Окончательно получим: 3х – у – 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через две точки:
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости, записанное выше, упрощается:
Дробь = k называется угловым коэффициентом .
Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Если общее уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то получим уравнением прямой с угловым коэффициентом k .
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор.
Определение. Каждый ненулевой вектор ( α1 , α2 ), компоненты которого удовлетворяют условию А α1 + В α2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Пример 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) с направляющим вектором (1, -1).
Решение.Будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда получим вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое:
Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или
, где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения с осью Оу.
Пример 4. Задано общее уравнение х – у + 1 = 0. Найти его в виде уравнение прямой в отрезках.
С = 1, , а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой
Если уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 умножить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим
xcosφ + ysinφ — p = 0 –
нормальное уравнение. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С 2 .
Решение.Искомое уравнение имеет вид: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.
Провести прямую параллельную заданной через точку
вот в этой теме, там откудато появилось 2 уравнения прямой. -.
Провести прямую параллельную данной через точку
Дана точка М(2;-5;3) необходимо провести прямую параллельную begin
Через точку A провести прямую, параллельную l и перпендикулярную l
Ребят, помогите, кому не сложно с задачкой. «Дана прямая l: 2x-3y-4=0 . Дана точка А(-2;3). Через.
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.
Через точку провести прямую, параллельную оси 0z
2)Через точку A(2,-3,8) провести прямую, параллельную оси 0z.Найти координаты точки пересечения.
Найти уравнение прямой проходящей через точку С и параллельную прямой АВ
Даны точки А, В, С своими координатами, найти уравнение прямой проходящей через точку С и.
Через прямую построить плоскость, параллельную второй прямой
Уважаемые посетители форума, помогите пожалуйста с решением задачи: Через прямую x=2t+1, y=-2+2.
Через любую точку, не лежащую на данной плоскости, можно провести прямую, параллельную последней
Тема «Теории 1-го порядка. Интерпретации» Через любую точку, не лежащую на данной плоскости, можно.