Квадратное уравнение – уравнение вида , где
Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.
Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.
Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.
Дискриминант квадратного уравнения: .
Если > 0, квадратное уравнение имеет два корня: и .
Если = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень .
В этом уравнении , , .
Дискриминант уравнения равен > 0. Уравнение имеет два корня.
В этом уравнении .
Дискриминант уравнения равен . Уравнение имеет единственный корень.
Заметим, что в левой части уравнения находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, . Мы применили формулу сокращенного умножения.
Уравнение имеет единственный корень .
В этом уравнении .
Дискриминант уравнения равен .
Дискриминант уравнения равен > 0.
Уравнение имеет два корня.
Теорема Виета
Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.
Если и – корни уравнения , то , .
Например, в нашем уравнении сумма корней равна , а произведение корней равно .
Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.
Неполные квадратные уравнения
Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.
1) Рассмотрим уравнение .
В этом уравнении и . Очевидно, – единственный корень уравнения.
2) Рассмотрим уравнение . Здесь , а другие коэффициенты нулю не равны.
Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
3) Вот похожее уравнение:
.
Поскольку , уравнение можно записать в виде:
4) Пусть теперь не равно нулю и .
Его левую часть можно разложить на множители, вынеся за скобки. Получим:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Разложение квадратного трехчлена на множители
Здесь и – корни квадратного уравнения .
Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.
Например, наше уравнение
.
Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.
1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент а, который умножается на х², положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».
Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент а стал положительным. Получим:
.
Дискриминант этого уравнения равен
.
2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?
Вот, например, уравнение
.
Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты и делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:
Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: . А второй корень легко находится по теореме Виета.
3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
.
Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:
Как решить квадратное уравнение?
Как выглядит формула квадратного уравнения?
Какие бывают квадратные уравнения?
Что такое полное квадратное уравнение?
Что такое неполное квадратное уравнение?
Что такое дискриминант?
Сколько корней имеет квадратное уравнение?
Эти вопросы вас больше не будут мучить, после изучения материала.
Формула квадратного уравнения:
ax 2 +bx+c=0,где a≠0
где x — переменная,
a,b,c — числовые коэффициенты.
Виды квадратного уравнения
Пример полного квадратного уравнения:
3x 2 -3x+2=0
x 2 -16x+64=0
Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:
Формула дискриминанта:
Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:
Корни квадратного уравнения
Если D=0, уравнение имеет один корень
корень уравнения
Если D 2 -x-6=0
Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.
Коэффициент a всегда стоит перед x 2 , коэффициент b всегда перед переменной x, а коэффициент c – это свободный член.
a=1,b=-1,c=-6
Находим дискриминант:
D=b 2 -4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-6)=1+24=25
Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:
Нахождения корней по дискриминанту
Пример №2:
x 2 +2x+1=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=1,b=2,c=1
Далее находи дискриминант.
D=b 2 -4ac=(2) 2 -4∙1∙1=4-4=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:
x=-b/2a=-2/(2∙1)=-1
Пример №3:
7x 2 -x+2=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=7,b=-1,c=2
Далее находи дискриминант.
D=b 2 -4ac=(-1) 2 -4∙7∙2=1-56=-55
Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.
Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax 2 +bx=0, где числовой коэффициент c=0.
Пример как выглядят такие уравнения:
x 2 -8x=0
5x 2 +4x=0
Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.
ax 2 +bx=0
x(ax+b)=0
x1=0 x2=-b/a
Пример №1:
3x 2 +6x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(3x+6)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x1=0
3x+6=0
3x=-6
Делим все уравнение на 3, чтобы получить у переменной x коэффициент равный 1.
x=(-6)/3
x2=-2
Пример №2:
x 2 -x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(x-1)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x1=0
Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax 2 +c=0, где числовой коэффициент b=0.
Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:
x 2 =c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.
А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом:
корень квадратного уравнения
Пример №1:
x 2 +5=0
x 2 =-5, видно, что -5 2 -12=0
3x 2 =12
x 2 =12/3
x 2 =4
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .
Алгоритм решения квадратного уравнения:
- Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
- Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
- Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
- Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
- Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
- Если D 0, решений нет: x ∈ ∅
Примеры решения квадратного уравнения:
- − x 2 + 6 x + 7 = 0
a = − 1, b = 6, c = 7
D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64
D > 0 – будет два различных корня:
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7
Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7
- − x 2 + 4 x − 4 = 0
a = − 1, b = 4, c = − 4
D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0
D = 0 – будет один корень:
x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2
- 2 x 2 − 7 x + 10 = 0
a = 2, b = − 7, c = 10
D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31
D 0 – решений нет.
Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо c = 0, либо b = c = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!
В предыдущих уроках мы разбирали «Как решать линейные уравнения», то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.
Что называют квадратным уравнением
Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.
Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — « 2 », значит, перед вами квадратное уравнение.
Примеры квадратных уравнений
- 5x 2 − 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
13 = 0
- x 2 + 0,25x = 0
- x 2 − 8 = 0
Чтобы найти « a », « b » и « c » нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения « ax 2 + bx + c = 0 ».
Давайте потренируемся определять коэффициенты « a », « b » и « c » в квадратных уравнениях.
Как решать квадратные уравнения
В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней.
Чтобы решить квадратное уравнение нужно:
- привести квадратное уравнение к общему виду « ax 2 + bx + c = 0 ». То есть в правой части должен остаться только « 0 »;
- использовать формулу для корней:
x1;2 =
−b ± √ b 2 − 4ac 2a
Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.
Уравнение « x 2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду « ax 2 + bx + c = 0 » и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения.
Определим коэффициенты « a », « b » и « c » для этого уравнения.
Подставим их в формулу и найдем корни.
Обязательно выучите наизусть формулу для нахождения корней.
x1;2 =
−b ± √ b 2 − 4ac 2a
С её помощью решается любое квадратное уравнение.
В формуле « x1;2 =
−b ± √ b 2 − 4ac 2a » часто заменяют подкоренное выражение
« b 2 − 4ac » на букву « D » и называют дискриминантом . Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке «Что такое дискриминант».Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.
В данном виде определить коэффициенты « a », « b » и « c » довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду « ax 2 + bx + c = 0 ».
Теперь можно использовать формулу для корней.
x1;2 =
−(−6) ± √ (−6) 2 − 4 · 1 · 9 2 · 1
x1;2 =6 ± √ 36 − 36 2
x1;2 =6 ± √ 0 2
x1;2 =6 ± 0 2
x =6 2
x = 3
Ответ: x = 3Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.
Мы помним из определения квадратного корня о том, что извлекать квадратный корень из отрицательного числа нельзя .
Рассмотрим пример квадратного уравнения, у которого нет корней.
5x 2 + 2x = − 3
5x 2 + 2x + 3 = 0
x1;2 =−2 ± √ 2 2 − 4 · 3 · 5 2 · 5
x1;2 =−2 ± √ 4 − 60 10
x1;2 =−2 ± √ −56 10
Ответ: нет действительных корней.Итак, мы получили ситуацию, когда под корнем стоит отрицательное число. Это означает, что в уравнении нет корней. Поэтому в ответ мы так и записали «Нет действительных корней».
Что означают слова «нет действительных корней»? Почему нельзя просто написать «нет корней»?
На самом деле корни в таких случаях есть, но в рамках школьной программы они не проходятся, поэтому и в ответ мы записываем, что среди действительных чисел корней нет. Другими словами «Нет действительных корней».
Неполные квадратные уравнения
Иногда встречаются квадратные уравнения, в которых отсутсвуют в явном виде коэффициенты « b » и/или « c ». Как например, в таком уравнении:
Такие уравнения называют неполными квадратными уравнениями. Как их решать рассмотрено в уроке «Неполные квадратные уравнения».
Разделы: Математика
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.
Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры в Вавилоне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их книгописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, как полные квадратные уравнения.
Определение
Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c — действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.
Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным .
Числа a, b, c носят следующие названия: a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.Корни уравнения ax 2 + bx + c = 0 находят по формуле
Выражение D = b 2 — 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.
- если D 0, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Формулы
Полное квадратное уравнение
Неполные квадратные уравнения
Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.
Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
Способы решения неполных квадратных уравнений:
Решение неполного квадратного уравнения
Квадратные уравнения с комплексными переменными
Сначала рассмотрим простейшее квадратное уравнение z 2 = a, где a-заданное число, а z-неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:
- имеет один корень z = 0, если а = 0;
- имеет два действительных корня z1, 2 = ±√a
- Не имеет действительных корней, если a 2 + x + 1 = 0.
Решим уравнение. Для этого построим два графика y = x 2 ; y = x + 1.
y = x 2 , квадратичная функция, график парабола.
y = x + 1, линейная функция, график прямая.Графики пересекаются в двух точках, уравнение имеет два корня.
Ответ: x ≈ -0,6; x ≈ 2,6.Решение задач с помощью квадратных уравнений
Процессы Скорость км/ч Время ч. Расстояние км. Вверх по реке 10 — x 35 / (10 — x) 35
Вверх по протоку 10 — x + 1 18 / (10 — x + 1) 18
V течения x
V притока x + 1
Зная, что скорость в стоячей воде равна 10 км/ч, составим уравнение.
Независимо от того, в каком классе проходят уроки алгебры – математическом или обычном – квадратное уравнение изучается почти сразу после освоения всех видов своего простого линейного аналога, будучи «следующим уровнем сложности». Вычисление и поиск верного ответа не представляют трудностей, достаточно запомнить алгоритм решения и следовать ему.
Наравне с выражениями с комплексными числами и функциями с двумя переменными, алгебра поначалу заставит ученика изрядно поломать голову вне зависимости от возраста и склада ума.
Отчаявшиеся понять данный раздел науки могут использовать решебник и онлайн-калькулятор, выкладываемые в интернете от разных авторов в различном оформлении — на вкус читателя.
Примеры с переменной в квадрате – хорошие задания для тренировки навыков счета. В математических дисциплинах квадратное уравнение нередко выступает промежуточным шагом к доказательству теорем.
Дискриминант
Изучаемое выражение имеет стандартный вид:
ax 2 + bx + c = 0
Все три слагаемых имеют коэффициенты, способные принимать любые значения, но при переменной в квадрате он не должен равняться 0, иначе уравнение перестает быть квадратным.
Например, уравнение 2x 2 + 2 = 0 идентично выражению 2x 2 + 0x + 2 = 0.
Части равенства справа от знака равенства переносятся влево с противоположным знаком:
Разобрать квадратное уравнение поможет дискриминант (D). Этот вспомогательный показатель через сложные расчеты позволит найти корни выражения или обнаружить невозможность решения.
Вывод формулы выполняется благодаря манипуляции с числовыми показателями:
D = b 2 — 4ac
Например, в выражении 5x 2 — 7x + 2 = 0
D равен: (-7) 2 — 4*5*2 = 49 — 40 = 9.
Определение дискриминанта подскажет количество корней:
D 2 равен 1.
x 2 — 3x + 4 = 0 – приведенное;
2x 2 — x + 1 = 0 – неприведенное.
Сумма корней равна –b, ведь сложение x1 и x2 приводит к такому ответу:
Произведение обоих ответов происходит по аналогичному принципу:
Способы решения заданий с переменными в квадрате не являются специфическими – даже неприведенные выражения можно решить данной теоремой.
Как пример: 2x 2 — 6x + 9 = 0 при делении на коэффициент при x 2 (а=2) примет вид x 2 — 3x + 4,5 = 0 – и вполне годится для решения методикой французского ученого.
Другой метод того, как решать вариант с а≠1 – делить на a сумму и произведение корней:
Полное и неполное квадратное уравнение
Выражение ax 2 + bx + c = 0 считается полным, если содержит все три коэффициента. Если есть слагаемые, равные 0, оно становится неполным.
Неполное квадратное уравнение решается гораздо легче своего полного аналога. Нахождение корней не вызывает трудностей и предполагает свои особенности в поиске ответа.
Самый простой способ – разложение на множители.
2x 2 — 5 x = 0 — неполное, так как с = 0.
Когда отсутствует bx, отыскать ответ еще легче:
x 2 — 9 = 0 (здесь b = 0)
Решение квадратных уравнений
Способы решения разнообразны. Состав слагаемых определяет, как находить верный ответ.
Самые легкие – разложение на множители.
Достаточно решить, что 28 = (-4)*7, а 3х = 7х — 4х;
Многочлен x 2 + 7x — 4x — 28 = 0 можно представить в виде (x + 7)(x — 4) = 0;
Только два значения способны выполнить условие равенства: -7 и 4.
Вариант сложнее – вывод формулы полного квадрата:
4x 2 + 8x + 4 — 4 — 32 = 0
Из 4x 2 + 8x возможен многочлен 4x 2 + 8x + 4, способный превратиться в (2x + 2) 2
Сформировать 4x 2 + 8x — 32 = 0 в более компактный вид:
4x 2 + 8x +4 — 4 — 32 = 0
Cвободное число переходит в правую часть:
Но не все уравнения удается преобразовать в удобную версию. Самые распространенные способы:
Уравнение называют квадратным, если его можно записать в виде (ax^2+bx+c=0), где (x) неизвестная, (a), (b) и (с) коэффициенты (то есть, некоторые числа, причем (a≠0)).
В первом примере (a=3), (b=-26), (c=5). В двух других (a),(b) и (c) не выражены явно. Но если эти уравнения преобразовать к виду (ax^2+bx+c=0), они обязательно появятся.
Коэффициент (a) называют первым или старшим коэффициентом, (b) – вторым коэффициентом, (c) – свободным членом уравнения.
Виды квадратных уравнений
Если в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным.
Неполное квадратное уравнение
(5x^2=0)
(x^2-25=0)
(frac<1><2>x^2-x=0)Как решать квадратные уравнения
В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных — смотрите здесь .
Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения:
Преобразовать уравнение к виду (ax^2+bx+c=0).
Выписать значения коэффициентов (a), (b) и (c).
Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения (2x^2-3x+5=0), коэффициент (b=-3), а не (3).Вычислить значение дискриминанта по формуле (D=b^2-4ac).
Решите квадратное уравнение (2x(1+x)=3(x+5))
Решение:Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак.
Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.
Найдем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac).
Найдем корни уравнения по формулам (x_1=frac<-b + sqrt
><2a>) и (x_2=frac<-b - sqrt ><2a>). Решите квадратное уравнение (x^2+9=6x)
Решение:Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду (ax^2+bx+c=0).
Найдем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac).
Найдем корни уравнения по формулам (x_1=frac<-b + sqrt
><2a>) и (x_1=frac<-b - sqrt ><2a>). В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.
Решите квадратное уравнение (3x^2+x+2=0)
Решение:Уравнение сразу дано в виде (ax^2+bx+c=0), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.
Найдем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac).
Найдем корни уравнения по формулам (x_1=frac<-b + sqrt
><2a>) и (x_1=frac<-b - sqrt ><2a>). Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.
Ответ: нет корней.
Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут ).
Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета . Это быстрее, но требует определенного навыка.
Пример. Решить уравнение (x^2-7x+6=0).
Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут (6), а в сумме (7). Простым подбором получаем, что эти числа: (1) и (6). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
Ответ: (x_1=1), (x_2=6).Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты (b) и (c).