Как вычитать и складывать векторы

Что такое вектор?

Вектор – это отрезок с направлением.

Вектор и луч часто путают и допускают грубую ошибку. Вектор – это направленный отрезок, а любой отрезок имеет величину, то есть его можно измерить линейкой. Луч имеет начало и направление, но он бесконечен, то есть измерить его невозможно. Так же, как нельзя и складывать лучи между собой или луч с вектором.

Вектор иногда помещают в декартову систему координат. Тогда, проведя перпендикуляры к каждой из осей, можно получить проекции вектора на оси Ох и Оу. Каждая из этих проекций будет отрезком. При этом, если из проекций составить прямоугольник, то его гипотенуза и будет начальным вектором. Это иногда используется при сложении векторов.

Рис. 1. Вектор в системе координат.

Сложение и вычитание векторов

Способов и методов сложения векторов всего два. Существует и третий, но его не считают отдельным методом, так как он вытекает из первых двух. Но мы его рассмотрим отдельно, чтобы не возникало вопросов при дальнейшем изучении темы.

Правило многоугольника

Для того, чтобы сложить векторы правилом многоугольника, необходимо параллельным переносом совместить конец первого вектора с началом второго, конец второго с началом третьего и так далее, пока не кончатся векторы, которые необходимо сложить.

После этого нужно начало первого вектора соединить с концом последнего последнего вектора и указать направление. Получившийся вектор будет направлен в сторону последнего из участвовавших в сложении.

Складывать таким способом можно любое количество векторов. Если так складывается только два вектора, то способ называют правилом треугольника

Нужно понять и запомнить, что у отрезка одна определяющая величина: размер. У вектора определяющих величин две: размер и направление. Поэтому нельзя менять направление вектора и его размер. Любые действия нужно осуществлять с помощью параллельного переноса, то есть без изменения направления.

Рис. 2. Правило многоугольника.

Правило параллелограмма

Правило параллелограмма сложнее, его можно применять только для 2 векторов. Если вам нужно этим способом сложить большее количество векторов, например, три, то действие выполняют в следующем порядке:

• Складывают два любых вектора правилом параллелограмма. Результатом будет некий вектор и у нас остается еще один, который в сложении не участвовал.
• Получившийся и оставшийся векторы складывают по тому же правилу.
• Этот процесс можно повторять столько раз, сколько требуется по условию задачи.

Само правило параллелограмма заключается в том, что начала двух векторов совмещаются. После этого получившуюся фигуру достраивают до параллелограмма. Диагональ, которая выходит из начала двух векторов и есть результат сложения. Вектор должен быть направлен в противоположную сторону от совмещенного начала двух векторов.

Для того чтобы вычесть векторы любым способом, направление вектора, который является вычитаемым, меняют на противоположное. Получившиеся векторы складывают любым из методов.

Рис. 3. Правило многоугольника.

Сложение в декартовой системе

В декартовой системе все векторы раскладывают на проекции, после чего отрезки проекций складывают: проекции на ось Ох отдельно, на ось Оу отдельно. После из получившихся двух проекций снова собирают вектор.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое вектор. Поговорили о правилах сложения и вычитания векторов. Обсудили, чем отличается вектор от луча и обсудили метод действий с векторами в декартовой системе координат.

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

• Недавние изменения
• Управление медиафайлами
• Все страницы

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Пример 1. В треугольнике ABC АВ = 3, ВС = 4, ∠ В = 90°. Найти: $а), overrightarrow <|АВ|>+ overrightarrow<|ВС|>;,, б), |overrightarrow <АВ>+ overrightarrow<ВС>|$ .

Решение

а) Имеем: $|overrightarrow<АВ>| = АВ,,, |overrightarrow<ВС>| = ВС$ и, значит, $|overrightarrow<АВ>| + |overrightarrow| = 7$ .

б) Так как $overrightarrow + overrightarrow <ВС>= overrightarrow <АС>,,,,, то,, |overrightarrow <АВ>+ overrightarrow<ВС>| = |overrightarrow<АС>| = АС$ .

Теперь, применяя теорему Пифагора, находим $$ AC = sqrt = sqrt <9 + 16>= 5 т.е., |overrightarrow <АВ>+ overrightarrow<ВС>| = 5. $$

Понятие суммы векторов можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис.3).

Пример 2. Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найти: $а) |overrightarrow <ВА>— overrightarrow<ВС>|,;, б),, |overrightarrow <АВ>— overrightarrow<АС>|$ .

Решение а) Так как $overrightarrow <ВА>— overrightarrow <ВС>= overrightarrow<СА>text< , а >|overrightarrow<СА>| = аtext< , то >|overrightarrow <ВА>— overrightarrow<ВС>| = а$ .

б) Так как $overrightarrow <АВ>— overrightarrow <АС>= overrightarrow<СВ>text< , а >|overrightarrow<СВ>| = аtext< , то >|overrightarrow <АВ>— overrightarrow<АС>| = а$ .

Пример 3. Доказать, что если О, А, В и С — произвольные точки, то $overrightarrow <ОА>+ overrightarrow <АВ>+ overrightarrow <ВС>+ overrightarrow <СО>= 0$ .

Решение. Сумма векторов $overrightarrow <ОА>+ overrightarrow <АВ>+ overrightarrow <СВ>= overrightarrow<ОС>$ , вектор $overrightarrow$ — противоположный вектору $overrightarrow<ОС>$ . Поэтому $overrightarrow <ОС>+ overrightarrow <СО>= overrightarrow<0>$ .

Пример 4. Длина вектора AB равна 3, длина вектора AC равна 5. Косинус угла между этими векторами равен 1/15. Найдите длину вектора AB + AC.

Никто не будет спорить, что к месту назначения невозможно добраться не зная направления движения. В физике это понятие называется вектором. До этого момента мы с вами оперировали некоторыми числами и значениями, которые называются величинами. Вектор отличается от величины наличием направления.

При работе с вектором оперируют его направлением и величиной. Физический параметр без учета направления называют скаляром.

Визуально вектор отображают в виде стрелки. Длина стрелки — величина вектора.

В физике для обозначения векторов используют заглавную букву со стрелкой наверху.

Векторы можно сравнивать. Два вектора будут равны, если они имеют одинаковую величину и направление.

1. Сложение векторов

Вектора можно складывать. Результирующий вектор является суммой обоих векторов и определяет расстояние и направление. Например, вы проживаете в Киеве и решили проведать старых друзей в Москве, а оттуда сделать визит к любимой теще во Львов. Насколько далеко вы будете находиться от родного дома, гостюя у мамы жены?

Для ответа на этот вопрос вам надо начертить вектор от исходной точки путешествия (Киев) и до конечной (Львов). Новый вектор определяют результат всего путешествия от начала и до конца.

• Вектор А — Киев-Москва
• Вектор В — Москва-Львов
• Вектор С — Киев-Львов

С = А+В, где С — сумма векторов или результирующий вектор

2. Вычитание векторов

Вектора можно не только складывать, но и вычитать! Для этого надо совместить основания вычитаемого и вычитающего векторов и соединить их концы со стрелками:

• Вектор А = С-В
• Вектор В = С-А

3. Векторы и числа

Наложим на наши вектора координатную сетку. Для вектора А можно сказать, что он направлен на 5 клеток вверх (положительное значение оси Y) и на 3 клетки влево (отрицательное значение оси Х): X=-3; Y=5.

Для вектора В: направление на 4 клетки влево и 7 клеток вниз: X=-4; Y=-7.

Т.о., для сложения векторов по осям X и Y надо сложить их координаты. Чтобы получить координаты результирующего вектора по осям X и Y:

4. Разбиение векторов на координаты

Рассмотрим задачу: шар движется со скоростью 10м/с по наклонной плоскости с длиной основания X=1м, распложенной под 30° к горизонту. Требуется определить время, за которое шар переместится от начала к концу плоскости.

В данной задаче скорость является вектором V с величиной 10м/с и направлением α=30° к горизонтали. Чтобы определить скорость перемещения шара вдоль основания наклонной плоскости, нам надо определить X-составляющую перемещения шара, которая является скаляром (имеет только значение, но не направление) и обозначается V_x. Аналогично, Y-составляющая скорости также скаляр и обозначается V_y. Вектор скорости через составляющие: V = (V_x;V_y)

Определим составляющие (V_x;V_y). Вспоминаем тригонометрию:

Х-составляющая скорости шара:

V_x = V·cosα = V·cos30° = 10,0·0,866 = 8,66 м/с

Горизонтальная скорость шара равна 8,66 м/с.

Т.к. длина основания наклонной плоскости равна 1м, то это расстояние шар преодолеет за:

1,00(м)/8,66(м/с) = 0,12 с

Т.о., шару потребуется 0,12с для перемещения вдоль наклонной плоскости. Ответ: 0,12с

Интереса ради определим Y-составляющую скорости:

V_y = V·sinα = 10·1/2 = 5,0 м/с

Поскольку время «путешествия» шара одинаково для обеих составляющих, то можем определить высоту Y, с которой катился шар:

5,0(м/с)·0,12(с) = 0,6 м

Расстояние, пройденное шаром:

L = √1,00 2 + 0,60 2 = √1,36 = 1,16м

Обратная задача

Рассмотрим задачу, обратную предыдущей:

Шар переместился вдоль наклонной плоскости на высоту 0,6м, при этом в горизонтальной плоскости его перемещение составило 1,0м. Необходимо найти расстояние, пройденное шаром и угол.

Расстояние вычисляем по теореме Пифагора:

L = √1,00 2 + 0,60 2 = √1,36 = 1,16м

X = L·cosα; Y = L·sinα

X/L = cosα; Y/L = sinα

Теперь можно найти угол:

α = arccos(X/L); α = arcsin(Y/L)

α = arccos(1/1,16) = 30°

Промежуточное вычисление L можно исключить:

Y = X·tgα

α = arctg(Y/X)

Если вам понравился сайт, будем благодарны за его популяризацию 🙂 Расскажите о нас друзьям на форуме, в блоге, сообществе. Это наша кнопочка:

Код кнопки:
Политика конфиденциальности Об авторе

Сложив два вектора, в результате получим новый вектор.
Векторы могут располагаться один относительно другого:

• параллельно,
• не параллельно.

Складываем параллельные векторы

Если векторы параллельны, складывать так:

• А) К концу первого вектора приложить начало второго вектора
• Б) из начала первого вектора к концу второго вектора провести новый вектор

Примечание:

В этом уравнении над буквами используются значки векторов. Эти значки указывают на то, что действия выполняются с помощью геометрии. То есть, учитывается направление векторов.

Важно! Любое выражение, записанное в векторном виде, учитывает направление векторов.

Это можно пояснить так:

• сложив два числа 3 и 4 получим только одно решение (3 + 4 = 7).
• складывая два вектора с длинами 3 и 4, можно в результате получить вектор, длина которого лежит в диапазоне от «1» до «7».

1. Если векторы, которые складываем, были направлены в противоположные стороны, получим вектор, длина которого равняется единице.
2. А если векторы были сонаправленными – то длина результирующего вектора будет равна семи.
3. Ну а, если векторы были препендикулярными, то конечный вектор будет иметь длину, равную пяти.

Если векторы направлены в противоположные стороны, то результат сложения будет сонаправлен с более длинным вектором.

Складываем не параллельные векторы

Если векторы не параллельны (см. рис. ), для их сложения пользуются одним из двух правил:

1. правило треугольника;
2. правило параллелограмма;

Примечание:

Правило параллелограмма удобно применять к векторам, выходящим из одной общей точки (начала векторов совмещены).

Правило треугольника

К концу первого вектора приложить начало второго вектора

Из свободного начала к свободному концу провести вектор

Правило параллелограмма

Совместить начала векторов

Провести пунктиры, чтобы получить параллелограмм

Из точки, в которой находятся начала провести диагональ

Как вычитать векторы

Вычтем один вектор из второго вектора. В результате получим новый вектор.

Вектор «( -vec )» — это вектор «( vec )», развернутый в противоположную сторону.

Вычитание заменяют сложением. Складывают вектор с противоположно направленным вектором.

Складываем и вычитаем векторы, используя их координаты

Когда известны координаты двух векторов, сложение или вычитание провести достаточно легко. Для этого нужно сложить или вычесть соответствующие координаты векторов.

Для удобства обычно выписывают один вектор под другим.

( vec = left < b_; b_ ; b_ ;right> )

Примеры сложения векторов в физике

Напоминание:
Складывать и вычитать можно только те векторы, которые имеют одинаковую размерность. То есть, длина которых измеряется в одинаковых единицах.

Рассмотрим формулу связи между начальной и конечной скоростями при равноускоренном движении
( vec = vec> + vec cdot t )

Примечания:
— Скорость всегда направлена в ту сторону, в которую тело движется (в направлении движения тела).
— Ускорение направлено в сторону действия силы (из второго закона Ньютона).

Обратите внимание: Направление силы не всегда будет совпадать с направлением, в котором тело двигалось изначально.

Силу можно направить в любую сторону. Она будет толкать или тянуть тело в ту сторону, в которую она направлена. Поэтому, конечная скорость ( vec ), начальная скорость ( vec> ) и ускорение ( vec ) могут иметь различные направления.

Векторы складывают с помощью геометрии, то есть, учитывают их направления.
Поэтому, формула ( vec = vec> + vec cdot t ) записана в векторном виде.

Суммой двух векторов (mathbf) и (mathbf) называется третий вектор (mathbf), проведенный из начала (mathbf) к концу (mathbf), если начало вектора (mathbf) совпадает с концом вектора (mathbf). Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
(mathbf = mathbf + mathbf)

Суммой нескольких векторов (mathbf),(mathbf), (mathbf,;ldots) называется вектор (mathbf), получающийся в результате последовательного сложения данных векторов. Такая операция выполняется по правилу многоугольника.
(mathbf = mathbf + mathbf + mathbf + ldots + mathbf)

Коммутативный закон сложения
(mathbf + mathbf = mathbf + mathbf)

Ассоциативный закон сложения
(left( + mathbf> right) + mathbf = mathbf + left( + mathbf> right))

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
(mathbf + mathbf = left( <+ , + , + > right))

Разностью двух векторов (mathbf) и (mathbf) называется вектор (mathbf) при условии:
(mathbf = mathbf — mathbf), если (mathbf + mathbf = mathbf)

Разность векторов (mathbf) и (mathbf) равна сумме вектора (mathbf) и противоположного вектора (-mathbf):
(mathbf — mathbf = mathbf + left( -mathbf right) )

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
(mathbf — mathbf = mathbf <0>)

Длина нулевого вектора равна нулю:
(left| mathbf <0>right| = 0)

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
(mathbf — mathbf = left( <— , — , — > right))

Вы будете перенаправлены на Автор24

Откладывание вектора от данной точки

Перед тем как ввести понятие суммы, разности векторов и умножения вектора на число, вначале разберем такое понятие, как откладывание вектора от точки.

От любой точки $K$ можно отложить вектор единственный $overrightarrow$.

Доказательство.

Существование: Имеем два следующих случая:

Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором $overrightarrow$.

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Помощь со студенческой работой на тему
Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число

Сложение векторов. Правило треугольника

Рассмотрим векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$.

Также это определение называется правилом треугольника для сложения двух векторов.

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора $overrightarrow$ выполняется равенство

Для произвольных точек $A, B и C$ справедливо следующее равенство

Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Вычитание векторов

Рассмотрим векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$.

[overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow]

Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи

Решение.

По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что

[overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow]

Из определения 2, получаем, что

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор $overrightarrow$ и действительное число $k$.

Произведением вектора $overrightarrow$ на действительное число $k$ называется вектор $overrightarrow$ удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора $overrightarrow$ равна $left|overrightarrowright|=left|kright||overrightarrow|$;

Векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$ сонаправлены, при $kge 0$ и противоположно направлены, если $k

Обозначение: $ overrightarrow=koverrightarrow$.

Пример задачи

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Доказать, что $overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$

Доказательство.

Воспользуемся свойством правила треугольника $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:

Так как $overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow$

Векторы можно складывать способом параллелограмма и способом многоугольника.

Сложение векторов способом параллелограмма: сумма двух векторов а и Ъ, направленных под углом а (рис. 1.1, а), равна диагонали параллелограмма, сторонами которого являются складываемые векторы (т. е. векторы складываются геометрически).

С помощью символов эта операция записывается так: а + Ь = с.

При сложении этих векторов можно пользоваться правилом «треугольника». В этом случае к концу одного вектора приставляют начало второго (порядок сложения векторов не существен), тогда их суммой будет вектор с, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго вектора (рис. 1.2, б).

Длину вектора суммы (его модуль) определяют по теореме косинусов (рис. 1.2):

А= tJo 2 +b 2 -2abcos(180-a) = %/a 2 +b 2 + 2abcosa,

где a — угол между векторами а и Б.

Сложение векторов способом многоугольника (чаще применяется при сложении трех и более векторов): к концу первого вектора а приставляют начало второго Б, к концу второго — начало третьего сит. д., тогда результирующий вектор ё представляет собой направленный отрезок, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последне-

го d (рис. 1.3). Результирующий вектор ё не зависит от последовательности, в котором складываются заданные векторы.

Вычитание векторов — действие, обратное сложению векторов. Действительно, разность векторов а и Б можно представить как с = а -Ь = а + (-Б), т. е. для нахождения вектора разности необходимо сложить два вектора d и -Б, где -Б — противоположный вектор (рис. 1.4, а).

Другое правило вычитания векторов: чтобы произвести вычитание векторов а и Б (рис. 1.4, б), нужно совместить их начала и провести результирующий вектор с = а — Б из конца вычитаемого вектора — Б в конец уменьшаемого вектора а.

• Как происходит вычитание векторов
• Как производится вычитание векторов по координатам
• Основные правила вычисления
  • Правило треугольника
  • Правило параллелограмма
• Примеры задач на понятие разности векторов

Как происходит вычитание векторов

Вычитание векторов — это арифметическое действие в геометрии, при котором из одного вектора отнимают другой.

Чтобы вычесть (overrightarrow b) из (overrightarrow а) , нужно найти такой (overrightarrow с) , сложение которого с вектором (overrightarrow b) составляло бы (overrightarrow а) .

Таким образом, формула разности будет выглядеть так:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(overrightarrow а-overrightarrow b=overrightarrow а+left(-overrightarrow bright))

Если задан (overrightarrow а) , то можно построить противоположный ему (-overrightarrow а) , равный по длине, но противоположно направленный. Тогда происходит сведение двух противоположно направленных векторов к нулевому:

(overrightarrow а+left(-overrightarrow аright)=0)

Как производится вычитание векторов по координатам

Если необходимо произвести вычитание векторов по координатам, то следует просто вычесть соответствующие точки. То есть если из (overrightarrow а) отнимается (overrightarrow b) , то из X₁ отнимаем X_2, из Y₁ Y₂ и из Z₁ Z₂.

Проиллюстрируем координатное пространство:

Основные правила вычисления

Для того, чтобы найти значение разности векторов, можно использовать несколько способов.

Правило треугольника

Чтобы графически продемонстрировать разность, необходимо отложить от произвольной точки вектор (overrightarrow а) , из его начала (overrightarrow b) . Тогда вектор, начало которого совпадает с концом ( overrightarrow b) , а конец — с концом (overrightarrow a) , и будет искомым вектором разности (overrightarrow a;-;overrightarrow b) . Проиллюстрируем это:

Правило параллелограмма

Если два неколлинеарных, то есть непараллельных вектора (overrightarrow а) и (overrightarrow b) имеют общее начало, то их разностью является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на (overrightarrow а) и (overrightarrow b) , причем начало этой диагонали совпадает с концом (overrightarrow b) , а конец — с концом (overrightarrow а) .

Если векторы (overrightarrow а) и (overrightarrow b) заданы в некотором промежутке:

(overrightarrow a=left(а_1;а_2right),;overrightarrow b=left(b_1;b_2right))

то, чтобы найти координаты их разности (overrightarrow a;-;overrightarrow b) , необходимо от точек (overrightarrow a) отнять соответствующие точки (overrightarrow b) :

(overrightarrow a;-;overrightarrow b=left(a_1;a_2right)-left(b_1;b_2right)=left(a_1-b_1;a_2-b_2right))

Проиллюстрируем правило многоугольника:

Примеры задач на понятие разности векторов

Задача 1

Дано

(overrightarrow a;=left(2;-1right),;overrightarrow b=left(0;2right))

Найти: (overrightarrow с=2overrightarrow a-3overrightarrow b;)

Решение

Найдем координаты (2overrightarrow a) и (3overrightarrow b) . Для этого умножим каждую на два и три:

(2overrightarrow а=2timesleft(2;-1right)=left(2times2;2timesleft(-1right)right)=left(4;-2right), 3overrightarrow b=3timesleft(0;2right)=left(3times0;3times2right)=left(0;6right))

Тогда искомый вектор:

(overrightarrow с=2overrightarrow a-3overrightarrow b=left(4;-2right)-left(0;6right)=left(4-0;;-2-6right)=left(4;-8right))

Ответ: (overrightarrow с=left(4;-8right).)

Задача 2

Дано

Найти: координаты (overrightarrow-overrightarrow.)

Решение

Для начала найдем проекции (overrightarrow) и (overrightarrow) .

Для этого от координат конца вектора, то есть точек B и D, нужно отнять соответствующие проекции его начала, то есть точек А и С.

Тогда для нахождения координат разности (overrightarrow-overrightarrow) , от координат первого вычтем координаты второго: